Teaching Experience of G. Esposito

R. Roychowdhury (Ph.D. 2011; post-doctoral fellow in Korea, China and Brazil; Associate Professor at University of Petroleum and Energy Studies, Dehradun, India)

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V. F. Bellino (Laurea Magistrale 2021; Ph.D. student at Roma Tor Vergata University)

R. Niardi (Laurea Magistrale 2020; Teaching Assistant and Ph.D. student at NMT, Socorro, USA)

M. Minucci (Laurea Magistrale 2018; Ph.D. at Queen Mary, London; Marie Curie fellow at Niels Bohr Institute)

F. Alessio (Laurea Magistrale 2017; Ph.D. student at Naples; post-doctoral fellow at Nordita)

M. de Cesare (Laurea Magistrale 2013; Ph.D. at King's College; post-doctoral fellow at New Brunswick University, Canada; Basque University, Bilbao, Spain; SSM Napoli)

M. Figliolia (Laurea Magistrale 2013; high-school teacher; Ph.D. student at Salerno)

G. Napolitano (Laurea Magistrale 2008; Ph.D. in Physics at Copenhagen and post-doctoral fellow at Lund University)

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G. Fucci (Laurea Quadriennale 2004; Ph.D. at NMT, Socorro (USA) and associate professor at East Carolina University)

D. Pelliccia (Laurea Quadriennale 2003; Ph.D. in Physics at Ferrara and high-school teacher)

A. Funel (Laurea Quadriennale 2002; Ph.D. in Physics at Ferrara and ENEA researcher)

A. Liccardo (Laurea Quadriennale 1996; Ph.D. in Physics at Naples and assistant professor at Federico II University)

G. Gionti (Laurea Quadriennale 1993; Ph.D. in Mathematical Physics at SISSA; Specola Vaticana researcher and deputy director)

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I have been teaching Quantum Mechanics at undergraduate level since October 1996; Geometric Methods of Physics at Master level (twice, from 2010 to 2011); Istituzioni di Meccanica Quantistica (in 2017); Differential Geometry (in 1993), Spectral Geometry (in 1994), Quantum Gravity at Ph.D. level (from 2000 to 2013). My lecture notes are based on books by myself and other authors which are protected by copyright, and hence cannot be uploaded on my Web page. My main sources have been:

(i) From Classical to Quantum Mechanics, by G. Esposito, G. Marmo, G. Sudarshan (Cambridge University Press, Cambridge, 2004).

(ii) Advanced Concepts in Quantum Mechanics, by G. Esposito, G. Marmo, G. Miele, G. Sudarshan (Cambridge University Press, Cambridge, 2015).

(i) Dirac Operators and Spectral Geometry, by G. Esposito (Cambridge Lecture Notes in Physics, Vol. 12, Cambridge University Press, Cambridge, 1998).

(i) Quantum Gravity, Quantum Cosmology and Lorentzian Geometries, by G. Esposito (Springer Lecture Notes in Physics, Vol. m12, Springer Verlag, Berlin, 1994).

(ii) Euclidean Quantum Gravity on Manifolds with Boundary, by G. Esposito, A.Yu. Kamenshchik, G. Pollifrone(Fundamental Theories of Physics, Vol. 85, Kluwer, Dordrecht, 1997).

(iii) An Introduction to Quantum Gravity, by G. Esposito (UNESCO EOLSS Encyclopedia, arXiv:1108.3269 [hep-th]).

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Year 2013, Ph.D. Course: ``An Introduction to Quantum Gravity’’, from 10 am to 1pm, Room 0M01.

Sept 03: Physical motivations for quantum gravity. Constrained Hamiltonian systems: primary and secondary constraints; first- and second-class constraints; various forms of extended Hamiltonian; Dirac brackets. Dirac quantization of theories with constraints.

Sept 05: Arnowitt-Deser-Misner formalism; Poisson brackets of the constraints in general relativity; canonical quantum gravity; the Wheeler-Fisher superspace.

Sept 06: Condensed notation. Gauge invariance and classical Ward identities. Green functions of the Klein-Gordon field. DeWitt’s formula for the Feynman propagator in Minkowski and in curved spacetime. Classical Peierls bracket and diff-invariant commutators for the quantum theory.

Sept 10: 1-loop approximation in quantum field theory. Zeta-function regularization.

Sept 12: Euclidean quantum gravity: action and amplitudes. Gravitational instantons: asymptotically locally Euclidean; asymptotically flat; compact. Quantum amplitudes and Bogoliubov transformations for Hawking radiation.

Sept 13: Continuation on Bogoliubov map and Hawking radiation. Gauge invariance and the associated vector fields on the space of histories. Proper gauge group and full gauge group. Metric on the space of histories, and its form for Yang-Mills and Einstein theories (theories of Type I). Non-local connection on the space of histories. Projection operator for obtaining horizontal vectors. Fibre-adapted coordinates and ghost operator. Functional integral for in-out amplitudes. Gauge-fixing term and invertible gauge-field operator.

Sept 17: Feynman-DeWitt-Faddeev-Popov ghost fields. Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry. Effective action; quantum Ward identities; braneworld effective action.

Sept 18: Ward-Takahashi identity. Effective action as a potential. Boundary conditions for metric perturbations from diff-invariance; 1-loop quantum cosmology on the Euclidean 4-ball.

Sept 24: Singularity avoidance in 1-loop quantum cosmology on the Euclidean 4-ball. Lack of perturbative renormalizability of quantum general relativity. 1- and 2-loop counterterms of quantum GR. Higher derivative quantum gravity: gauge-fixed functional integral, BRST transformations, functional differential equations for the complete action, generating functional of connected Green functions, generating functional of proper vertices (in full and reduced form). Linear equation for the divergent parts of proper vertices.

Sept 26: Local solution of the equation describing divergences, and the whole set of possible divergent structures. Renormalized gauge transformation of metric perturbations. Rarita-Schwinger field equations in Minkowski space-time and in curved space-time. Type II and III theories: local supergauge transformations of simple supergravity, and its action functional. Ghost fields in the supergravity functional integral.

Lecture 1: HARMONIC FUNCTIONS. [29-2-2016] Motivations for the Laplace equation. The vector space R**n endowed with a Euclidean metric. Role of the metric in the divergence and in (div grad). The Laplacian is -(div grad). The three Green identities and their consequences. Mean-value theorem for the sphere and the Euclidean ball. The maximum principle. Mollifiers. From the mean-value property to the harmonic condition. Derivative estimates. Bounded harmonic functions on R**n are constant. Ellipticity of the Laplace-Beltrami operator with constant coefficients or variable coefficients. Laplacian vs. wave operator vs. ultrahyperbolic operator in four dimensions. Statement of the Dirichlet and Neumann boundary-value problems.

Lecture 2: MATHEMATICAL THEORY OF SURFACES. [2-3-2016] Quadratic differential forms. Invariants and differential parameters. Differential parameters of order 1. Equivalence of quadratic forms and Christoffel formulas. Properties of Christoffel symbols of first and second kind. The Laplacian viewed as a differential parameter of order 2. Isothermal systems and Laplace equation. Isometric parameters. Lie theorem on the lines belonging to a doubly isothermal system.

Lecture 3: DISTRIBUTIONS AND SOBOLEV SPACES. [4-3-2016] The space D(Omega) and its strong dual. Normal spaces of distributions. The space C^{1,alpha)(Omega) and its abstract completion. The Sobolev space H^{1,alpha}(Omega), and its isomorphism with the abstract completion of C^{1,alpha}(Omega). The spaces C^{k,alpha} and H^{k,alpha}. The trace map for elements of H^{1,alpha}(Omega). The space H_{0}^{k,alpha}(Omega) and its strong dual. The Green formula in distributional language. The concepts of fundamental solution and parametrix of a linear partial differential operator.

Lecture 4: THE CACCIOPPOLI-LERAY THEOREM. [7-3-2016] Second-order linear elliptic equations in n variables. The Leray Lemma and its proof. The Caccioppoli proof of integral bounds. The concept of weak solution of linear equations. The modern proof of the Caccioppoli-Leray theorem (beginning).

Lecture 5: CACCIOPPOLI-LERAY INEQUALITY AND RELATED TOPICS. [9-3-2016] Weak form of the generalized Poisson equation. Modern proof of the Caccioppoli-Leray inequality, with the help of a test function depending on the weak solution itself. Ellipticity in the vector case: Legendre vs. Legendre-Hadamard condition. Traditional formulations: ellipticity, uniform ellipticity, strong ellipticity, uniform strong ellipticity, proper ellipticity.

Lecture 6: ASPECTS OF SPECTRAL THEORY. [11-3-2016] Resolvent set and spectrum of a linear operator. The resolvent. Modified resolvent set. The modified resolvent. Eigenvalues and characteristic values of a linear operator. Directions of minimal growth of a linear operator. Decay rate of the resolvent along rays of minimal growth. Strongly elliptic boundary-value problems, and an example.

Lecture 7: LAPLACE EQUATION WITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS. [18-3-2016] Uniqueness theorems for elliptic equations with mixed boundary conditions. The De Giorgi family of solutions. Reflections on the concepts used by De Giorgi for the analysis of mixed problems, in particular a clever use of characteristic function of a set. A hint to its application to define the perimeter of a set and the reduced boundary of finite-perimeter sets.

Lecture 8: NEW FUNCTIONAL SPACES. [30-3-2016] Holder, Morrey and Campanato spaces: definitions and properties. Functions of bounded mean oscillation, and an example (the logarithm). Glancing again at distributions: the spaces W(1,p;loc) and W(1,p).

Lecture 9: PSEUDO-ANALYTIC AND POLYHARMONIC FRAMEWORKS. [1-4-2016] Pseudo-holomorphic functions (local theory) and linear elliptic equations: generalized Cauchy-Riemann systems. Global theory of pseudo-holomorphic functions, through differential inequalities. Upper and lower bound for the increment ratio of non-holomorphic functions. Decomposition theorem of biharmonic functions. Parametrix of the squared Laplacian in open sets of R**2. Mean-value property for polyharmonic functions.

Lecture 10: CHARACTERISTICS AND WAVES, I. [4-4-2016] The existence theorem for the integrals of a system of partial differential equations. Characteristic manifolds for first- and second-order systems. The concept of wavelike propagation. The Riemann function (or kernel) for an hyperbolic equation in two independent variables. The Hadamard counterexample: the Cauchy problem for the Laplace equation has solutions which do not depend in a continuous way on the data.

Lecture 11: CHARACTERISTICS AND WAVES, II. [6-4-2016] Detailed derivation of Riemann's integral formula for expressing the solution of an hyperbolic equation in two independent variables. Concept of wavelike propagation for a generic normal system. Digression on the general concept of wavelike motion. The Cauchy method for integration of a first-order partial differential equation. The bicharacteristics. Appendix: the spacetime manifold; geodesics and arc-length; bicharacteristics are null geodesics.

Lecture 12: FUNDAMENTAL SOLUTION AND CHARACTERISTIC CONOID. [8-4-2016] Relation between fundamental solution and Riemann's function for a linear equation in two independent variables. The concept of characteristic conoid. Fundamental solutions with an algebraic singularity. Introduction of geodesics. The world function and the equation for the characteristic conoid.

Lecture 13: THE FUNDAMENTAL SOLUTION: HOW TO BUILD IT. [11-4-2016] Hamiltonian form of geodesic equations for Riemannian and pseudo-Riemannian metrics. The unique real-analytic solution of the nonlinear equation for the world function. Construction of the fundamental solution in m variables, for an equation with analytic coefficients: the case of odd values of m. Convergence of the power-series solution.

Lecture 14: EXAMPLES OF FUNDAMENTAL SOLUTIONS. [15-4-2016] Fundamental solution with even values of m. The need for the logarithm of the world function in the fundamental solution. The coefficient of such a logarithm solves a characteristic initial-value problem. The smooth part of the fundamental solution. Parametrix for the scalar wave equation in Kasner and in a generic curved spacetime. Nonlinear equations for amplitude and phase functions. Their equivalence to finding a divergenceless vector field, and then solving a tensor generalization of the Ermakov-Pinney equation. The Laplace and Coulon equations. Damped waves and the logarithmic solution.

Lecture 15: LINEAR SYSTEMS OF NORMAL HYPERBOLIC FORM. [18-4-2016] Equations defining the characteristic conoid associated with a linear hyperbolic system of normal form. Nonlinear integral equations satisfied by the bicharacteristics. Linear combinations of the original set of hyperbolic equations. Evaluation of the auxiliary functions of linear combination, which are factorizable and differentiable.

Lecture 16: LINEAR SYSTEM ASSOCIATED TO A NONLINEAR HYPERBOLIC SYSTEM. [20-4-2016] Kirchhoff formulas for solving a linear hyperbolic system. Nonlinear equations and their differentiation. Integral equations and Cauchy data. Solution of the Cauchy problem when the coefficients of second derivatives do not depend on first partial derivatives of the unknown functions. Spacetime manifold, lightcone structure, timelike and null geodesics.

Lecture 17: CAUCHY PROBLEM FOR GENERAL RELATIVITY. [22-4-2016] Connection and Riemann curvature. The vacuum Einstein equations. Isothermal coordinates. Assumptions on the Cauchy data for vacuum Einstein equations. The solution of vacuum Einstein satisfies the de Donder-Lanczos supplementary (or gauge) condition. Comparison with the Lorenz gauge in classical electrodynamics. Remarks on why Lorenz and de Donder gauge are different realizations of the same structure. Uniqueness of the solution for vacuum Einstein in de Donder gauge.

Lecture 18: CAUCHY PROBLEM AND GLOBAL HYPERBOLICITY. [26-4-2016] Summary of Lecture 17. Chronological future and past of a point; causal future and past of a point; past end-point of a curve; domain of dependence and Cauchy horizon; Cauchy surfaces. Strong causality. Alexandrov topology. Compact-open topology, open topology and fine topology on the space of Lorentzian metrics. Stable causality. Global hyperbolicity: three definitions of the concept, and a theorem.

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My undergraduate lectures on Istituzioni di Meccanica Quantistica (March to June 2017):

Istituzioni di Meccanica Quantistica, lezioni svolte da G. Esposito nel 2017 (le parentesi quadre indicano concetti matematici usati ma che esulano dal programma di esame):

L1, 7 Marzo, ore 9-11: Radiazione di corpo nero; leggi di Kirchhoff; legge di Stefan e legge dello spostamento; il campo elettromagnetico in una cavita'; modello di Planck di un corpo che irraggia.

L2, 8 Marzo, ore 14-17: Meriti e limiti del modello di Planck; derivazione statistica di Einstein della distribuzione di corpo nero. Effetto fotoelettrico: modello classico.

L3, 9 Marzo, ore 9-11: Effetto fotoelettrico: descrizione quantistica. Effetto Compton e suo calcolo dalla conservazione del quadriimpulso. Cenno all'esperimento di Davisson e Germer. Corrispondenza tra aspetti particellari e aspetti ondulatori. Relazione di Einstein-de Broglie. Lavoro fatto dal campo di radiazione su un oscillatore. [Forma quadratica definita positiva associata al Laplaciano mediante la trasformata di Fourier.]

L4, 14 Marzo, ore 9-11: Equazioni d'onda in elettrodinamica. Equazione d'onda scalare. Velocita' di fase. Velocita' di gruppo.
[Richiami sul concetto di spaziotempo.]

L5, 15 Marzo, ore 14-17: [Richiami sul concetto di vettore tangente come classe d'equivalenza di curve tangenti in un punto.] Approssimazione dell'iconale per l'equazione d'onda scalare. Equazioni per ampiezza e fase, e loro soluzione approssimata. Equazione di Helmholtz associata all'equazione d'onda scalare. Parentesi di Poisson in meccanica classica. Lagrangiana per particella carica in campo elettromagnetico. Primi calcoli sull'effetto dell'irraggiamento sulle equazioni del moto in elettrodinamica classica.

L6, 16 Marzo, ore 9-11: [Richiami su vettori e covettori. Concetto di gruppo.] Parentesi di Poisson "gauge invarianti" tra le componenti della velocita' di una particella carica in campo elettromagnetico. Equazioni di Hamilton e prime applicazioni. Trasformazioni canoniche come trasformazioni che preservano le parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche definite mediante la legge di trasformazione del potenziale simplettico. Concetto di funzione generatrice di una trasformazione canonica.

L7, 21 Marzo, ore 9-11: [Campi vettoriali come derivazioni. Relazione fra un sistema di equazioni differenziali ordinarie in forma normale e i loro integrali primi.] Funzione principale di Hamilton W(q,P,t) e l'associata equazione di Hamilton-Jacobi. L'oscillatore armonico unidimensionale studiato col metodo di Hamilton-Jacobi. Equazione di Hamilton-Jacobi per il moto piano di una particella in presenza di forze centrali.

L8, 22 Marzo, ore 14-17: Completamento degli esempi su Hamilton-Jacobi per oscillatore armonico e particella in potenziale centrale. Analogia tra l'equazione di Hamilton-Jacobi per particella massiva ed equazione dell'iconale associata all'equazione d'onda scalare. Costruzione del pacchetto d'onda che, nel limite classico, deve restituire l'equazione di Hamilton-Jacobi per particella in potenziale. Velocita' di fase e di gruppo. Dall'equazione di Helmholtz all'equazione di Schrodinger. La prescrizione per quantizzare nella rappresentazione delle coordinate. Riespressione di tali concetti mediante il simbolo degli operatori.

L9, 23 Marzo, ore 9-11: Simbolo degli operatori in meccanica quantistica. Rappresentazioni delle coordinate e dei momenti. Interpretazione fisica della funzione d'onda. Equazione di continuita' associata all'equazione di Schrodinger. Esperimento della doppia fenditura.

L10, 28 Marzo, ore 9-11: [Funzioni sesquilineari e spazi prehilbertiani. Spazi di Hilbert e basi hilbertiane. Condizione di Bessel-Parseval. Operatori lineari limitati. Operatori lineari non limitati. Definizione di aggiunto di un operatore. L'aggiunto di d/dx. Simmetria e autoaggiuntezza di operatori non limitati.] Trasformata di Fourier spaziale e rappresentazione dei momenti. Valori medi degli operatori posizione e momento. Scarto quadratico medio. Teorema di Ehrenfest (inizio).

L11, 29 Marzo, ore 14-17: Teorema di Ehrenfest (continuazione), con calcoli dettagliati nella rappresentazione delle coordinate e in quella dei momenti. [Risoluzione dell'unita' e teorema di decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto]. Relazione tra la funzione d'onda di Schrodinger e l'associato ket di Dirac. Gauge dipendenza del momento in meccanica classica. Condizione sotto la quale non cambia il valor medio del momento in meccanica quantistica. Proprieta' di trasformazione dell'equazione di Schrodinger per particella libera sotto trasformazioni di Galileo (inizio).

L12, 30 Marzo, ore 9-11: Proprieta' di trasformazione dell'equazione di Schrodinger (fine). Scarto quadratico medio di posizione e momento di particella libera, in funzione del tempo. Varie distribuzioni di probabilita' in uno spazio di Hilbert. [Studenti: modello di Abraham-Lorentz dell'elettrone].

L13, 4 Aprile, ore 9-11: Spazio di Hilbert astratto per l'equazione di Schrodinger e teorema di Stone. Passaggio a vettori di stato che non evolvono nel tempo, ed equazioni di Heisenberg per l'evoluzione temporale di operatori lineari. Applicazione all'oscillatore armonico unidimensionale. Commutatori a tempi diversi degli operatori posizione e momento per un oscillatore armonico trattato alla Heisenberg. Dominio del commutatore AB-BA. Relazioni di indeterminazione di Heisenberg. Un controesempio: particella quantistica sul cerchio. Interpretazione dell'apparente violazione. Inizio del calcolo degli stati di indeterminazione minima.

L14, 11 Aprile, ore 9-11: Completamento del calcolo degli stati di indeterminazione minima. Propagatore e funzione di Green per l'equazione di Schrodinger, dopo aver esaminato il caso di equazioni del primo ordine su spazi vettoriali a dimensione finita. Caso in cui lo spettro dell'operatore hamiltoniano e' puramente discreto. Pacchetto d'onda per particella libera.Effetto di slargamento del pacchetto.

L15, 12 Aprile, ore 14-17: Soluzioni ordinarie e soluzioni deboli dell'equazione di Schrodinger per gli stati stazionari. Derivazione delle condizioni di raccordo tra stati stazionari nei punti di discontinuita' del potenziale per problemi unidimensionali. Particella confinata da potenziale. Equazione trascendente per gli autovalori dell'hamiltoniano, e loro forma limite al crescere della soglia di potenziale. Concetti di autofunzioni improprie e autodifferenziale. Riflessione e trasmissione di un pacchetto d'onda (inizio).

L16, 14 Aprile, ore 9-11: Calcolo dettagliato dei coefficienti di riflessione e trasmissione di un pacchetto d'onda in una buca unidimensionale, dopo una breve digressione sul metodo di fase stazionaria e gli sviluppi asintotici.

L17, 20 Aprile, ore 9-11: Calcolo dettagliato di un pacchetto d'onda che interagisce con un potenziale a gradino. Calcolo dettagliato dell'effetto tunnel. Equazione di Schrodinger per oscillatore armonico unidimensionale.

L18, 26 Aprile, ore 14-17: Variabili adimensionali per l'oscillatore armonico unidimensionale. Natura discreta dello spettro. Ansatz fattorizzato per gli stati stazionari. Relazioni di ricorrenza tra i coefficienti, soluzioni pari e dispari. Polinomi di Hermite. Distribuzioni di probabilita' classica e quantistica. Calcolo della funzione d'onda al variare del tempo, per assegnata condizione iniziale. Equazione di Schrodinger in potenziale centrale: costruzione dell'hamiltoniana quantistica. Momento angolare orbitale in coordinate cartesiane e in coordinate sferiche. Ruolo delle condizioni al contorno (inizio).

L19, 27 Aprile, ore 9-11: La regolarita' nell'origine conduce all'autoaggiuntezza dell'hamiltoniano in potenziali centrali. Equazioni differenziali per la parte angolare degli stati stazionari in potenziale centrale. Costruzione dei polinomi armonici (inizio).

L20, 2 Maggio, ore 9-11: Costruzione dettagliata delle armoniche sferiche dalla loro funzione generatrice. Condizione di ortonormalita'. Formalismo algebrico per il momento angolare (inizio).

L21, 3 Maggio, ore 14-17: Formalismo algebrico per il momento angolare (completamento). Parte radiale del problema agli autovalori in potenziale centrale, in qualsivoglia numero di dimensioni. Atomo di idrogeno: moto relativo elettrone-nucleo e moto del centro di massa. Stati legati e forma esatta dello spettro discreto. Parte radiale degli stati stazionari. Stati legati in onda s per il potenziale dell'interazione protone-neutrone (inizio).

L22, 4 Maggio, ore 9-11: Forma canonica delle equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine, con applicazione alla parte radiale degli stati stazionari in potenziale centrale. Stati legati in onda s per il potenziale dell'interazione protone-neutrone (completamento). Oscillatore armonico isotropo in 3 dimensioni.Trattazione algebrica dell'oscillatore armonico multidimensionale. Oscillatore armonico isotropo bidimensionale. Calcolo dello stato fondamentale di oscillatore armonico unidimensionale.

L23, 9 Maggio, ore 9-11: Rappresentazioni delle coordinate, dei momenti e dell'operatore numero per l'oscillatore armonico unidimensionale. Calcoli algebrici dettagliati in quest'ultima. Confronto col formalismo complesso per l'oscillatore armonico classico. Definizione e proprieta' degli stati coerenti (inizio).

L24, 10 Maggio, ore 14-17: Calcolo dettagliato degli stati coerenti e degli stati coerenti a 2 fotoni, con gli associati operatori di Weyl. Rappresentazioni olomorfa e antiolomorfa. Inizio dello studio della relazione esistente tra i gruppi SU(2) e SO(3).

L25, 11 Maggio, ore 9-11: Completamento dello studio dell'omomorfismo tra i gruppi SU(2) e SO(3). L'esperimento di Stern e Gerlach e l'inclusione dello spin in meccanica quantistica. Composizione del momento angolare orbitale e degli operatori di spin. Inizio della derivazione dell'equazione di Pauli.

L26, 16 Maggio, ore 9-11: Costruzione dettagliata dell'equazione di Pauli per particella con spin in campo magnetico esterno. Soluzioni esplicite con 2 forme assegnate del campo magnetico.

L27, 17 Maggio, ore 14-17: Altre applicazioni dell'equazione di Pauli. Livelli di Landau. Ripasso di esempi svolti per problemi unidimensionali.

L28, 18 Maggio, ore 9-11: Ripasso di esempi svolti.

L29, 23 Maggio, ore 9-11: [Richiami sul teorema di Stone sui gruppi unitari ad un parametro generati da operatori autoaggiunti, e sugli spazi vettoriali simplettici.] Concetto di quantizzazione canonica delle relazioni di commutazione. Rappresentazioni di un gruppo su uno spazio vettoriale topologico. Equivalenza unitaria di rappresentazioni di un gruppo su spazi di Hilbert. Concetto di sistema di Weyl. Teorema di von Neumann e sue conseguenze sul commutatore degli operatori posizione e momento. Forma esponenziata della rappresentazione di Schrodinger.

L30, 24 Maggio, ore 14-17: Concetti di rappresentazione e rappresentazione fedele di un gruppo. Rappresentazione di peso j degli operatori di momento angolare. Rappresentazioni fedeli di SU(2) o di SO(3). Gli operatori di spin e le reppresentazioni proiettive delle rotazioni. Gli operatori posizione e momento per una particella con spin. Applicazioni del momento angolare: calcoli dettagliati per un problema con 2 apparati di Stern e Gerlach in sequenza, e per il cambiamento di base.

L31, 25 Maggio, ore 9-11: Postulati fondamentali della meccanica quantistica, e loro esame critico. Motivazioni e impostazione delle perturbazioni stazionarie (inizio).

L32, 30 Maggio, ore 9-11: Formule per autovalori e autofunzioni dell'hamiltoniana ai vari ordini del parametro perturbativo, negli schemi Rayleigh-Schrodinger e Brillouin-Wigner. Analisi perturbativa dell'oscillatore anarmonico (inizio).

L33, 31 Maggio, ore 14-17: Elementi di matrice di potenze (fino alla quarta) dell'operatore posizione fra gli stati stazionari di oscillatore armonico. Applicazione all'analisi perturbativa dell'oscillatore anarmonico unidimensionale. Equazione secolare per i problemi con degenerazione. Effetto Stark sugli stati con n=2 di atomo d'idrogeno. Effetto Zeeman.

L34, 1 Giugno, ore 9-11: Metodo di Dyson per le perturbazioni dipendenti dal tempo. Applicazione alle perturbazioni armoniche ed al sistema a 2 livelli.

L35, 6 Giugno, ore 9-11: Oscillatore armonico perturbato da un termine anarmonico per un intervallo temporale di durata finita: calcolo delle probabilita' di transizione dal primo livello allo stato fondamentale, oppure al secondo livello. Concetto di stati asintotici e operatori d'onda in teoria della diffusione. Equazione integrale per gli stati stazionari. Ruolo delle onde piane e delle onde sferiche, e comportamento dell'associato pacchetto d'onda a grandi tempi.

L36, 7 Giugno, ore 14-17: La serie di Born e la sua convergenza per potenziali sommabili della classe di Rollnik. Concetto di sezione d'urto differenziale. Sviluppo in onde parziali e sezione d'urto totale. Sezione d'urto in onda s per il potenziale dell'interazione protone neutrone. Studio piu' approfondito dell'equazione integrale per la parte radiale degli stati stazionari in potenziale centrale (inizio).

L37, 8 Giugno, ore 9-11: Dimostrazione dell'esistenza della soluzione regolare all'origine dell'equazione integrale (condizione di onda parziale all'origine), ottenuta mediante opportune maggiorazioni. Forma alternativa dell'equazione integrale con soluzione regolare all'origine. Condizione di onda parziale all'infinito: equazione integrale per la soluzione di Jost.

L38, 13 Giugno, ore 9-11: Funzioni di Jost, e loro legame con le soluzioni del problema con soluzione regolare all'origine. Proprieta' di analiticita' in k e lambda. Rilevanza concettuale del metodo JWKB. Correzioni quantistiche alla lagrangiana classica. Equazioni del metodo JWKB in una e tre dimensioni spaziali.

L39, 14 Giugno, ore 14-17: Stati stazionari in una dimensione mediante il JWKB. Metodo JWKB per la parte radiale degli stati stazionari in potenziale centrale in dimensione arbitraria. Ripasso del JWKB con gli studenti alla lavagna.

L40, 15 Giugno, ore 9-11: Ripasso con gli studenti alla lavagna (sezione d'urto in onda s per il potenziale dell'interazione protone neutrone; onde piane e onde sferiche nel pacchetto d'onda dei problemi di diffusione; probabilita' di transizione indotte da una perturbazione anarmonica di durata temporale finita).

L41, 16 Giugno, ore 9-11.30: Ripasso con gli studenti alla lavagna (effetto tunnel; valor medio e scarto quadratico medio; hamiltoniana con spin; riesame del programma del corso).

My Master Degree lectures on "Metodi Geometrici della Fisica", October-December 2011.

L1, 4 Ottobre 2011: Perche’ la fisica ha bisogno della geometria. Spazi vettoriali e spazi topologici. Topologie sullo spazio delle metriche lorentziane su una varieta`.

L2, 6 Ottobre 2011: Varieta` topologiche e varieta` differenziabili. Vettori tangenti e campi vettoriali (formulazione geometrica e formulazione algebrica).

L3, 7 Ottobre 2011: Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi. Uno-forme e campi tensoriali. Prodotto wedge di uno-forme.

L4, 11 Ottobre 2011: Approfondimenti su applicazioni differenziabili, diffeomorfismi, uno-forme e campi tensoriali. Applicazioni indotte: mappa differenziale e pull-back. Immersioni e imbeddings.

L5, 12 Ottobre 2011: Curve integrali di un campo vettoriale, e flusso da esso generato. Esempi di calcolo. Derivata di Lie di un campo vettoriale lungo il flusso di un altro campo vettoriale. Parentesi di Lie di campi vettoriali.

L6, 14 Ottobre 2011: Derivate di Lie di uno-forme e di campi tensoriali. Forme differenziali di un dato ordine; prodotto wedge di uno-forme; prodotto esterno di forme; derivata esterna di forme; prodotto interno; applicazione alla meccanica hamiltoniana; varieta` orientabili.

L7, 18 Ottobre 2011: Integrazione di funzioni su varieta`. Definizione e 10 esempi di gruppi di Lie. La 3-sfera come spazio dei quaternioni. La 7-sfera come spazio degli ottonioni. Perche’ la 7-sfera non e` un gruppo di Lie. Traslazioni destra e sinistra. Campi vettoriali invarianti a sinistra. Algebra di Lie di un gruppo di Lie. Algebra di Lie e suo isomorfismo all’algebra di Lie di un gruppo di Lie, a dimensione finita.

L8, 19 Ottobre 2011: Integrazione di forme differenziali su varieta`. Campi vettoriali invarianti a sinistra per il gruppo lineare generale. Sottogruppo ad un parametro di un gruppo di Lie. Mappa esponenziale. Costanti di struttura di un gruppo di Lie. Equazione di struttura di Maurer-Cartan.

L9, 25 Ottobre 2011: Ancora sulla forma di Maurer-Cartan. Azione di un gruppo di Lie su una varieta`. Isomorfismo tra lo spaziotempo di Minkowski e l’insieme delle matrici hermitiane 2 x 2. Omomorfismo 2-1 fra il gruppo SL(2,C) ed il gruppo di Lorentz proprio ortocrono. Definizioni di azione transitiva, o libera, o effettiva, di un gruppo di Lie su una varieta`. Concetti di orbita e di piccolo gruppo.

L10, 26 Ottobre 2011: Campi vettoriali indotti. Rappresentazione aggiunta di un gruppo di Lie. Teorema di Freifeld sui sottogruppi ad un parametro del gruppo dei diffeomorfismi.

L11, 28 Ottobre 2011: Sottogruppi ad un parametro di un gruppo di Lie a dimensione infinita. Coordinate canoniche. Esistenza di diffeomorfismi arbitrariamente prossimi all’identita` che non giacciono su sottogruppi ad un parametro del gruppo dei diffeomorfismi. Forme differenziali lineari su aperti di R**2 e loro integrale su curve di classe C^{1}.

L12, 2 Novembre 2011: Condizioni necessarie e sufficienti per l’integrabilita` di forme differenziali lineari in due variabili reali. Relazione di omotopia fra curve continue chiuse. Insiemi semplicemente connessi. Funzioni armoniche ed olomorfe in R**2.

L13, 4 Novembre 2011: Spazi topologici connessi per archi. Omotopia tra funzioni continue da uno spazio topologico in un altro. Funzioni omotopicamente nulle. Spazi contraibili. Spazi omotopicamente equivalenti. Proprieta` invarianti per omotopia. Concetti che invece distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Omotopia relativa a un sottospazio. Definizione di pigreco-n(X,x). Operazione di incollamento di mappe. Gruppi di omotopia della retta, del piano, di R**n, della circonferenza, degli spazi rivestiti da spazi contraibili.

L14, 8 Novembre 2011: Omomorfismo tra gruppi abeliani, e teorema fondamentale dell’omomorfismo. Gruppi abeliani finitamente generati e gruppi abeliani liberi. Gruppi ciclici infiniti e finiti. Simplessi per un tetraedro. Simplessi in R**m. Complessi simpliciali e loro poliedro. Simplessi orientati. Gruppo delle r-catene.

L15, 9 Novembre 2011: Operatore di bordo. Gruppo degli r-cicli; gruppo degli r-bordi. L’operatore di bordo applicato 2 volte e` l’operatore nullo. Gruppi di omologia di un complesso simpliciale e di uno spazio topologico triangolabile. Esempi di calcolo di gruppi di omologia.

L16, 11 Novembre 2011: Simplessi nello spazio euclideo e in varieta` differenziabili. Gruppi delle r-catene, r-cicli ed r-bordi per una varieta` differenziabile, e, da questi, il gruppo di omologia singolare. Teorema di Stokes e sua dimostrazione. Gruppi di coomologia di de Rham: definizione ed esempi.

L17, 15 Novembre 2011: Prodotto interno di r-forme ed r-catene. L’operatore di derivata esterna come aggiunto dell’operatore di bordo. Teorema di de Rham e dualita` fra il gruppo di omologia singolare e il gruppo di coomologia di de Rham. Caratteristica di Eulero e numeri di Betti. Lemma di Poincare sull’esattezza delle forme chiuse. Dualita` di Poincare. Anello di coomologia. Metriche riemanniane, pseudo-riemanniane e lorentziane su una varieta`. Struttura di cono luce. Casi riemanniano, lorentziano e ultra-iperbolico in dimensione 4. Curve di tipo tempo, luce e spazio. Superfici di tipo spazio, luce, tempo.

L18, 16 Novembre 2011: Metrica intrinseca e metrica indotta nei casi riemanniano e lorentziano. Connessione affine, derivate covarianti e trasporto parallelo di un campo vettoriale lungo una curva.

L19, 18 Novembre 2011: Geodetiche; Derivata covariante di covettori e di campi tensoriali; proprieta` di trasformazione dei coefficienti di connessione; connessioni metriche; torsione e contorsione; tensore di curvatura di Riemann in notazione intrinseca e in coordinate.

L20, 22 Novembre 2011: Significato geometrico del tensore di Riemann e del tensore di torsione. Varieta` parallelizzabili e vettori paralleli. Tensore di Ricci e la sua traccia. Unicita` della connessione di Levi-Civita. Commutatore di derivate covarianti di zero-forme. Relazione fra derivata esterna di una 1-forma e derivata covariante nel caso Levi-Civita. Azione di Maxwell in spazi curvi. Geodetiche come curve estremali.

L21, 23 Novembre 2011: Funzione distanza in geometria riemanniana e lorentziana. Problema variazionale per le geodetiche. Geodetiche sulla 2-sfera e sul semipiano munito della metrica di Poincare. Sistema di coordinate normali. Notazione diagrammatica di Penrose per il calcolo tensoriale.

L22, 25 Novembre 2011: Proprieta` dei tensori di Riemann e Ricci per connessioni di Levi—Civita. Prima e seconda identita` di Bianchi. Curvatura di Riemann in 2 dimensioni. Gruppo di olonomia, e suo calcolo per la connessione di Levi—Civita sulla 2-sfera. Isometrie; trasformazioni conformi; riscalaggi di Weyl e loro rilevanza fisica.

L23, 29 Novembre 2011: Trasformazione dei coefficienti di connessione e della curvatura di Riemann sotto riscalaggi di Weyl. Tensore di Weyl; piattezza conforme delle varieta` riemanniane bidimensionali. Campi vettoriali di Killing. I Killing per lo spazio-tempo di Minkowski; i Killing per la 2-sfera. Campi di Killing conformi. Tetradi.

L24, 2 Dicembre 2011: Tetradi e cotetradi; coefficienti di connessione in base non coordinata. Componenti della torsione e di Riemann in base non coordinata. Connessione di spin ed equazioni di struttura di Cartan. Potenziali di Hertz e Debye per l’elettromagnetismo in spazio-tempo curvo: loro descrizione mediante sia forme differenziali che calcolo tensoriale.

L25, 6 Dicembre 2011: Identita` di Bianchi in basi non coordinate mediante le forme differenziali e la derivata esterna. Elemento di volume invariante. La mappa star di Hodge e il prodotto interno di r-forme; l’aggiunto della derivata esterna; il Laplaciano su r-forme. Forma esplicita del Laplaciano su 0-forme. Il Laplaciano e` un operatore positivo su varieta` di Riemann compatte. Forme armoniche, esatte e co-esatte. Teorema di decomposizione di Hodge sullo spazio delle r-forme su una varieta` di Riemann compatta senza bordo.

L26, 7 Dicembre 2011: Ancora sul teorema di decomposizione di Hodge. Striscia di Mobius e definizione generale di spazio fibrato, nel caso in cui spazio totale e di base sono spazi topologici. Teorema di ricostruzione dei fibrati. Proprieta` generali delle funzioni di transizione.

L27, 9 Dicembre 2011: Fibrati tangente e cotangente, sezioni dei fibrati, fibrati vettoriali e principali. Sottospazi verticale e orizzontale dello spazio tangente in un punto, connessione come distribuzione. Fibrati vettoriali complessi e connessione su di essi. Matrice di connessione e sua trasformazione sotto cambiamento di frame. Matrice di curvatura.

L28, 13 Dicembre 2011: Connessione e field strength per teorie di Yang—Mills con spazio di base curvo. Trasformazioni di gauge dei campi e del potenziale di Yang—Mills. Identita` di Bianchi, campi auto-duali ed anti-auto-duali. Modelli di Yang—Mills—Higgs e Yang—Mills—Dirac. Confronto tra le teorie di Yang—Mills e Einstein nel linguaggio delle forme differenziali. Bivettore di trasporto parallelo espresso mediante le tetradi. Gruppi continui e loro realizzazioni (inizio).

L29, 14 Dicembre 2011: Gruppi continui e loro realizzazioni; rappresentazioni di gruppi continui. Gruppo dei diffeomorfismi e calcolo delle sue costanti di struttura. Generatori di una rappresentazione e loro ruolo nelle derivate di Lie. Bitensori, tritensori ed n-tensori.

L30, 16 Dicembre 2011: Trasformazioni di gauge infinitesime per l’elettrodinamica e per la relativita` generale, riespresse in forma integrale per preparare il terreno alla notazione di DeWitt. Campi vettoriali sullo spazio delle storie che lasciano invariato il funzionale d’azione per le teorie di gauge. Trasformazioni di gauge piccole e grandi. Fibra tipica, gruppo di gauge proprio e gruppo di gauge completo. Metrica sullo spazio delle storie per Yang—Mills.

L31, 20 Dicembre 2011: Metrica sullo spazio delle storie per Einstein. Forme di connessione nonlocali sullo spazio delle storie per le teorie di gauge. Sistemi di coordinate adattate alle fibre. Operatore di ghost. Ampiezze in-out nelle coordinate di fibra.

L32, 21 Dicembre 2011: Calcolo dell’operatore di ghost nella gauge di Lorenz per l’elettrodinamica e per la relativita` generale. Ampiezze in-out in coordinate campistiche: termini di gauge-breaking e di ghost, e loro derivazione dalla geometria dello spazio delle storie. Operatore invertibile sui campi di gauge.