UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II

Corso di Laurea Magistrale in Geofisica e Geofisica Applicata

Dispense del corso di Complementi di fisica per le Scienze della Terra

Dott. Fabio Garufi

Indice

I Modulo I 3

1 Oscillazioni e Onde 5 1.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 La soluzione di D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Corda finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Oscillazioni di un gas compresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Il metodo di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Oscillazioni di una membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Serie e trasformate di Fourier 15

2.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Esempio: la onda quadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Condizioni per la convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Esempi di Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Proprietà delle trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Elementi di Campi 25

3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 Campo Scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 Formule integrali utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Solidi 31

4.1 Deformazioni e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.2 Dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1.3 Sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Onde S e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.1 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.2 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.3 Rifrazione e riflessione su una superfice di discontinuità . 36

4.3 Oscillazioni di un reticolo cristallino monodimensionale . . . . . . 39 4.3.1 Reticoli di Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2 Oscillazioni in un reticolo monodimensionale monoatomico 39 4.3.3 Oscillazioni in un reticolo monodimensionale con una base 41 5 Equazione del calore 43

5.1 Impostazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Geoterme e lunghezza di diffusione . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Soluzione nel caso monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Soluzione per spazio semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.1 Flusso di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Spessore del fondo oceanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Potenziali Termodinamici 57 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2 Energia Libera di Helmoltz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.3 L’Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.1 Entalpia di legame e di trasformazione . . . . . . . . . . . 59 6.4 L’energia libera di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.4.1 Uso del potenziale di Gibbs per ricavare l’equazione di

Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.4.2 La regola delle Fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.5 Trasformazioni di Legendre e relazioni di Maxwell . . . . . . . . 62 6.6 Radiazione di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.6.1 legge di Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.6.2 Lo spettro di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.6.3 Coefficienti di Einstein e spettro di corpo nero . . . . . . 66

7 Fluidi 69

7.1 Fluidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1.1 Equazione di Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1.2 Punti di vista Lagrangiano ed Euleriano . . . . . . . . . . 69 7.1.3 Derivata locale e sostanziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.1.4 Equazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.1.5 Moto adiabatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.1.6 L’equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2 Introduzione alla viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2.1 Legge di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3 Equazioni costitutive di un fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . 75

7.3.1 Equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.3.2 Lavoro di deformazione e dissipazione viscosa . . . . . . . 78 7.3.3 Equazione di Bernoulli generalizzata . . . . . . . . . . . . 79

II modulo II 83

8 Elettrostatica e conduzione 85

8.1 Richiami di elettrostatica nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.1.1 Il Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.1.2 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.1.3 Potenziale scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.1.4 Distribuzione superficiale di carica e doppio strato …. 87

Parte I Modulo I

3

Capitolo 1

Oscillazioni e Onde

1.1 Il problema

Consideriamo una corda ideale, di dimensione trasversale trascurabile e densità ρ. La corda, in condizioni di riposo giace sull’asse delle ascisse del piano Oxy ed è soggetta ad una tensione T. Se applichiamo una forza F parallelamente all’asse y, la corda si deformerà in una curva nel piano Oxy. Lasciata libera,

Figura 1.1: Schematizzazione delle forze agenti su una corda lasciata libera fuori dalla posizione di equilibrio

consideriamo le forze agenti sul segmento di corda M′N′ nella direzione dell’asse y. Se consideriamo trascurabile la differenza tra i moduli delle tensioni nei punti M′ ed N′, e chiamiamo u(x, t) lo spostamento della corda nel punto x all’istante t potremo scrivere:

M \frac{∂^{2}u(x, t)}{∂t^{2}} = −T sin(θ′) + T sin(θ)  (1.1)

essendo θ′ e θ gli angoli delle tangenti a u(x, t) rispettivamente in M′ ed N′ ed M = ρ dx.

Al primo ordine, potremo dire che

sin(θ) ∼ θ ∼ tg(θ) = \frac{∂u(x, t)}{∂x}

e dunque:

sin(θ′) − sin(θ) = \frac{∂^{2}u(x, t)}{∂x^{2}}dx

Sostituendo in 1.1, troviamo:

\frac{∂^{2}u(x, t)}{∂t^{2}} = \frac{T}{ρ} \frac{∂^{2}u(x, t)}{∂x^{2}}  (1.2)

La (1.2) è un caso semplice dell’equazione delle onde.

Se consideriamo le dimensioni del rapporto \frac{T}{ρ}, vediamo che:

[\frac{T}{ρ} ] = [\frac{m l t^{−2}}{m l^{−1}} ] = [l^{2}t^{−2}]

e dunque ha le dimensioni del quadrato di una velocità, verrà indicata con c^{2} e, vedremo, è la velocità di propagazione della perturbazione lungo la corda.

1.2 La soluzione di D’Alambert

Il primo a dimostrare l’esistenza ed unicità ed a trovare una soluzione di questa equazione fu il matematico francese D’Alambert, e , l’operatore differenziale che applicato ad una funzione delle coordinate u(x, y, z, t), restituisce l’equazione delle onde, da lui, prende il nome di d’alambertiano e si indica con il simbolo:

□ ≡ \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − c^{2} [\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} ] ≡ \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − c^{2}∇^{2}

La soluzione di D’Alambert parte dal cambiamento di variabili (suggerito dal fatto che ∂_{t}^{2} − c^{2}∇^{2} = (∂_{t} − c∇)(∂_{t} + c∇)):

\{ \begin{matrix}ξ = x − ct \\ η = x + ct \end{matrix}  (1.3)

dunque:

\frac{∂u}{∂x} =\frac{∂u}{∂ξ} \frac{∂ξ}{∂x} + \frac{∂u}{∂η} \frac{∂η}{∂x} =
=\frac{∂u}{∂ξ} + \frac{∂u}{∂η}  (1.4)
\frac{∂u}{∂t} =\frac{∂u}{∂ξ} \frac{∂ξ}{∂t} + \frac{∂u}{∂η} \frac{∂η}{∂t} =
=c [\frac{∂u}{∂ξ} − \frac{∂u}{∂η}]  (1.5)

Derivando una seconda volta:

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} =\frac{∂^{2}u}{∂ξ^{2}} + 2 · \frac{∂^{2}u}{∂ξ∂η} + \frac{∂^{2}u}{∂η^{2}}  (1.6)
\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} =c^{2} · (\frac{∂^{2}u}{∂ξ^{2}} − 2 · \frac{∂^{2}u}{∂ξ∂η} + \frac{∂^{2}u}{∂η^{2}})  (1.7)

e dunque, sostituendo nella (1.2) otteniamo che:

\frac{∂^{2}u}{∂ξ∂η} = 0  (1.8)

L’Eq.(1.8) indica che la derivata rispetto a η è una costante rispetto a ξ, dunque una funzione della sola η:

\frac{∂u}{∂η} = f_{1}(η)  (1.9)

Integrando ancora rispetto a η:

u(ξ, η) = ∫ f_{1}(η)dη + C  (1.10)

ove C è una costante rispetto ad η e dunque può essere una funzione di ξ. In definitiva:

u(x, t) = g_{1}(x − ct) + g_{2}(x + ct)  (1.11)

Le funzioni generiche f_{1}(x − ct) e f_{2}(x + ct) indicano due perturbazioni che si propagano lungo la corda nelle due direzioni opposte con velocità di modulo c. Queste funzioni possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali:

u(x, t = 0) = ϕ(x) \frac{∂u}{∂t} |_{t=0}= ϕ_{1}(x)  (1.12)

Si ricava:

u(x, t) = \frac{ϕ(x − ct) + ϕ(x + ct)}{2} + \frac{1}{2c} ∫_{x−ct}^{x+ct} ϕ_{1}(z)dz  (1.13)

nota come soluzione di D’Alambert e le rette x ± ct = cost nel piano xt sono le caratteristiche.

1.2.1 Corda finita

Se la corda ha dimensione finita di lunghezza l, fissata agli estremi (x = 0 x = l), oltre alle condizioni (1.12) devono essere soddisfatte le condizioni ulteriori:

u(x = 0, t) = 0 u(x = l, t) = 0  (1.14)

La soluzione di D’Alambert, continua ad essere valida, ma le funzioni g_{1}(x − ct) e g_{2}(x + ct) hanno un argomento che può essere all’estreno dell’intervallo di definizione del problema. Per poter risolvere il problema occorrerà considerare solo la perturbazione iniziale della corda infinita tale che il movimento della sua porzione (0, l) sia quello indicato dalle condizioni.

\{ \begin{matrix}g_{1}(−ct) + g_{2}(ct) & = 0 \\ g_{1}(l − ct) + g_{2}(l + ct) & = 0 \end{matrix}

o, indicando la variabile indipendente semplicemente con x:

\{ \begin{matrix}g_{1}(−x) & = −g_{2}(x) \\ g_{1}(l − x) & = −g_{2}(l + x) \end{matrix}  (1.15)

Possiamo verificare che, sostituendo nella seconda delle (1.15) x con (l + x), e utilizzando la prima, si ottiene:

g_{2}(x + 2l) = −g_{1}(−x) = g_{2}(x)

e dunque g_{2}(x) è periodica di periodo 2l, e analogamente per la g_{1}(x).

1.3 Oscillazioni di un gas compresso

Figura 1.2: Schematizzazione delle forze agenti su un gas compresso in un cilindro

Consideriamo un gas contenuto in un cilindro di volume dV = Sdx e limitato da un lato da un pistone. Se il pistone (la parete si sinistra del cilindro) si muove di dξ, la variazione di pressione fra le due facce,all’inizio, sarà, al primo ordine:

dP = \frac{∂p}{∂x}dx

e di conseguenza, la forza agente sul pistone

dF = SdP = −S \frac{∂P}{∂x} dx

Applicando la prima legge di Newton F = ma ed essendo m = ρ_{0}V si ottiene:

ρ_{0}Sdx\frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = −S \frac{∂P}{∂x} dx  (1.16)

Dividendo tutto per Sdx si ha:

ρ_{0} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = −\frac{∂P}{∂x}  (1.17)

La variazione di pressione può essere calcolata introducendo il coefficente di compressibilità k tale che:

dP = −\frac{1}{k} \frac{dV}{V}  (1.18)

La variazione relativa di volume sarà

\frac{S(dx + dξ) − S(dx)}{Sdx} = \frac{∂ξ}{∂x}

e dunque:

dP = −\frac{1}{k} \frac{∂ξ}{∂x}dx  (1.19)

e quindi

P_{x+ξ} = P_{0} − \frac{1}{k} \frac{∂ξ}{∂x}dx

La pressione nel punto x + ξ + dx + dξ è data da:

P_{x+ξ+dx+dξ} = P_{0} − \frac{1}{k} \frac{∂ξ}{∂x}dx + \frac{∂}{∂x} (P_{0} − \frac{1}{k} \frac{∂ξ}{∂x}) dx = P_{x+ξ} − \frac{1}{k} \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}} dx (1.20)

Dunque, sostituendo nella (1.17), otteniamo:

ρ_{0} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}} = \frac{1}{k} \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}}  (1.21)

ovvero:

(\frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − c^{2}∇^{2}) ξ = 0  (1.22)
c = \frac{1}{\sqrt{ρk}}  (1.23)

In una trasformazione adiabatica, è: P V^{γ} = Cost, dunque P ρ^{−γ} = k implica che:

\frac{∂P}{∂ρ} = kγρ^{γ−1}  (1.24)

Dunque, utilizzando la ρ^{γ} = P/k e la definizione di k (1.18):

dP = \frac{γP dρ}{ρ} = −\frac{1}{k} \frac{dρ}{ρ}

da cui si ricava, che per un gas adiabatico, il coefficiente di compressibilità vale:

\frac{1}{k} = γP  (1.25)

L’equazione delle onde che abbiamo ricavato, riguarda lo spostamento. Per ricavare il comportamento della pressone, possiamo partire dalla (1.18), scritta come:

P = P_{0} − \frac{1}{k} \frac{∂ξ}{∂x}

dunque, derivando due volte rispetto a x otteniamo:

\frac{∂^{2}P}{∂x^{2}} = −\frac{1}{k} \frac{∂}{∂x} \frac{∂^{2}ξ}{∂x^{2}}

ma, per la (1.21):

\frac{∂^{2}P}{∂x^{2}} = −ρ_{0} \frac{∂}{∂x} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}}  (1.26)

D’altra parte derivando rispetto a t due volte:

\frac{∂^{2}P}{∂t^{2}} = −\frac{1}{k} \frac{∂}{∂x} \frac{∂^{2}ξ}{∂t^{2}}  (1.27)

e, confrontando le (1.26) e (1.27), si ricava:

\frac{∂^{2}P}{∂t^{2}} = \frac{1}{ρ_{0}k} \frac{∂^{2}P}{∂x^{2}}  (1.28)

Dunque anche la pressione varia nel cilindro secondo l’equazione delle onde, e analogamente si può ragionare per la densità.

1.4 Il metodo di Fourier

Per una corda fissata agli estremi, un metodo alternativo, che porta ad interessanti conseguenze è quello di Fourier o di separazione delle variabili. Si tratta di cercare soulzioni particolari dell’equazione di D’Alambert, che siano il prodotto di una funzione solo del tempo e di una del solo spazio:

u(x, t) = X(x)T (t)  (1.29)

Sostituendo questa soluzione nell’eq. (1.2), otteniamo:

c^{2}X′′(x)T (t) = X(x)T̈(t)  (1.30)

avendo indicato con il punto la derivazione rispetto al tempo e con l’apice quella rispetto alla x. Dividendo entrambi i membri per X(x)T (t) otteniamo:

c^{2} \frac{X′′(x)}{X(x)} = \frac{T̈(t)}{T (t)}  (1.31)

Poiché il primo membro è solo funzione di x e il secondo solo di t, l’uguaglianza vale solo se entrambi i rapporti sono uguali ad una medesima costante λ (detta di separazione). Pertanto, l’Eq.(1.31) è equivalente al sistema di equazioni:

X′′(x) − λX(x) = 0
T̈(t) − λT (x) = 0  (1.32)

La soluzione delle (1.32) è del tipo:

X(x) = Ae^{\sqrt{λ}x} + Be^{−\sqrt{λ}x}
T (t) = Ce^{\sqrt{λ}t} + De^{−\sqrt{λ}t}  (1.33)

Alla prima delle (1.33) possiamo aggiungere le condizioni al contorno: X(0) = X(l) = 0. Sostituendo la prima condizione nella (1.33) otteniamo A = −B e dunque, se λ > 0 allora X(x) = 2Asinh(\sqrt{λ}x). Siccome il seno iperbolico si annulla solo nell’origine, allora non può essere verificata la seconda condizione al contorno. Pertanto λ dovrà essere negativa: λ = −k^{2} e quindi:

X(x) = 2iA sin(kx)  (1.34)

Sostituendo la seconda condizione si ha che sin(kl) = 0 che è soddisfatta solo per k_{n} = \frac{nπ}{l}. Si avranno dunque infinite soluzioni, tutte equivalenti, anche la somma di queste è una soluzione. Pertanto la soluzione generale sarà:

X(x) = ∑_{n=0}^{∞} A_{n} sin(\frac{nπ}{l})  (1.35)

La costante A può essere trovata imponendo che la soluzione sia normalizzata, ovvero

∫_{0}^{l} X^{2}dx = 1 ⇔ A^{2} · \frac{l}{2} = 1  (1.36)

e dunque

A_{n} = \sqrt{\frac{2}{l}}  ∀n  (1.37)

Passando alla parte temporale, possiamo scrivere, ponendo anche qui λ = −k^{2}:

T̈(t) + ω^{2}T (t) = 0

con ω_{n} = ck_{n} e la costante k_{n} è quella trovata precedentemente. Sostituendo nella seconda delle (1.33) otteniamo:

T (t) = Ce^{iωt} + De^{−iωt}

Imponendo le condizioni (1.12) e conglobando il fattore di normalizzazione nelle costanti:

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} [(C_{n} · e^{iω_{n}t} + D_{n} · e^{−iω_{n}t}) sin(\frac{nπx}{l})]  (1.38)

u(x, t = 0) = ∑_{n=1}^{∞}(C_{n} + D_{n})sin(\frac{nπx}{l}) = ϕ(x)

u̇(t = 0) = i ∑_{n=1}^{∞} ω_{n}(C_{n} − D_{n})sin(\frac{nπx}{l}) = ϕ_{1}(x)

Se chiamiamo: C_{n} + D_{n} = α_{n} e i(C_{n} − D_{n}) = β_{n},moltiplichiamo entrambi i membri per sin(\frac{nπx}{l}) e integriamo, ricordando la (1.36), otteniamo:

α_{n} = \frac{2}{l} ∫_{0}^{l} sin (\frac{nπx}{l}) ϕ(x)dx  (1.39)
β_{n} = \frac{2}{cnπ} ∫_{0}^{l} sin (\frac{nπx}{l}) ϕ_{1}(x)dx  (1.40)

Considerato che C_{n} = α_{n} − iβ_{n} e D_{n} = α_{n} + iβ_{n}, si vede che sono uno il complesso coniugato dell’altro, e la u(x,t), può essere scritta come una somma bilaterale con un unico parametro complesso. I coefficienti α_{n} e β_{n} che abbiamo trovato sono i coefficienti (di Fourier) dello sviluppo di u(x,t) in una serie che possiamo ricavare manipolando la (1.38) e che prende il nome di Serie di Fourier:

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} (α_{n}cos (\frac{cnπ}{l} t) + β_{n}sin (\frac{cnπ}{l} t)) sin (\frac{nπ}{l} x)  (1.41)

che in forma complessa può essere scritta come:

u(x, t) = ∑_{n=−∞}^{∞} D_{n}e^{i(k_{n}x−ω_{n}t)}  (1.42)

in cui vale la relazione (di dispersione) ω_{n} = c · k_{n}, D_{−n} = D̄_{n} e

D_{0} = \frac{1}{2l} ∫_{0}^{l} ϕ(x)dx

1.5 Oscillazioni di una membrana

Consideriamo le oscillazioni libere di una membrana rettangolare i cui contorni consistano nei punti del piano (x, y):x = 0 x = l y = 0 y = m. Cerchiamo soluzioni dell’equazione:

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = a^{2} (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}})  (1.43)

che si annullino sul contorno e di cui siano note, all’istante iniziale, la forma funzionale ϕ_{1}(x, y) e la quella della sua derivata temporale ϕ_{2}(x, y).

Di nuovo, applichiamo il metodo di Fourier, cioè cerchiamo soluzioni del tipo:

(αcos(ωt) + βsin(ωt)) U(x, y)  (1.44)

Queste inserite nella (1.43) danno:

−ω^{2} (αcos(ωt) + βsin(ωt)) U(x, y) = a^{2} (\frac{∂^{2}U}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂y^{2}} ) (αcos(ωt) + βsin(ωt))

(1.45)

da cui, raccogliendo i termini e ponendo ω^{2}/a^{2} = k^{2}, si ottiene:

(\frac{∂^{2}U}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂y^{2}} ) + k^{2}U = 0  (1.46)

Come al solito, separando le variabili: U(x, y) = X(x)Y (y), otteniamo due equazioni:

\{ \begin{matrix}X′′ + λ^{2}X = 0 \\ Y′′ + μ^{2}Y = 0 \end{matrix}  (1.47)

ove: λ^{2} + μ^{2} = k^{2}.

Il sistema (1.47) dà la soluzione generica:

X(x) = C_{1}sin(λx) + C_{2}cos(λx)
Y (y) = C_{3}sin(μy) + C_{4}cos(μy)

La condizione al contorno X(0) = X(l) = 0 e Y (0) = Y (m) = 0 ci permettono di dire che C_{2} = C_{4} = 0, e dunque, a meno delle costanti non nulle:

X(x) = sin(λx)
Y (y) = sin(μy)  (1.48)

Dalla (1.48), segue che λ e μ hanno un’infinità di valori tali che:

λ_{i} = \frac{iπ}{l}

μ_{j} = \frac{jπ}{m}  (1.49)

Corrispondentemente, per le costanti k^{2} e ω^{2} otteniamo:

k_{ij}^{2} = π^{2} (\frac{i^{2}}{l^{2}} + \frac{j^{2}}{m^{2}} )  (1.50)
ω_{ij}^{2} = ak_{i,j}^{2}  (1.51)

La soluzione sarà del tipo

u(x, y, t) = ∑_{ij} (α_{ij}cos(ω_{ij}t) + β_{ij}sin(ω_{ij}t)) sin (\frac{iπx}{l}) sin (\frac{jπy}{m} ) (1.52)

Ove le costanti si calcolano imponendo le condizioni iniziali. Vediamo dalla (1.52) che, per per ciascuna frequenza propria, esistono più forme differenti della membrana, con differenti linee nodali, cioè linee in cui l’ampiezza della vibrazione si annulla.

Consideriamo il caso di una membrana quadrata: l = m = r.

La frequenza in quest caso è data da:

ω_{ij} = \frac{aπ}{r} \sqrt{i^{2} + j^{2}}  (1.53)

Cominciamo a considerare il caso i = 1, j = 1: ω_{11} = α\sqrt{2} frequenza fondamentale;

u_{11} = N_{11}sin(ω_{11}t + ϕ_{11})sin (\frac{πx}{r}) sin (\frac{πy}{r} )

Non si annulla in nessun altro punto che non sia il bordo. Passiamo al caso i = 1, j = 2. La frequenza sarà: ω_{12} = ω_{21} = α\sqrt{5} in corrispondenza della quale saranno possibili due forme della membrana:

u_{12} = N_{12}sin(ω_{12}t + ϕ_{12})sin (\frac{πx}{r}) sin (\frac{2πy}{r} )

u_{21} = N_{21}sin(ω_{12}t + ϕ_{21})sin (\frac{2πx}{r}) sin (\frac{πy}{r} )

che hanno linee nodali per:

x = \frac{r}{2}; y = \frac{r}{2}

Oltre alle u_{12} e u_{21} ci sono anche altre infinite soluzioni equivalenti date dalle loro combinazioni lineari, per es. (ponendo per semplicità ϕ_{12} = ϕ_{21} = 0):

u(x, y, t) = sin(ω_{21}t) [N_{1}sin (\frac{πx}{r}) sin (\frac{2πy}{r} ) + N_{2}sin (\frac{2πx}{r}) sin (\frac{πy}{r} )]

Ponendo N_{1} = N_{2} e u(x, y, t) = 0, ricaviamo la linea nodale: x + y = 0, mentre per N_{1} = −N_{2}, si ha x − y = 0. I modi corrispondenti a questo caso sono mostrati in Fig. 1.3

Figura 1.3: Posizione delle linee nodali per il caso i=1, j=2 14 CAPITOLO 1. OSCILLAZIONI E ONDE

Serie e trasformate di Fourier

2.1 Serie di Fourier

2.1.1 Definizioni

Abbiamo visto nel par. 1.4, che la risoluzione del problema della corda vibrante, conduce ad una soluzione che è la somma di seni e coseni moltiplicati per opportuni coefficienti:

u(x, t) = ∑_{n=1}^{∞} [α_{n}cos (\frac{cnπ}{l} t) + β_{n}sin (\frac{cnπ}{l} t)] sin (\frac{nπ}{l} x)  (2.1)

In generale, diremo che una funzione della variabile x, f(x), definita nell’intervallo −π < x < π, è sviluppabile in serie di Fourier, se converge la somma:

f(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} [a_{n}cos(nx) + b_{n}sin(nx)]  (2.2)

Il termine a_{0}/2 è il valor medio della funzione, e si può ricavare integrando la (2.2) ad ambo i membri fra −π e π.

a_{0} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x)dx  (2.3)

Avendo tenuto conto che gli integrali di seno e coseno, su un numero intero di periodi, sono nulli. I parametri a_{n} e b_{n} si possono ricavare moltiplicando ambo i membri della (2.2) rispattivamente per cos(mx) e sin(mx) ed integrando:

a_{m} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x)cos(mx)dx  (2.4)
b_{m} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x)sin(mx)dx  (2.5)

avendo considerato che l’integrale del seno e coseno al quadrato, su un numero intero di periodi, è 1/2 e l’integrale dei prodotti misti si annulla.

Se la f(x) è definita in un intervallo c − d < x < c + d, allora sarà:

f(x) =\frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} [a_{n}cos (nπ \frac{(x + c)}{d}) + b_{n}sin (nπ \frac{(x + c)}{d})]  (2.6)

a_{n} =\frac{1}{d} ∫_{c−d}^{c+d} f(x)cos (nπ \frac{(x + c)}{d}) dx  (2.7)
b_{n} =\frac{1}{d} ∫_{c−d}^{c+d} f(x)sin (nπ \frac{(x + c)}{d}) dx  (2.8)

Considerato che la somma (2.2) è composta da termini pari e termini dispari, è chiaro che se la funzione è pari(f(x) = f(−x)), i coefficienti dei termini dispari saranno tutti nulli (come si può vedere anche direttamente dalle definizioni (2.5)), e viceversa, per le funzioni dispari (f(x) = −f(−x)), sarà una somma di soli seni. Abbiamo già visto in 1.4, che la serie di Fourier può essere espressa come somma bilatera attraverso l’uso di una unica variabile complessa, usando la definizione di seno e coseno in termini di esponenziali complesse:

cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{−ix}}{2}  (2.9)
sin(x) = \frac{e^{ix} − e^{−ix}}{2i}  (2.10)

f(x) =\frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} [a_{n}cos(nx) + b_{n}sin(nx)] =

= \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} [a_{n} (\frac{e^{inx} + e^{−inx}}{2} ) + b_{n} (\frac{e^{inx} − e^{−inx}}{2i} )] =

= \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} [\frac{1}{2}(a_{n} − ib_{n})e^{inx} + \frac{1}{2}(a_{n} + ib_{n})e^{−inx}] =

= ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inx}  (2.11)

c_{n} = \begin{cases}\frac{1}{2}(a_{n} − ib_{n}) & n ≥ 1 \\ \frac{a_{0}}{2} & n = 0 \\ \frac{1}{2}(a_{n} + ib_{n}) & n < 0 \end{cases}  (2.12)

2.1.2 Esempio: la onda quadra

Come esempio di sviluppo in serie di Fourier consideriamo la funzione onda quadra

f(x) = \begin{cases}−1 & −1 < x < 0 \\ 1 & 0 < x < 1 \end{cases}

Figura 2.1: Risultato dello sviluppo in serie di Fourier relativo all’onda quadra. In blu la curva relativa ai primi 3 termini, in rosso quella con 10 termini

Questa funzione è dispari, dunque sarà composta da una serie di soli seni. Dalla definizione (2.8):

b_{n} =2 ∫_{0}^{1} sin(πnx)dx

= 2 [−\frac{1}{nπ} cos(nπx)]_{0}^{1} =

= −\frac{2}{nπ} [(−1)^{n} + 1] =

= \begin{cases}\frac{4}{nπ} & n = 2m + 1 \\ 0 & n = 2m \end{cases}

In Fig.2.1 è mostrato il risultato dello sviluppo in serie per i primi 3 e 10 termini diversi da 0. Si può notare - in particolare nella curva a 10 termini - che l’ampiezza dell’oscillazione vicino allo spigolo dell’onda quadra è maggiore di quella nella parte piatta. Questo fenomeno è una caratteristica generale delle rappresentazioni di funzioni discontinue in serie di Fourier troncate ad un numero finito di termini, e prende il nome di fenomeno di Gibbs. Più in generale, data una funzione periodica differenziabile che presenta un punto di discontinuità di altezza a, la serie di Fourier troncata presenta una soprelevazione di circa 0.089490a ad ogni estremità. Ovvero la funzione che deriva dalla serie di Fourier troncata presenta una discontinuità del 18% più grande della funzione originale.

2.1.3 Condizioni per la convergenza

Una condizione ovvia per la convergenza della serie di Fourier è che tutti i suoi coefficienti siano finiti. Questo si traduce nella condizione di Dirichlet:

Condizione necessaria per la convergenza della serie che rappresenta la funzione periodica f(x) è che la funzione sia assolutamente integrabile su un periodo T, ovvero che:

∫_{T} |f(x)| dx < ∞  (2.13)

Infatti, dalla definizione dei coefficienti della serie espressa in forma bilatera (complessa), risulta:

|a_{k}| ≤ |\frac{1}{T} ∫_{T} f(x)e^{ikx}dx| =
=\frac{1}{T} ∫_{T} |f(x)e^{ikx}dx| =
=\frac{1}{T} ∫_{T} |f(x)|dx

essendo 1 il modulo dell’esponenziale complesso. Quindi, se la (2.13) è verificata, per un qualsiasi periodo T finito, sarà anche verificata la: |a_{k}| < ∞. Una funzione che viola la condizione di Dirichlet è f(x) = \frac{1}{x} per 0 < x < 1. Un’altra condizione di convergenza è che: in qualsiasi intervallo finito della variabile indipendente, ci siano un numero finito di massimi e minimi durante un singolo periodo della funzione. Un esempio di funzione che rispetta la condizione di Dirichlet ma non quest’ultima condizione è:

f(x) = sin (\frac{2π}{x} )

che è di periodo 1, si puo verificare che è assolutamente integrabile:

∫_{0}^{1} |f(x)|dx < 1

ma ha un numero infinito di massimi e minimi che si addensano verso x = 0. Ultima condizione è che in qualsiasi intervallo finito della variabile indipendente, ci siano un numero finito di discontinuità e che ciascuna di queste sia finita.

2.2 Trasformate di Fourier

Consideriamo una funzione qualsiasi f(x) non periodica definita in un intervallo della x : |x| < T e nulla altrove. Questa può essere resa periodica considerando copie identiche della funzione centrate ad intervalli T_{0} > T sull’asse delle x. Se scriviamo la serie di Fourier di f(x) in forma complessa, esprimendo per esteso i coefficienti:

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} [\frac{1}{T_{0}} ∫_{−T_{0}/2}^{T_{0}/2} f(x)e^{−ikω_{0}x}dx] e^{ikω_{0}x}  (2.14)

Siccome f(x) = 0 per |x| > T_{0}/2, l’integrale può essere esteso all’intervallo [−∞, ∞], e definire l’inviluppo di T_{0}a_{k} la funzione:

X(kω_{0}) = ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−ikω_{0}x}dx  (2.15)

così che i coefficienti dello sviluppo di Fourier possano essere scritti come:

a_{k} = \frac{1}{T_{0}} X(kω_{0})

Considerato che: ω_{0} = \frac{2π}{T_{0}} è la frequenza della funzione,possiamo scivere la serie:

f(x) = \frac{1}{2π} ∑_{k=−∞}^{∞} X(kω_{0})ω_{0}e^{ikω_{0}x}  (2.16)

Quando T_{0} → ∞, ω_{0} → 0 e la somma tende ad un integrale, di modo che le (2.16) e (2.15) diventano:

f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} X(ω)e^{iωx}dω  (2.17)
X(ω) = ∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−iωx}dx  (2.18)

L’eq. (2.18) è la trasformata di Fourier della funzione f(x), mentre la (2.18) è l’antitrasformata di Fourier della funzione X(ω).

2.2.1 Esempi di Trasformata di Fourier

Come primo esempio di funzione di cui calcolare la trasformata prendiamo il caso in cui:

f(x) = δ(x)

la trasformata sarà:

X(ω) = ∫_{−∞}^{∞} δ(x)e^{−iωx}dx = 1

essendo la δ(x) sempre nulla tranne che per x = 0 dove vale 1.

Prendiamo ora la funzione impulso quadrato:

f(x) = \begin{cases}1 & |x| < T_{1}; \\ 0 & |x| > T_{1} \end{cases}

X(ω) = ∫_{−T_{1}}^{T_{1}} e^{−iωx}dx = −\frac{1}{iω} [e^{−iωT_{1}} − e^{iωT_{1}}] =

= 2\frac{sin(ωT_{1})}{ω}

Al contrario, troviamo adesso la funzione f(x) la cui trasformata sia un gradino nel piano delle frequenze:

X(ω) = \begin{cases}1 & |ω| < W; \\ 0 & |ω| > W \end{cases}

L’antitrasformata ci dà:

f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−W}^{W} e^{iωx}dω = \frac{sin(W x)}{πx}

Figura 2.2: Risultato dell’antitrasformata di Fourier della funzione impulso, per W=3

2.2.2 Proprietà delle trasformate di Fourier

Enunciamo, senza dimostrazione alcune delle proprietà delle trasformate di Fourier:

• La trasformata di Fourier è lineare:

af_{1}(x) + bf_{2}(x) → aF_{1}(ω) + bF_{2}(ω)  (2.19)

• Simmetria della trasformata: se f(x) è una funzione di x a valori reali

allora

F (−ω) = F̄(ω)  (2.20)

• Proprietà di shift:

f(x − x_{0}) → e^{−iωx_{0}}F (ω)  (2.21)

• differenziazione e integrazione:

\frac{f(x)}{dx} → iωF (ω)  (2.22)
∫ f(x)dx → \frac{1}{iω} F (ω) + πF (0)δ(ω)  (2.23)

• Proprietà di scala:

f(ax) → \frac{1}{|a|}F (\frac{ω}{a} )  (2.24)

• Relazione di chiusura: è l’analogo della relazione di chiusura esistente fra due vettori ortonormali:

\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{iω(x−x′)}dω = δ(x − x′)  (2.25)

(che riflette il fatto che le \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{iωx} formano una base ortonormale in uno spazio funzionale)

Legata a quest’ultima proprietà, è la relazione di Parseval, che dimostriamo:

∫_{−∞}^{∞} |f(x)|^{2}dx = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} |F (ω)|^{2}dω  (2.26)

∫_{−∞}^{∞} |f(x)|^{2}dx = ∫_{−∞}^{∞} f(x)f^{∗}(x)dx =

= ∫_{−∞}^{∞} f(x) [\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} F^{∗}(ω)e^{−iωx}dω] dx

= \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} F^{∗}(ω) [∫_{−∞}^{∞} f(x)e^{−iωx}dx] dω =

= \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} F^{∗}(ω)F (ω)dω

Prodotto di convoluzione

Si definisce prodotto di convoluzione (folding) di due funzioni f(x) e h(x), l’integrale:

y(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(ξ)h(x − ξ)dξ  (2.27)

Quando le funzioni sono nel dominio del tempo, la h(t − τ) è la risposta all’impulso e f(τ) è la sollecitazione.

La trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione è il prodotto ordinario delle trasformate di Fourier delle funzioni. Infatti:

Y (ω) = ∫_{−∞}^{∞} [∫_{−∞}^{∞} f(ξ)h(x − ξ)dξ] e^{−iωx}dx =
= ∫_{−∞}^{∞} f(ξ) [∫_{−∞}^{∞} h(x − ξ)e^{−iωx}dx] dξ

Sfruttando la proprietà di shift (2.21),

∫_{−∞}^{∞} h(x − ξ)e^{iωx}dx = H(ω)e^{−iωξ}

dunque:

Y (ω) = H(ω) ∫_{−∞}^{∞} f(ξ)e^{−iωξ}dξ = H(ω)X(ω)

H(ω) prende il nome di Risposta in Frequenza del sistema.

Spettro di una funzione

Si definisce spettro di frequenza di una funzione, l’andamento delle ampiezze dei coefficienti di Fourier in funzione delle frequenze, o, nel continuo, l’andamento della trasformata di Fourier.

Spesso, si fa riferimento alla densità di potenza spettrale (Power Spectral Density - PSD) che è una quantità reale e deriva dalla funzione di autocorrelazione. Questa funzione deriva dall’esigenza di voler stimare la distribuzione della potenza di un segnale alle varie frequenze, basndosi su un insieme finito di dati. La correlazione fra due segnali continui x(t) e y(t) è il prodotto di convoluzione:

R_{xy}(τ) = ∫_{−∞}^{∞} x(t)y(t + τ)dτ  (2.28)

che da un idea della simiglianza dei segnali. Se x ed y sono lo stesso segnale, si ottiene la funzione di autocorrelazione R_{xx}(τ) che è massima per τ = 0 ove esprime il valore dell’energia del segnale. Lo spettro di potenza è legato all’autocorrelazione dalla trasformata di Fourier:

S_{xx}(ω) = ∫_{−∞}^{∞} R_{xx}(τ)e^{−iωτ} dτ  (2.29)

da cui si può ricavare la autocorrelazione antitrasformando. Come si è detto la funzione di autocorrelazione, per ritardo nullo esprime l’energia del segnale:

R_{xx}(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} S_{xx}(ω)dω  (2.30)

La densità di potenza spettrale PSD è definita dall’integrando di (2.30)

P SD(ω) = \frac{S_{xx}(ω)}{2π}  (2.31)

2.2.3 Campionamento

Il campionamento di un segnale continuo consiste nel considerare la serie dei valori che questo segnale assume ad intervalli di tempo discreti. Per semplicità assumeremo che gli intervalli di tempo considerati siano istantanei ed equispaziati con un periodo T. In questa ipotesi, campionare equivale a considerare la somma:

x_{p}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} x(t)δ(x − kT)  (2.32)

Applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri, otteniamo:

X_{p}(ω) = ∫_{−∞}^{∞} (x(t) ∑_{k=−∞}^{∞} δ(x − kT)) e^{−iωt}dt  (2.33)

La somma di funzioni delta di Dirac centrate in punti equispaziati (Fig.2.3) è una funzione periodica pari, e dunque può essere sviluppata in serie di Fourier i cui coefficienti sono:

c_{k} = \frac{1}{T} ∫_{−T/2}^{T/2} δ(t)e^{−ikωt}dt = \frac{1}{T}  (2.34)

Figura 2.3: Treno di impulsi periodici e la sua trasformata di Fourier

e dunque:

∑_{k=−∞}^{∞} δ(x − kT) = \frac{1}{T} ∑_{k=−∞}^{∞} e^{ikω_{s}t}  (2.35)

ove ω_{s} = \frac{2π}{T}. Sostituendo la (2.35) al posto della sommma nella (2.33), otteniamo:

X_{p}(ω) = ∫_{−∞}^{∞} x(t) ∑_{k=−∞}^{∞} δ(x − kT)e^{−iωt} = \frac{1}{T} ∫_{−∞}^{∞} x(t) ( ∑_{k=−∞}^{∞} e^{−i(ω−kω_{s})t}) dt =

= \frac{1}{T} ∑_{k=−∞}^{∞} (∫_{−∞}^{∞} x(t)e^{−i(ω−kω_{s})t}dt) =

= \frac{1}{T} ∑_{k=−∞}^{∞} X(ω − kω_{s})  (2.36)

In definitiva, la trasformata di Fourier X_{p}(ω) di un segnale campionato, è la somma di repliche della trasformata di Fourier del segnale continuo X(ω), centrate in multipli della frequenza di campionamento ω_{s} scalate di un fattore 1/T (vedi Fig.2.3).

Se X(ω) è limitato in banda, ovvero se è diverso da zero solo per un certo intervallo di frequenze che per semplicità scegliamo simmetricamente tra −ω_{M} e ω_{M}, allora le repliche non si sovrapporranno solo se ω_{M} < (ω_{s} − ω_{M}) cioè, se ω_{s} > 2ω_{M}. In caso contrario, nella trasformata di Fourier del segnale campionato, saranno presenti delle frequenze che non appartegono al segnale ma alle sue repliche (Fig. 2.4). Quanto mostrato è il teorema del campionamento: Dato un segnale x(t) limitato in banda, la cui trasformata di Fourier X(ω) = 0 per |ω| > ω_{M}, il segnale è univocamente determinato dai suoi campioni x_{p}(kT_{s}) se la frequenza di campionamento è maggiore di 2 volte la frequenza massima del segnale: ω_{s} = \frac{2π}{T_{s}} > 2ω_{M} e considerando lo spettro contenuto nella banda di Figura 2.4: Effetto del campionamento di un segnale limitato in banda sullo spettro delle frequenze, per ω_{s} > 2ω_{M} e per ω_{s} < 2ω_{M}

frequenze |ω_{c}| <= \frac{ω_{s}}{2} . La frequenza ω_{s} = 2ω_{M} è la Frequanza di Nyquist per il segnale considerato.

Aliasing di campionamento

Consideriamo di voler campionare un segnale sinusoidale:

x(t) = cos(ω_{0}t)

Il suo spettro è composto da due sole linee, centrate a ±ω_{0}. Se campioniamo il segnale con una frequenza di campionamento ω_{s} < 2ω_{0} otteniamo lo spettro in Fig. 2.5. Se consideriamo solo le frequenze entro ω_{s}/2, sopravvivono solo

Figura 2.5: Effetto del campionamento di un segnale sinusoidale, per ω_{s} < 2ω_{M}. La frequenza ω_{s} − ω_{0} è minore di ω_{0}

ω_{s} − ω_{0}, dunque:

x_{p}(t) = cos [(ω_{s} − ω_{0})t] ≠ x(t)

In altre parole, il segnale campionato rappresenta un segnale con una frequenza minore di quella del segnale originale (alias di campionamento). Se, invece, la frequenza di campionamento è maggiore della frequenza di Nyquist, applicando il taglio a ω_{s}/2 le frequenze originali sopravvivono al taglio, mentre quelle delle repliche vengono tagliate.

Elementi di Campi

3.1 Definizioni

Una quantità fisica che assuma un valore ben definito n ogni punto dello spazio, definisce un campo di questa quantità. Per esempio, la temperatura dell’aria sulla superficie terrestre, varia con continuità da punto a punto, ma in ogni punto in un determinato istante assume un valore ben determinato (per es. da una misura a quell’istante), definisce il campo termico al momento della misura. Se la quantità considerata è uno scalare, come, appunto, la temperatura o la pressione, definisce un campo scalare, se vettoriale, come la velocità, una forza, definisce un campo vettoriale.

3.1.1 Campo Scalare

Un campo scalare è definito da un a funzione U(x, y, z) del punto determinato dalle coordinate x, y, z. In corpo riscaldato, la temperatura varia da punto a punto e si può definire il campo termico nel volume o sulla superficie del corpo. Se consideriamo un punto M e tracciamo una linea orientata ℓ , attraverso il punto M, preso un altro punto M′ sulla medesima retta, possiamo considerare la derivata del campo rispetto alla direzione ℓ, come limite del rapporto incrementale:

\frac{∂U}{∂ℓ} = lim_{MM′→0} \frac{U(M′) − U(M)}{M̄M′}  (3.1)

In ciascun punto si possono definire infinite derivate in tutte le direzioni, ma queste possono tutte essere espresse in termini delle derivate rispetto alle direzioni di x, y, z:

\frac{∂U}{∂ℓ} = \frac{∂U}{∂x} cos(ℓ, x) + \frac{∂U}{∂y} cos(ℓ, y) + \frac{∂U}{∂z} cos(ℓ, z)  (3.2)

Se la linea ℓ, invece di essere una retta è una curva s che attraversa il punto M, la (3.2) continua ad essere valida, pur di considerare i coseni, come i coseni direttori della tangente alla curva s nel punto Mnella direzione di M′:

\frac{∂U}{∂ℓ} = \frac{∂U}{∂x} \frac{dx}{ds} + \frac{∂U}{∂y} \frac{dy}{ds} + \frac{∂U}{∂z} \frac{dz}{ds}  (3.3)

Superfici di livello

Consideriamo le superfici caratterizzate dalla proprietà che in ciascun loro punto, il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C. Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M) = C definite dalla costante C. Per es.nel caso del corpo riscaldato, le superfici di uguale temperatura. Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M (Fig.3.1). Prendiamo 3 direzioni perpendicolari

Figura 3.1: Definizione delle direzioni su una superficie di livello attraverso il punto M

attraverso M, la normale alla superficie \overrightarrow{n}, e le direzioni \overrightarrow{t}_{1} e \overrightarrow{t}_{2}, sul piano tangente. Siccome U(M) è costante lungo tutti i punti di S:

\frac{∂U}{∂t_{1}} = \frac{∂U}{∂t_{2}} = 0  (3.4)

e dunque, presa una qualsiasi direzione ℓ, vista la (3.3), sarà:

\frac{∂U}{∂ℓ} = \frac{∂U}{∂n} \frac{d\overrightarrow{n}}{dℓ}  (3.5)

Gradiente di un campo scalare

Se consideriamo un vettore di modulo \frac{∂U}{∂n} nella direzione \overrightarrow{n}, normale alla superficie di livello, la cui proiezione in una direzione ℓ dà la derivata di U rispetto ad ℓ questo definisce il gradiente del campo scalare U:

\frac{∂U(M)}{∂ℓ} = grad_{ℓ} U(M)  (3.6)

dove grad_{ℓ}U(M) è la proiezione del gradiente di U lungo ℓ, nel punto M. Viste le (3.2) e (3.5), possiamo scrivere:

\frac{∂U(M)}{∂ℓ} = \overrightarrow{∇}U(M) · \overrightarrow{ℓ}  (3.7)

in cui abbiamo introdotto l’operatore vettoriale \overrightarrow{∇} (nabla dal greco ναβλα, arpa), tale che \overrightarrow{∇}U ≡ grad U(M). In coordinate cartesiane:

\overrightarrow{∇} = \frac{∂}{∂x}î + \frac{∂}{∂y} ĵ + \frac{∂}{∂z} k̂

La direzione del gradiente di U è sempre quella della normale alla superficie di livello nel verso un cui in cui il campo è crescente.

Un esempio di uso del gradiente: il flusso di calore

Se i punti di un corpo hanno temperature differenti, il calore tenderà a a passare da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore. La quantità di calore che attraversa un elemento di superficie dS nell’unità di tempo dt, sarà proporzionale a dS, dt, e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS:

dQ = k dS dT |\frac{∂T}{∂n} |  (3.8)

in cui, il coefficiente di proporzionalità k è la conducibiltà termica. Il modulo è necessario perché, se utilizziamo la definizione di gradiente, questa porta ad un segno negativo, perché il flusso di calore va nella direzione delle temperature decrescenti, mentre il gradiente di T, va nella direzione opposta per definizione. Dunque, la (3.8) si può scrivere:

dQ = k |\overrightarrow{∇}T · n| dS dt  (3.9)

3.1.2 Campi vettoriali

Figura 3.2: Linea del campo vettoriale e tubo vettoriale

Consideriamo ora un campo vettoriale: ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo. Definiamo una linea del campo vettoriale, la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto. Si può mostrare che la linea di campo ha equazione:

\frac{dx}{A_{x}} = \frac{dy}{A_{y}} = \frac{dz}{A_{z}}  (3.10)

Se A_{x}, A_{y}, A_{z} sono continue e con derivate continue, per ogni punto M passa ua ed una sola linea di campo vettoriale. Se tracciamo le linee di campo attravrso tutti i punti di una superficie S, il loro insieme forma un tubo vettoriale (Fig.3.2). Per esempio, un tubo di flusso è l’insieme dei vettori densità × velocità di un fluido attraverso una superficie.

3.1.3 Formule integrali utili

Formula di Ostrogradskij

Figura 3.3: Definizione delle variabili per la formula di Ostrogradskij

Consideriamo una funzione R(x,y,z) continua e con le derivate continue in un dominio V limitato dalla superficie S, e consideriamo l’integrale su dV della funzione \frac{∂R(x,y,z)}{∂z}.

∫_{V} \frac{∂R(x, y, z)}{∂z}dV = ∫_{σ_{xy}} dσ_{xy} ∫ \frac{∂R(x, y, z)}{∂z}dz =
= ∫_{σ_{xy}} [R(x, y, z_{2}) − R(x, y, z_{1})] dσ_{xy} =
= ∫ R(x, y, z) cos(n, z)dS  (3.11)

Analogamente posso procedere per l’integrazione di altre due funzioni P (x, y, z) e Q(x, y, z) rispettivamente lungo x e y e ottenere la Formula di Ostrogradskij

∫V (\frac{∂P (x, y, z)}{∂x} + \frac{∂Q(x, y, z)}{∂y} + \frac{∂R(x, y, z)}{∂z}) dV =

= ∫_{S} [P (x, y, z) cos(n, x) + Q(x, y, z) cos(n, y), +R(x, y, z)cos(n, z)] dS (3.12)

3.1. DEFINIZIONI 29 Divergenza di un campo vettoriale Se applichiamo la (3.12) alle A_{x}, A_{y}, A_{z}, otteniamo:

∫V (\frac{∂A_{x}}{∂x} + \frac{∂A_{y}}{∂y} + \frac{∂A_{z}}{∂z} ) dV =
∫_{S} [A_{x} cos(n, x) + A_{y} cos(n, y) + A_{z} cos(n, z)] dS =
∫_{S} \overrightarrow{A} · n dS  (3.13)

Il primo membro della (3.13) è ’integrale sul volume della divergenza del vettore \overrightarrow{A}, che risulta uguale al flusso del vettore A attraverso la superficie S che racchiude il volume:

∫_{V} div \overrightarrow{A} dV = Φ_{S}(A) = ∫_{S} \overrightarrow{A} · n dS  (3.14)

avendo definito:

div \overrightarrow{A} = \frac{∂A_{x}}{∂x} + \frac{∂A_{y}}{∂y} + \frac{∂A_{z}}{∂z}  (3.15)

30 CAPITOLO 3. ELEMENTI DI CAMPI

Solidi

4.1 Deformazioni e sforzi

Consideriamo le proprietà elastiche di un solido visto come un mezzo continuo omogeneo. quest’approssimazone è in genere valida per onde elastiche di lunghezza d’onda inferiore a 10^{−8} m. Le idee fisiche alla base di questa trattazione sono essenzialmente la II legge di Newton e la legge di Hooke. La legge di Hooke dice che la deformazione è direttamente proporzionale allo sforzo; questa legge si applica al caso di piccole deformazioni.

4.1.1 Deformazioni

Consideriamo tre assi ortogonali unitari x̂, ŷ ẑ solidali al solido indeformato (Fig.(4.1)); dopo una deformazione gli assi coordinati saranno cambiati in orientazione e lunghezza. I nuovi assi x̂′, ŷ′ ẑ′ possono essere descritti in funzione

Figura 4.1: Assi coordinati per la descrizione delle deformazioni elastiche nel caso indeformato (a) e dopo la deformazione (b)

dei vecchi, al primo ordine:

\{ \begin{matrix}x′ = (1 + ϵ_{xx})x̂ + ϵ_{xy}ŷ + ϵ_{xz}z \\ y′ = ϵ_{yx}x̂ + (1 + ϵ_{yy})ŷ + ϵ_{yz}z \\ z′ = ϵ_{zx}x̂ + ϵ_{zy}ŷ + (1 + ϵ_{zz})z \end{matrix}  (4.1)

I termini ϵ_{αβ} definiscono le deformazioni del solido e sono adimensionali. Se anche gli assi originali avevano dimensioni unitarie, non altrettanto si può dire degli assi deformati. Per provarlo possiamo calcolare il modulo quadro dell’asse deformato:

x′ · x′ = 1 + 2ϵ_{xx} + ϵ_{xx}^{2} + ϵ_{xy}^{2} + ϵ_{xz}^{2}

dunque, al primo ordine è x′ = 1 + ϵ_{xx}x̂.

L’effetto di una deformazione su un punto originariamente posto ad r = x̂x + ŷy + ẑz sarà di spostare il punto in r′. Lo spostamento indotto dalla deformazione è

R = r′ − r = x(x̂′ − x) + y(ŷ′ − y) + z(ẑ′ − z)  (4.2)

sostituendo le (4.1) e raccogliendo i termini, otteniamo:

R = (xϵ_{xx} + yϵ_{yx} + zϵ_{zx})x̂ + (xϵ_{xy} + yϵ_{yy} + zϵ_{zy})ŷ + (xϵ_{xz} + yϵ_{yz} + zϵ_{zz})ẑ (4.3)

che può essere espressa tramite tre parametri di deformazione locale u(r), v(r) e w(r):

R = u(r)x̂ + v(r)ŷ + w(r)ẑ  (4.4)

Per r piccoli, confrontando le (4.3) e (4.4) otteniamo (con R(0) = 0):

xϵ_{xx} ≃ x\frac{∂u}{∂x}; yϵ_{yx} ≃ y \frac{∂u}{∂y}; ...  (4.5)

Normalmente si lavora con dei parametri e_{αβ} definiti a partire dai parametri ϵ_{αβ}:

e_{xx} = ϵ_{xx} = \frac{∂u}{∂x}; e_{xy} = x′ · y′ = ϵ_{yx} + ϵ_{xy} = \frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x}; e_{xz} = x′ · z′ = ϵ_{zx} + ϵ_{xz} = \frac{∂u}{∂z} + \frac{∂w}{∂x}
e_{yx} = e_{xy};  e_{yy} = ϵ_{yy} = \frac{∂v}{∂y};  e_{yz} = y′ · z′ = ϵ_{yz} + ϵ_{zy} = \frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y}
e_{zx} = e_{yz};  e_{zy} = e_{yz};  e_{zz} = ϵ_{zz} = \frac{∂w}{∂z}  (4.6)

4.1.2 Dilatazione

L’aumento relativo di volume dovuto ad una deformazione è la dilatazione. Il cubo di lati x̂, ŷ ẑ, dopo la deformazione avrà un volume:

x′ × y′ · z′ = |\begin{matrix}1 + ϵ_{xx} & ϵ_{xy} & ϵ_{xz} \\ ϵ_{xy} & 1 + ϵ_{yy} & ϵ_{yz} \\ ϵ_{xz} & ϵ_{yz} & 1 + ϵ_{zz} \end{matrix}| ≃ 1 + ϵ_{xx} + ϵ_{yy} + ϵ_{zz} + O(ϵ^{2}) (4.7)

dunque la dilatazione è:

δ = \frac{ΔV}{V} = ϵ_{xx} + ϵ_{yy} + ϵ_{zz}  (4.8)

4.1.3 Sforzi

Per i solidi una forza applicata ad una superficie unitaria è uno sforzo. Esistono 9 componenti dello sforzo, ciascuna indicata da una lettera maiuscola con un pedice. La lettera indica la direzione dello sforzo e il pedice indica la direzione della normale alla superficie a cui è applicata, per cui,per es. X_{y} è la forza applicata Figura 4.2: Definizione delle componenti dello sforzo: X_{x} è la forza applicata nella direzione di x ad una faccia con normale nella direzione x; X_{y} è applicata in direzione x alla faccia la cui normale è nella direzione y

in direzione dell’asse x alla faccia la cui normale giacie lungo l’asse y (vedi Fig. 4.2. Il numero di componenti può essere ridotto se si applica la condizione che, per un cubo elementare, l’accelerazione angolare sia nulla e dunque la torsione sia nulla. Da questo segue che (Fig. 4.3) X_{y} = Y_{x}, Y_{z} = Z_{y} e Z_{y} = Y_{z}. In totale rimangono 6 componenti indipendenti: X_{x}, Y_{y}, Z_{z}, X_{y}, Y_{z}, Z_{y}. Per convenzione il segno positivo è quello della trazione, la pressione ha quello negativo.

Una notazione alternativa per le componenti dello sforzo, che permette espressioni più compatte, è quella di una lettera (per es S o σ) con due indici, il primo indice indica l’asse cui è ortogonale il piano, la seconda la direzione. Per es. σ_{12} è la trazione nella direzione di x_{2} del piano ortogonale a x_{1}. In questo modo la componente i-esima di una trazione, che è data dalla somma delle componenti i-esime sulle faccie ortogonali all’asse j si scrive:

t_{i} = ∑_{j} σ_{ij}n^{j}

in cui, spesso, il simbolo si sommatoria viene omesso con la convenzione che indici uguali, in alto ed in basso indicano la somma rispetto a quell’indice (si saturano, in gergo).

Da questa notazione è evidente che lo sforzo forma un tensore di rango 2 (una matrice) con tre righe e tre colonne (9 elementi), che, con le considerazioni fatte precedentemente è simmetrico:σ_{ij} = σ_{ji}, il che porta le componenti indipendenti a 6:

[\begin{matrix}σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix}σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ & σ_{22} & σ_{23} \\ & & σ_{33} \end{matrix}]  (4.9)

Le componenti normali dello sforzo sono quelle sulla diagonale, le componenti di taglio sono quelle off-diagonal. Il tensore degli sforzi può essere diagonalizzato in modo che non compaiano sforzi di taglio sulle faccie ortogonali agli assi principali.

Figura 4.3: Dimostrazione che per un corpo in equilibrio X_{y} = Y_{x}. Le forze in ciascuna delle due direzioni si annullano. Anche il momento rispetto all’origine si annulla se X_{y} = Y_{x}

4.2 Onde S e P

4.2.1 Equazioni del moto

Se con la notazione sopra esposta vogliamo scrivere la legge di Newton F=ma, applicata ad un solido, otteniamo:

∑_{i} F_{i} = ∫_{V} f_{i}dV + ∫_{S} t_{i}dS = ∫_{V} f_{i}dV + ∫_{S} σ_{ij}n^{j}dS = ma_{i}  (4.10)

Per il teorema della divergenza, possiamo scrivere:

∫_{S} σ_{ij}n^{j}dS = ∫_{V} \frac{∂σ_{ij}}{∂x_{j}} dV

da cui si deduce l’equazione di Navier:

ρ\frac{∂^{2}u_{i}}{∂t^{2}} = \frac{∂σ_{ij}}{∂x_{j}} + f_{i}  (4.11)

Ignorare le forze di volume f_{i}, semplifica le cose ma può essere pericoloso quando si trattano oscillazioni a bassa frequenza (per es. quando si considerano le oscillazioni di tutta la terra, le forze di gravità sono importanti).

La relazione che lega le deformazioni agli sforzi se è lineare è la legge di Hooke:

σ_{ij} = C_{ijkl}ϵ^{kl}  (4.12)

in cui abbiamo definito il tensore di rigidità (stiffness) del quarto ordine C_{ijkl} le cui componenti sono note come costanti di rigidità elastica o moduli di elasticità.

La legge (4.12), sostituita nella (4.11) e con le definizioni (4.5) ci fornisce la legge di propagazione di una deformazione in un solido:

ρ\frac{∂^{2}u_{i}}{∂t^{2}} = \frac{∂}{∂x_{j}} C_{ijkl} \frac{∂u^{k}}{∂x_{l}} = C_{ijkl} \frac{∂^{2}u^{k}}{∂x^{j}∂x^{l}}  (4.13)

Le 81 componenti del tensore di rigidità, possono essere ridotte grazie a numerose considerazioni: in primo luogo, la simmetria delle σ_{ij} e delle ϵ_{kl} riduce il numero delle componenti indipendenti a 36 (prodotto delle 6 σ indipendenti per le 6 ϵ indipendenti); altre considerazioni meno banali portano le componenti indipendenti a 21. Per ottenere qualche risultato, però dobbiamo ridurre la complessità del mezzo. Il caso più semplice è quello di un mezzo isotropo e omogeneo. In questo caso si dimostra che:

C_{ijkl} = λδ_{ij}δ_{kl} + μ(δ_{ik}δ_{jl} + δ_{il}δ_{jk})  (4.14)

dove le costanti λ e μ sono le costanti di Lamé. Sostituendo la (4.14) nella (4.12) si ottiene:

σ_{ij} = λδ_{ij}δ_{kl}ϵ^{kl} + 2μϵ_{ij}  (4.15)

ma δ_{kl}ϵ^{kl} = ϵ_{11} + ϵ_{22} + ϵ_{33} = ∂u_{k}/∂x_{k} che è l’aumento frazionario di volume Δ, Dunque:

σ_{ij} = λδ_{ij}Δ + 2μϵ_{ij}  (4.16)

La costante di Lamé μ è nota come modulo di deformazione o rigidità, la λ, di per sé non ha significato fisico ma in combinazione con l’altra definisce la costante κ = λ + 2/3μ nota come incomprimiblità o modulo di volume. La rigidità è piccola per materiali con bassa viscosità. Il modulo di volume esprime la resistenza ai cambi di volume κ = −∂P/∂Δ in cui P è la pressione. Concludendo, sostituendo la (4.16) nella (4.13) otteniamo:

ρ\frac{∂^{2}u_{i}}{∂t^{2}} = (λ + μ)\frac{∂}{∂x_{i}} \frac{∂u_{k}}{∂x_{k}} + μ\frac{∂}{∂x_{i}} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}}  (4.17)

4.2.2 Onde

Possiamo scrivere la (4.17) in notazione vettoriale come:

ρü = (λ + μ)∇(∇ · u) + μ∇^{2}u  (4.18)

Facendo uso della identità vettoriale A×B×C = A(B·C)−(A·B)C applicata al vettore ∇ si ottiene che:

∇ × ∇ × u = ∇(∇ · u) − (∇ · ∇)u

e di conseguenza:

∇^{2}u = ∇(∇ · u) − ∇ × ∇ × u

Sostituendo nella (4.18) si ottiene:

ρü = (λ + 2μ)∇(∇ · u) + μ∇ × ∇ × u  (4.19)

che è formata da un primo termine dilazionale ed un secondo termine rotazionale. L’equazione (4.19) è di difficile risoluzione in generale, e si preferisce separarla in equazioni che considerino solo la parte rotazionale o solo quella rotazionale. Per eliminare la parte rotazionale si fa uso della prorietà ∇ · (∇ × A) = 0 che è evidente se si pensa che il prodotto vettoriale di due vettori è ortogonale a entrambi i vettori. Prendendo la divergenza della (4.19), allora si ottiene:

ρ\frac{∂^{2}(∇ · u)}{∂t^{2}} = (λ + 2μ)∇^{2}(∇ · u)  (4.20)

e, detta Θ = ∇ · u:

ρ\frac{∂^{2}Θ}{∂t^{2}} = (λ + 2μ)∇^{2}Θ  (4.21)

che è l’equazione (scalare) della propagazione di un onda di volume attraverso il mezzo con una velocità di propagazione:

v_{s} = \sqrt{\frac{λ + 2μ}{ρ}} = \sqrt{\frac{κ + 4/3μ}{ρ}}  (4.22)

Analogamente, prendendo il rotore, otteniamo:

\frac{∂^{2}(∇ × u)}{∂t^{2}} = β∇^{2}(∇ × u)  (4.23)

che è l’equazione vettoriale della propagazione di un disturbo rotazionale con velocità β = \sqrt{μ/ρ}. Le onde dilazionali e rotazionali sono note rispettivamente come onde P e onde S.

Un modo più elegante per ottenre i risultati appena mostrati è utilizzare l teorema di Helmoltz che dice che qualsiasi campo vettoriale può essere decomposto nella somma di un gradiente di un potenziale scalare e del rotore di un campo vettoriale:

u = ∇Φ + ∇ × Ψ  (4.24)
∇ · Ψ = 0  (4.25)

Possiamo riscrivere la (4.20) in termini dei campi Φ e Ψ

ρ (∇Φ̈ + ∇ × Ψ̈) =(λ + 2μ)∇ [∇ · (∇Φ + ∇ × Ψ)] +
− μ [∇ × ∇ × (∇Φ + ∇ × Ψ)]  (4.26)

dalla quale, eseguendo i prodotti misti ed eliminando le divergenze nulle:

∇ [(λ + 2μ)∇^{2}Φ − ρΦ̈] + ∇ × [μ∇^{2}Ψ − ρΨ̈] = 0  (4.27)

che è verificata se sono separatamente nulli gli addendi nelle due variabili e definisce le velocità delle onde di pressione:

α = \sqrt{\frac{λ + 2μ}{ρ}}

e per le onde di taglio

β = \sqrt{\frac{μ}{ρ}}

.

4.2.3 Rifrazione e riflessione su una superfice di discontinuità

Consideriamo ora un onda u(x, t) che vibri solo nel piano xz, incidente su una superficie di separazione fra due mezzi, posta nel piano xy. Dunque sarà ∂Φ/∂y = 0 e analogamente per Ψ. Il gradiente di Φ è :

∇Φ = ( 0_{\frac{∂Φ}{∂z}}^{\frac{∂Φ}{∂x}} )  (4.28)

e il rotore di Ψ:

∇ × ψ = |\begin{matrix}i & j & k \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ Ψ_{x} & Ψ_{y} & Ψ_{z} \end{matrix}| = ( −\frac{∂Ψ_{y}}{∂z} ; \frac{∂Ψ_{x}}{∂z} − \frac{∂Ψ_{z}}{∂x} ; \frac{∂Ψ_{y}}{∂x} )  (4.29)

che contiene una parte che vibra nel piano xz, che chiameremo Ψ_{V} ed una parte che vibra lungo y, che chiameremo Ψ_{H}. di conseguenza, per il vettore completo:

u(x, t) = (\begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{∂Φ}{∂x} − \frac{∂Ψ_{y}}{∂z} \\ \frac{∂Ψ_{x}}{∂z} − \frac{∂Ψ_{z}}{∂x} \\ \frac{∂Φ}{∂z} + \frac{∂Ψ_{y}}{∂x} \end{matrix} )  (4.30)

Se per questa cerchiamo soluzioni oscillanti del tipo:

u(x, t) = \frac{1}{(2π)^{4}} ∫ u(k, ω)e^{−i(ωt−k·x)}dωd^{3}k  (4.31)

dalla (4.27) ricaviamo le relazioni di dispersione per le onde di pressione e di taglio:

ω^{2}Φ − α^{2}|k|^{2}Φ = 0 ⇒ \frac{ω^{2}}{α^{2}} = (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2})  (4.32)
ω^{2}Ψ − β^{2}|k|^{2}Ψ = 0 ⇒ \frac{ω^{2}}{β^{2}} = (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2})  (4.33)

Sulla superficie di separazione le tensioni t_{i} = σ_{ij}n^{j} devono essere nulle. Se consideriamo il vettore normale alla superficie di separazione, questi sarà lungo l’asse z, dunque t = (σ_{13}, σ_{23}, σ_{33}).

Consideriamo ora l’espressione del tensore degli sforzi (4.16) applicato al vettore (4.30). Avremo, per le componenti che ci interessano:

σ_{13} =μ (\frac{∂u_{1}}{∂x_{3}} + \frac{∂u_{3}}{∂x_{1}} ) = 2μ\frac{∂^{2}Φ}{∂x∂z}
σ_{23} =0
σ_{33} =λ∇^{2}Φ + 2μ\frac{∂^{2}Φ}{∂z^{2}}  (4.34)

Per quello che riguarda le onde Ψ_{V} avremo:

σ_{13} =μ [∂_{3}(−∂_{3}Ψ_{2}) + ∂_{1}∂_{1}Ψ_{2}] = μ (\frac{∂^{2}Ψ_{y}}{∂z^{2}} + \frac{∂^{2}Ψ_{y}}{∂x^{2}} )
σ_{23} =0
σ_{33} =2μ\frac{∂^{2}Ψ_{y}}{∂x∂z}  (4.35)

mentre per le onde Ψ_{H} ci sarà solo

σ_{23} = μ (\frac{∂^{2}Ψ_{x}}{∂z^{2}} − \frac{∂^{2}Ψ_{z}}{∂z∂x} )

Siccome l’onda P incidente vibra solo nel piano xz, le eventuali onde riflesse e rifratte dovranno vibrare solo nello stesso piano, dunque saranno solo P e SV e non ci saranno onde SH.

Le condizioni al contorno sulla superficie di separazione: l’annullarsi degli sforzi e la continuità degli spostamenti, forniranno le relazioni fra le ampiezze delle onde incidenti, riflesse e rifratte. Se consideriamo le (4.32) e (4.33) riferite al piano xz, detti θ_{i}, θ_{i′}, ϕ rispettivamente gli angoli di incidenza, e di riflessione delle onde P e SV e θ_{r} e ϕ_{r} gli angoli di rifrazione delle onde P e SV, sarà:’

k_{P}^{inc} = (sin(θ_{i}) = ω \frac{sin(θ_{i})}{α} , 0 , −cos(θ_{i}) = − ω \frac{cos(θ_{i})}{α}) (4.36)
k_{P}^{rifl} = (ω \frac{sin(θ_{i′})}{α} , 0 , ω \frac{cos(θ_{i′})}{α})  (4.37)
k_{SV}^{rifl} = (ω \frac{sin(ϕ)}{β} , 0 , ω \frac{cos(ϕ)}{β})  (4.38)
k_{P}^{rifr} = (sin(θ_{r}) = ω \frac{sin(θ_{r})}{α′} , 0 , cos(θ_{r}) = ω \frac{cos(θ_{r})}{α′})  (4.39)

(4.40)

Quindi per i potenziali, sarà:

Φ^{inc} = Ae^{−iω(t− \frac{sin(θ_{i})}{α} x+ \frac{cos(θ_{i})}{α} z)}  (4.41)
Φ^{rifl} = Be^{−iω(t− \frac{sin(θ′_{i})}{α} x− \frac{cos(θ_{i})}{α} z)}  (4.42)
Ψ^{rifl} = Ce^{−iω(t− \frac{sin(ϕ)}{β} x− \frac{cos(ϕ)}{β} z)}  (4.43)

per z = 0 deve essere nulla la somma delle tre onde; dunque dovranno essere gli esponenti uguali fra loro e nulla la somma delle costanti. Da ciò si ricava che:

\frac{sin(θ_{i})}{α} = \frac{sin(θ′_{i})}{α} = \frac{sin(ϕ)}{β} = p  (4.44)

che ci dice che gli angoli di incidenza e riflessione delle onde P sono uguali, e:

\frac{sin(θ_{i})}{sin(ϕ)} = \frac{α}{β}

Analogamente possiamo ricavare le relazioni fra l’angolo dell’onda P incidente e gli angoli delle onde rifratte:

\frac{sin(θ_{i})}{sin(θ_{r})} = \frac{α}{α′}  (4.45)
\frac{sin(θ_{i})}{sin(ϕ_{r})} = \frac{α}{β′}  (4.46)

4.3. OSCILLAZIONI DI UN RETICOLO CRISTALLINO MONODIMENSIONALE39

4.3 Oscillazioni di un reticolo cristallino monodimensionale

Fin’ora abbiamo considerato i solidi come dei continui omogenei. Nei materiali cristallini, possiamo considerare gli atomi che compongono i cristalli, in posizioni che formano un reticolo periodico: il reticolo cristallino. Gli atomi che compongono il reticolo cristallino si attraggono reciprocamente con una forza che dipende dal tipo di cristallo considerato (ionico, covalente, molecolare, etc...) e, se spostati dalla posizione di equilibrio, tendono a ritornarci, oscillando. In prima approssimazione possiamo considerare che l’attrazione fra gli atomi del cristallo sia solo fra i primi vicini, trascurando l’attrazione con gli atomi a distanze maggiori di un passo reticolare.

4.3.1 Reticoli di Bravais

Un concetto fondamentale nella descrizione dei cristalli è quello del reticolo di Bravais che specifica la matrice periodica in cui sono organizzate le unità ripetute del cristallo. Queste unità, possono essere composte da uno o più atomi o molecole, il reticolo di Bravais descrive solo la geometria della strutura periodica sottostante.

Un reticolo di Bravais tridimansionale può essere descritto da tutti i punti che abbiano un vettore di posizione:

R = n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3}  (4.47)

dove a_{i} sono tre vettori non complanari detti i vettori primitivi del reticolo e n_{i} tre numeri interi. È importante che, non solo l’arrangiamento ma anche l’orientazione di un reticolo di Bravais deve apparire lo stesso da qualunque punto del reticolo. Per esempio, un reticolo bidimensionale a nido d’ape (esagonale) non è un reticolo di Bravais, perché appare lo stesso se visto da punti adiacenti solo se si ruota di 180.

Un volume di spazio che, traslato lungo tutti i vettori primitivi in un reticolo di Bravais, riempie tutto lo spazio senza sovrapposizioni o buchi, è detto cella primitiva del reticolo. La scelta della cella primitiva non è univoca, ma questa deve contenere esattamente un punto reticolare. Pertanro se n è la densità di punti, qualunque sia la scelta, il volume della cella sarà 1/n. Un cristallo fisico può essere descritto dando il suo reticolo di Bravais e la disposizione degli atomi (molecole, ioni...) nella cella primitiva. Questo insieme è noto come la struttura cristallina e consiste della medesima unità, detta base, ripetuta in tutti i punti del reticolo di Bravais. Per esempio, il reticolo bidimensionale esagonale, pur non essendo in sé un reticolo di Bravais monoatomico, può essere considerato un reticolo di Bravais con una base composta da due punti (vedi Fig4.4).

4.3.2 Oscillazioni in un reticolo monodimensionale monoatomico

Consideriamo, ora un reticolo cristallino monodimensionale. Gli ioni, di massa M, sono in equilibrio in posizioni: R = na. Se lo ione in posizione na si sposta di u(na), possiamo considerare che questo ione sia attratto dagli atomi in posizione (n−1)a e (n+1)a con una forza che è proporzionale alla distanza (se anche non Figura 4.4: Il reticolo esagonale visto come reticolo con una base di due punti

è così, lo si consideri come uno sviluppo in serie al primo ordine). Se chiamiamo K, la costante elastica che lega gli atomi fra loro (la costante di proporzionalità fra la forza e la distanza reciproca, che, se gli atomi sono tutti uguali sarà la stessa per qualunque coppia), allora, possiamo scrivere l’equazione di Newton per l’atomo in posizione na:

Mü(na) = − K {u((n + 1)a) − u(na) − [u(na) − u((n − 1)a)]}
= −K {u((n − 1)a) − 2u(na) + u((n + 1)a)}  (4.48)

Cerchiamo soluzioni del tipo:

u(na) = e^{i(kna−ωt)}  (4.49)

e imponiamo le condizioni periodiche (di Born Von Neumann):

\{ \begin{matrix}u((N + 1)a) = u(a) \\ u(0) = u(Na) \end{matrix}  (4.50)

La seconda delle (4.50) applicate alle 4.49 per t = 0, implica:

u(Na) = e^{ikNa} = u(0) = 1

che è verificata solo per kNa = 2nπ, e dunque k = \frac{2π}{a} \frac{n}{N}.

Sostituendo la (4.49) nella (4.48), otteniamo:

−Mω^{2}e^{i(kna−ωt)} = −K [e^{ika} − 2 + e^{−ikna}] e^{i(kna−ωt)} = −e^{i(kna−ωt)}2K [1 − cos(ka)]

(4.51)

Da cui si ricava la relazione di dispersione:

ω = \sqrt{\frac{2K}{M} (1 − cos(ka))} = 2\sqrt{\frac{K}{M} sin^{2} (\frac{ka}{2})}  (4.52)

Come si vede in Fig.4.5, la relazione fra ω e il numero d’onda, in questo caso non è lineare come nel caso dell’equazione delle onde. Rimane la definizione di velocità di propagazione delle oscillazioni nel mezzo, che, in questo tipo di circostanze dipenderà dalla frequenza della perturbazione:

c(ω) = \frac{∂ω}{∂k} ≡ ∇_{k}ω  (4.53)

Nel caso di reticoli tridimensionali, la velocità del suono potrà essere diversa nelle diverse direzioni.

Figura 4.5: Relazione di dispersione per un reticolo monodimensionale monoatomico

4.3.3 Oscillazioni in un reticolo monodimensionale con una base

Figura 4.6: Catena monodimensionale di atomi identici connessi da costanti elastiche alternate

Consideriamo adesso una reticolo di Bravais monodimensionale con una base composta da due atomi per cella primitiva, con posizioni di equilibrio na e na+d (vedi Fig.4.6). Consideriamo gli atomi identici ma sia d ≤ a/2, in modo che non ci sia sovrapposizione. Gli atomi a distanza d l’uno dall’altro risentiranno di un’attrazione maggiore rispetto a quelli che distano a − d dal vicino. Pertanto, potremo considerare due costanti elastiche: K e G con K > G e due spostamenti per ogni cella primitiva: lo spostamento dalla posizione di equilibrio dell’atomo in posizione na: u_{1}(na), e lo spostamento di quello in posizione na + d: u_{2}(na). Scrivendo le equazioni di Newton per questi due atomi, otteniamo:

Mü_{1}(na) = −K [u_{1}(na) − u_{2}(na)] − G [u_{1}(na) − u_{2}([n − 1]a)]
Mü_{2}(na) = −K [u_{2}(na) − u_{1}(na)] − G [u_{2}(na) − u_{1}([n + 1]a)] (4.54)

Se cerchiamo soluzioni oscillanti del tipo:

u_{1}(na) = ϵ_{1}e^{i(kna−ωt)}u_{2}(na) = ϵ_{2}e^{i(kna−ωt)}

Sostituendo nelle (4.54), e cancellando i fattori comuni, otteniamo un sistema lineare del primo ordine nelle variabili ϵ_{1} e ϵ_{2}:

[Mω^{2} − (K + G)]ϵ_{1} + (K + Ge^{−ika}) ϵ_{2} = 0
(K + Ge^{ika}) ϵ_{1} + [Mω^{2} − (K + G)]ϵ_{2} = 0  (4.55)

che avrà soluzione se si annulla il determinante dei coefficienti:

[Mω^{2} − (K + G)]^{2} − [K^{2} + G^{2} + KG(e^{ika} + e^{−ika})] = 0  (4.56)

che è un’equazione di secondo grado in ω^{2} che ha soluzione per:

ω^{2} − \frac{K + G}{M} = ±\frac{1}{M} \sqrt{K^{2} + G^{2} + 2KGcos(ka)}

e dunque, la relazione di dispersione sarà:

ω^{2} = \frac{K + G}{M} ± \frac{1}{M} \sqrt{K^{2} + G^{2} + 2KGcos(ka)}  (4.57)

che ci dice che per ciascuno degli N valori di k ci sono due possibili valori per ω, che ci porta a 2N possibili modi di vibrazione, come è giusto per un sistema con 2n gradi di libertà. Le due curve di ω(k) sono note come branche della relazione di dispersione e sono mostrate in Fig-4.7.

Figura 4.7: Relazione di dispersione per un reticolo monodimensionale con una base di due atomi. La branca inferiore è detta branca acustica ed ha la stessa struttura di quella della catena monoatomica. La branca superiore è detta branca ottica

Equazione del calore

5.1 Impostazione

Supponiamo che ad un corpo di volume V venga fornita in un determinato istante una quantità di calore Q. Nel volume elementare dV ci sarà una variazione di quantità di calore dQ = C_{v}dmdT, essendo C_{v} la capacità termica a volume costante, dm = ρdV la massa del volume dV con densità ρ e dT la variazione di temperatura. Dunque, nell’unità di tempo, sarà:

(dQ)_{v} = C_{v}ρdV \frac{∂T}{∂t} dt  (5.1)

Il flusso di calore che passa attraverso la superficie dS del nostro volume elementare dV nell’unità di tempo è:

(dQ)_{s} = kdSdt\frac{∂T}{∂n}  (5.2)

essendo k la conducibilità termica (dimensioni [k] = W m^{−1}K^{−1}), e

\frac{∂T}{∂n} = ∇T · n

la derivata dela temperatura nella direzione normale alla superficie considerata.

Integrando su tutta la superficie del volume V, si ottiene, usando la formula di Ostrogradskij:

dQ = ∫_{S} kdt∇T · ndS = ∫_{V} kdt∇^{2}T dV  (5.3)

e dunque, uguagliando alla variazione di calore (5.1):

∫_{V} (ρC_{v} \frac{∂T}{∂t} − k∇^{2}T ) dV = 0  (5.4)

Siccome questa equazione deve essere valida per qualsiasi volume, possiamo eliminare l’integrazione e scrivere l’equazione della trasmissione del calore:

\frac{∂T}{∂t} − a^{2}∇^{2}T = 0  (5.5)

avendo definito la diffusività termica a^{2} = \frac{k}{ρC_{v}}, con dimensioni a^{2} = m^{2}s^{−1}.

5.1.1 Geoterme e lunghezza di diffusione

In presenza di una sorgente distribuita di calore nel volume considerato, se indichiamo con A la densità delle sorgenti, l’equazione di diffusione del calore diventa:

k∇^{2}T + A = ρC_{v} \frac{∂T}{∂t}  (5.6)

che, in una situazione di stato stazionario – ovvero quando la produzione di calore e la sua dispersione sono in equilibrio e non c’è variazione di temperatura nel tempo – diventa, semplicemente:

∇^{2}T = \frac{A}{k}  (5.7)

L’eq.(5.7), di permette di stabilire la variazione della temperatura con la profondità. La dipendenza funzionale della temperatura con la profondità prende il nome di geoterma. Nel caso di assenza di sorgenti, la temperatura varierà linearmente con la profondità. Infatti, per A = 0 e considerando solo la direzione z:

∇^{2}T = 0 ⇒ \frac{∂T}{∂z} = cost = C ⇒ T = Cz + T (z = 0)

Un valore tipico per la costante C (la geoterma) è di 20Kkm^{−1}, che, combinato con il valore medio della conduttività k = 3.0W m^{−1}K^{−1}, fornisce il flusso di calore per unità di superficie terrestre: 0.06W m^{−2}. Con questi valori, per una profondità di 60 km, si raggiungerebbe una temperatura di 20 × 60 + 300 = 1500K, che è superiore alla temperatura di fusione della maggior parte delle rocce. D’altra parte, da misure di propagazione di onde di taglio nel mantello, risulta che questo si comporta (su scale di tempi brevi) come un solido.

In presenza di sorgenti distribuite nel volume – come per es. in presenza di materiali radioattivi che forniscono calore per decadimento – sarà:

\frac{∂T}{∂z} = \frac{A}{k}x + C ⇒ T = \frac{A}{2k} x^{2} + Cx + D

che, a profondià maggiori, peggiorerebbe la discrepanza con i dati sismici. Bisogna, però, tenere conto di due fattori:

• La temperatura di fusione aumenta con la pressione, e di conseguenza con la profondità

• Oltre una certa profondità, il gradiente di temperatura non è più determinato dal raffreddamento conduttivo ma dalla compressione adiabatica. Il gradiente dovuto a questo processo, in cui la temperatura aumenta per sola compressione, senza scambio con l’esterno, è molto minore di quello conduttivo.

Lunghezza di diffusione

L’analisi dimensionale del coefficiente di diffusività, a^{2} = \frac{k}{ρC_{v}} suggerisce una lunghezza di scala L – la lunghezza di diffusione – tale che una variazione di temperatura all’istante t_{0}, all’istante t, si sia propagata ad una distanza L nel mezzo la cui diffusività è a^{2}.

Per verificarlo, consideriamo variazioni periodiche di temperatura alla superficie:

T (0, t) = T_{max}e^{−iωt}

Ad una profondità z, la temperatura avrà l’andamento:

T (z, t) = T_{max}e^{i(kz−ωt)}  (5.8)

Sostituendo nell’equazione (5.5), otteniamo la relazione di dispersione

a^{2}k^{2} = iω

da cui dicaviamo il numero d’onda

k = \frac{\sqrt{iω}}{a}  (5.9)

che, sostituito nella (5.8) dà:

T (z, t) = T_{max}e^{^{\frac{i \frac{3}{2} ω \frac{1}{2}}{a}} z−iωt}  (5.10)

Ricordando che i^{\frac{3}{2}} = \frac{i−1}{\sqrt{2}}, raccogliendo i termini reali e immaginari all’esponente:

T (z, t) = T_{max}e^{− \frac{z}{δ}} e^{i( \frac{z}{δ} −ωt)}  (5.11)

dove abbiamo definito la lunghezza di penetrazione (o skin depth)

δ = \sqrt{\frac{2}{ω}} a  (5.12)

come la profondità alla quale l’ampiezza delle oscillazioni si è ridotta ad un fattore 1/e di quella iniziale.

La skin depth, introduce anche un ritardo di fase Δϕ delle oscillazioni visibili alla profondità z rispetto a quelle in superficie:

Δϕ = \frac{z}{δ} = (\frac{ω}{2a^{2}} )^{\frac{1}{2}}  (5.13)

Ad esempio, per una profondità di 1 m d’acqua (a^{2} = 1.4 · 10^{−7}m^{2}s^{−1}), il ciclo giorno-notte (ω = \frac{2π}{24h×3600s/h} = 7.3 × 10^{−5}s^{−1}), è spostato in avanti di 16 secondi.

5.2 Soluzione nel caso monodimensionale

Come nel caso dell’equazione delle onde possiamo cercare la soluzione dell’equazione monodimensionale della trasmissione del calore, con la fattorizzazione della soluzione in una parte τ(t), dipendente dal tempo ed una X(x), dipendente dallo spazio. L’equazione (5.5):

T_{t} − a^{2}T_{xx} = 0  (5.14)

con la condizione iniziale:

T (x, 0) = f(x)  (5.15)

ponendo T (x, t) = X(x)τ(t), diventa:

τ̇(t)X(x) − a^{2}τ(t)X′′(x) = 0  (5.16)

Come nel caso dell’eq. delle onde, con le stesse considerazioni per la parte spaziale, possiamo dire:

\frac{τ̇(t)}{a^{2}τ(t)} = \frac{X′′(x)}{X(x)} = −λ^{2}  (5.17)

che, per la parte temporale dà, immediatamente:

τ(t) = Ce^{−a^{2}λ^{2}t}  (5.18)

In totale, la soluzione si può scrivere come:

T (x, t) = ∫_{−∞}^{∞} C(λ)e^{−a^{2}λ^{2}t}e^{iλx}dλ  (5.19)

La condizione iniziale (5.15), può essere scritta esprimendo la f(x) in funzione della sua trasformata di Fourier (2.18):

T (x, 0) = f(x) =\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} F (λ)e^{iλx}dλ =

= \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} [∫_{−∞}^{∞} f(x′)e^{−iλx′}dx′] e^{iλx}dλ =

= ∫_{−∞}^{∞} C(λ)e^{iλx}dλ

che è verificata per

C(λ) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} f(x′)e^{−iλx′}dx′  (5.20)

Sostituendo nella soluzione (5.19) otteniamo:

\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} f(x′)dx′ [∫_{−∞}^{∞} e^{−a^{2}λ^{2}t}e^{iλ(x−x′)}dλ] =

= \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} f(x′)dx ∫_{0}^{∞} e^{−a^{2}λ^{2}t}cos(λ(x − x′))dλ  (5.21)

avendo sfruttato la simmetria dell’integrando rispetto a λ e la definizione di coseno in termini di esponenziali complessi. L’integrale (5.21) è del tipo (Smirnov [81])

∫_{0}^{∞} e^{−α^{2}x^{2}}cos(βx)dx = \frac{\sqrt{π}}{2α} e^{− \frac{β^{2}}{4α^{2}}}

Dunque, la soluzione completa dell’equazione di trasmissione del calore sarà:

T (x, t) = ∫_{−∞}^{∞} f(x′)\frac{1}{2a\sqrt{πt}}e^{− \frac{(x−x′)^{2}}{4a^{2}t}} dx′  (5.22)

In particolare, se f(x′) = δ(x′) (il calore inizialmente è somministrato in un punto a x′), la soluzione è l’integrando che è la distribuzione di temperatura risultante dalla somministrazione istantanea all’istante t = 0 di una quantità di calore ρC_{v} nel punto x=x’.

5.3 Soluzione per spazio semi-infinito

La soluzione dell’equazione si può trovare più facilmente considerando uno spazio semi-infinito, come per es. il caso della propagazione del calore dalla superficie terrestre verso l’interno (o voceversa) quando si consideri infinito il raggio terrestre rispetto alle distanze di interesse ([Turcotte 4.15]). Riscriviamo l’equazione in termini della profondità:

\frac{∂T}{∂t} = \frac{k}{ρC_{v}} \frac{∂^{2}T}{∂z^{2}}

con le condizioni iniziali:

\{ \begin{matrix}T (z, t = 0) = T_{0} \\ T (z = 0, t) = T_{1} \\ T (z = ∞, t) = T_{0} \end{matrix}  (5.23)

che indicano che all’istante t=0, il semispazio, inizialmente è a temperatura T_{0}, per t>0, la superficie viene mantenuta a temperatura T_{1}. Il calore si propagherà verso l’interno se T_{1} > T_{0} (viceversa il semispazio si raffredderà se T_{1} < T_{0}) e a profondità infinita, la temperatura sarà quella iniziale. Se facciamo il cambiamento di variabile:

θ = \frac{T (z, t) − T_{0}}{T_{1} − T_{0}}  (5.24)

l’Equazione diventa:

\frac{∂θ}{∂t} = α\frac{∂^{2}θ}{∂x^{2}}  (5.25)

le condizioni(5.23), saranno:

\{ \begin{matrix}θ(z, 0) = 0 \\ θ(0, t) = 1 \\ θ(∞, t) = 0 \end{matrix}  (5.26)

Effettuando, l’ulteriore cambiamento di variabili :

η(z, t) = \frac{z}{2\sqrt{αt}}  (5.27)

risulta:

\frac{∂θ}{∂t} = \frac{∂θ}{∂η} \frac{∂η}{∂t} =

= \frac{∂θ}{∂η} (−\frac{z}{2\sqrt{αt}} \frac{1}{2t}) = −\frac{η}{2t} \frac{∂θ}{∂η}

\frac{∂θ}{∂z} = \frac{1}{2\sqrt{αt}} \frac{∂θ}{∂η}

\frac{∂^{2}θ}{∂z^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{αt}} \frac{∂^{2}θ}{∂η^{2}} \frac{∂η}{∂z} = \frac{1}{4αt} \frac{∂^{2}θ}{∂η^{2}}  (5.28)

Figura 5.1: Andamento funzionale delle funzioni Erf(η) e Erfc(η) per η positivi

Sostituendo nella (5.25), otteniamo:

−η \frac{∂θ}{∂η} = \frac{1}{2} \frac{∂^{2}θ}{∂η^{2}}  (5.29)

che è nella sola variabile η e può essere facilmente integrata. Infatti, se ϕ = \frac{∂θ}{∂η}, allora:

−ηϕ = \frac{1}{2} \frac{∂ϕ}{∂η} ⇒ ϕ = c_{1}e^{(−η^{2})}

ove la costante c_{1} si ricava dalla condizione di normalizzazione e vale c_{1} = 2/\sqrt{π}. Dunque:

\frac{∂θ}{∂η} = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−η^{2}} ⇒ θ = ∫_{0}^{η} \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−η^{′2}}dη′ + c_{2}

ove la costante c_{2} si ricava dalla condizione iniziale θ(∞) = 0 e θ(0) = 1. Dunque risulta:

θ = 1 − \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{η} e^{η^{′2}}dη′ = 1 − Erf(η) = Erfc(η)  (5.30)

Ritornando alle variabili iniziali:

\frac{T − T_{0}}{T_{1} − T_{0}} = 1 − Erf(η) ⇒ (T_{1} − T_{0}) − (T_{1} − T_{0})Erf(η) + T_{0} = T (z, t)

T (z, t) = T_{1} [1 − Erf (\frac{z}{2\sqrt{αt}})] + T_{0}Erf (\frac{z}{2\sqrt{αt}}) (5.31)

Per t → ∞ o z = 0, vale T (z, t = ∞) = T (z = 0, t) = T_{1} (che significa che per tempi sufficientemente lunghi tutto il sistema si sarà portato alla temperatura superficiale), mentre, per tempi finiti e grandi profondità T (z → ∞, t) = T_{0}.

5.3.1 Flusso di calore

Se conosciamo la temperatura in superficie, possiamo calcolare il flusso di calore dall’interno della terra, misurando il gradiente.

Il flusso è:

Φ_{u} = − k \frac{∂T}{∂z} |_{z=0} =

= −k (T_{sup} − T_{0}) \frac{∂}{∂z} [1 − erf (\frac{z}{2\sqrt{αt}})]_{z=0} =

= k (T_{sup} − T_{0}) \frac{1}{2\sqrt{αt}} \frac{2}{\sqrt{π}} e^{−η^{2}} |_{η=0}

Dunque, per t > 0 sarà:

Φ_{u} = k \frac{(T_{sup} − T_{0})}{\sqrt{παt}}  (5.32)

Da cui si vede che il flusso di calore decresce con l’inverso della radice dell’età della litosfera, e dunque si può determinare l’età della litosfera misurando il flusso.

Stima dell’età della Terra

William Thomson (in seguito noto come Lord Kelvin), stimò l’età della Terra assumendo che la perdita di calore avvenisse per sola conduzione. Supponiamo che T_{sup} = 0 e T_{0} ∼ 2 · 10^{3} ^{o}C, e sia α = 10^{−6}m^{2}s^{−1}. Scrivendo la (5.32):

k \frac{∂T}{∂z} |_{z=0} = \frac{kT_{0}}{\sqrt{παt}}

da cui:

t = \frac{T_{0}^{2}}{πα (\frac{∂T}{∂z} )_{z=0}}

Assumendo un gradiente di temperatura (misurato) di 3 · 10^{−3} ^{o}Cm^{−1}, si otterrebbe un valore per l’età della Terra di ∼ 4.4 · 10^{7} anni che è più di un ordine di grandezza in meno di quanto ci si aspettava già all’epoca in base a numerose altre prove. Da questo si dedusse che doveva esserci qualche altra sorgente di calore oltre al nucleo. Successivamente, questa fonte, venne attribuita alla presenza di sostanze radioattive distribuite all’interno della crosta, che perdono energia per decadimento radioattivo e forniscono il flusso mancante per stimare una giusta età. In realtà, anche questa sorgente non basta a spiegare l’età della terra, giacché la produzione di calore per decadimento radioattivo, si stima sia circa la metà dell’odierno flusso di calore. La soluzione, in realtà, fu data circa 30 anni dopo la stima di Thomson da John Perry, che, molto semplicemente, mostrò che la variazione della conduttività con la temperatura avrebbe cambiato di molto il risultato. In particolare, mostrò che il trasporto di calore per convezione avrebbe alterato grandemente il risultato di Thomson.

Perdita di calore per decadimento

Il meccanismo del decadimento radioattivo deriva dalla circostanza che alcuni nuclei atomici hanno una probabilità finita di perdere neutroni o particelle α (nuclei di elio), trasformandosi in nuclei più leggeri e cedendo all’ambiente la differenza di energia tra lo stato legato iniziale e quello finale.

Se prendiamo un certo numero di questi atomi, e verifichiamo, nell’unità di tempo quanti di questi sono decaduti, questa frazione ci darà la probaliltà di decadimento P del singolo atomo. In altri termini, preso un atomo, in un tempo τ, questi avrà una probabilità P = 1/τ di decadere. Questo ci fornisce la legge di decadimento. Infatti, se N_{0} è il numero di atomi non decaduti iniziali e il numero di atomi al tempo t è N(t), allora il numero di atomi non decaduti al tempo t + dt sarà:

N(t + dt) = N(t) + \frac{dN}{dt} dt = N(t) (1 − \frac{dt}{τ})

avendo supposto che in un tempo dt siano decaduti P · N(t)dt atomi. Dunque:

\frac{dN}{N} = −\frac{dt}{τ} ⇒ N(t) = N_{0}e^{− \frac{t}{τ}}

Dunque possiamo definire un tempo – il tempo di dimezamento – dopo il quale gli atomi della specie iniziale si sono ridotti alla metà, dunque quando dN = 1/2N e quindi d(lnN) = 1/2:

N(t) = N_{0}e^{− \frac{t_{1/2}}{τ}} = \frac{1}{2}N_{0} ⇒ t_{1/2} = τln(2)

ed esprimere i tempi in termini del tempo di dimezzamento.

La concentrazione di atomi di una determinata specie radioattiva x ad un epoca t, sarà dunque funzione del tempo di dimezzamento caratteristico della specie:

C^{x}(t) = C_{0}^{x}e^{− \frac{tln2}{τ_{1/2}}}  (5.33)

La quantità di calore H rilasciata dal complesso delle sostanze radioattive presenti nella crosta terrestre, sarà data dalla somma delle quantità di calore rilasciate da ciascuna specie, moltiplicate per la relativa concentrazione. I principali componenti che contribuiscono al flusso di calore nella crosta terrestre sono due isotopi dell’Uranio (^{238}U e ^{235}U) il Torio (^{232}T h) e un isotopo del potassio (^{40}K). Nella tabella che segue, diamo le concentrazioni, le quantità di calore rilasciate e i tempi di dimezzamento degli isotopi citati:

Elemento  H  τ_{\frac{1}{2}}  Concentrazione
238U  9.37 · 10^{−5}W kg^{−1} 4.4 · 10^{8} anni  99.27% U
235U  1.36 · 10^{−7}W kg^{−1} 7.04 · 10^{8} anni  0.73% U
232T h  2.69 · 10^{−5}W kg^{−1} 1.4 · 10^{10}anni  100 % Th
40K  2.79 · 10^{−5}W kg^{−1} 1.25 · 10^{9} anni  0.0128 % K

Con questi dati, la produzione di calore dovuta alle sostanze radioattive, in funzione del tempo si può scrivere come:

H =0.9927C_{0}^{U}H_{^{238}U}e^{−_{\frac{tln2}{τ{^{238}U \atop 1/2}}}} + 0.0073C_{0}^{U}H_{^{235}U}e^{−_{\frac{tln2}{τ{^{235}U \atop 1/2}}}}
+ C_{0}^{T h}H_{T h}e^{−_{\frac{tln2}{τ{T h \atop 1/2}}}} + 1.28 · 10^{−4}C_{0}^{K}H_{^{40}K}e^{−_{\frac{tln2}{τ{^{40}K \atop 1/2}}}}  (5.34)

L’andamento nel tempo della produzione di calore dovuta al decadimento radioattivo basato sulla (5.34) è mostrato in fig. 5.3.1, da cui si evince che, a causa della vita media più corta, nel passato ^{235}U e ^{40}K, erano dominanti, mentre ora predominano ^{238}U e ^{232}T h.

Figura 5.2: Andamento nel tempo della produzione di calore dovuto al decadimento degli isotopi radioattivi e contributo di ciascun isotopo

Consideriamo ora una distribuzione uniforme A = ρH_{0} di sorgenti radiogeniche all’interno della crosta continentale ed uno spessore medio dei continenti di 35 km. Allora sarà:

\frac{∂^{2}T}{∂z^{2}} = \frac{ρH_{0}}{k}

con le condisioni iniziali:

\{ \begin{matrix}T (z = 0) = & T_{0} \\ −k \frac{∂T}{∂z} = & −Φ_{u} \end{matrix}

e dunque:

T (z) = T_{0} + \frac{Φ_{u}z}{k} − \frac{ρH_{0}}{2k} z^{2}

Se consideriamo la composizione della crosta continentale come quella del granito, possiamo porre: H_{0}^{gr} = 1.6 · 10^{−10} \frac{W}{kg} e ρ^{gr} = 2700\frac{kg}{m^{3}} , dunque:

k \frac{∂T}{∂z} |_{z=D} = Φ_{u} − ρH_{0}D

Siccome a z = D la derivata deve essere nulla:

Φ_{u} = ρH_{0}D = 2.7 · 10^{3} · 3.5 · 10^{4} · 9.6 · 10^{−10} = 91 mW/m^{2}

che è maggiore del flusso realmente osservato di 65 mW/m^{2}.

5.4 Spessore del fondo oceanico

Il modello delineato in Fig. 5.4, rappresenta la metà di un fondo oceanico in espansione. Le assunzioni del modello sono che:

Figura 5.3: Modello per la descrizione dello spessore della crosta oceanica in funzione della distanza dal ridge

• Le placche litosferiche sono rigide e si allontanano dalla frattura mediooceanica (il ridge) con velocità costante v.

• Il vuoto viene riempito da materiale caldo a bassa viscosità dall’astenosfera

• la gnerazione di calore interna è molto inferiore agli altri termini dell’equazione del calore e può essere trascurata

• c’è una singolarità a x = z = 0

Si tratta, di un problema bidimensionale senza sorgenti e quindi l’equazione sarà:

\frac{∂^{2}T}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}T}{∂z^{2}} = \frac{v}{k} \frac{∂T}{∂x}  (5.35)

dove al secondo membro c’è il termine advettivo, ovvero il termine di trasporto di calore dovuto al movimento della placca. Si può mostrare che il termine di diffusione laterale si può trascurare per x >> 0. Considerato che possiamo scrivere:

\frac{∂T}{∂x} = \frac{∂T}{∂t} \frac{∂x}{∂t}

l’eq. (5.35) diventa la solita equazione del calore.

Per stabilire lo spessore della crosta oceanica dobbiamo definire quale sarà la sua base, ovvero dove la crosta da solida passerà ad essere liquida. Consideriamo che questo passaggio avvenga ad una temperatura che è una frazione abbastanza grande della temperatura del mantello T_{m}, diciamo il 90%. La soluzione del problema bidimensionale l’abbiamo già vista in Eq.(5.31) e dunque possiamo ricavare la profondità:

\frac{T (z, t) − T_{m}}{T_{sup} − T_{m}} = (1 − Erf (\frac{z}{2\sqrt{αt}}))

(5.36)

Se imponiamo che T (z, t) = 0.9T_{m} e trascuriamo T_{sup} rispetto a T_{m} otteniamo:

0.9T_{m} = T_{m}Erf (\frac{z}{2\sqrt{αt}})  (5.37)

La profondità cercata è, dunque quella per cui Erf(η) = 0.9. I valori della funzione inversa della Erf(η), si posssono trovare tabellati nei testi di statistica (esiste anche una funzione di Matlab), e si trova: η|_{T =0.9T_{m}} = Erf^{−1}(0.9) = 1.1631. Di conseguenza:

z|_{t=0.9T_{m}} = 2η_{T} \sqrt{αt} = 2.326\sqrt{αt}

Se consideriamo un valore di α = 8 · 10^{−7}m^{2}s^{−1} e che in un anno ci sono 3 · 10^{7} secondi, otteniamo un valore di profondità di z(km) ∼ 11.4\sqrt{t(Ma)}.

Profondità del fondale oceanico

Figura 5.4: Modello per la descrizione della profondità oceanica in funzione del tempo. L’asse delle profondità non è in scala

Stabilito che lo spessore della crosta oceanica aumenta con l’età e, di conseguenza, con la distanza dal ridge, siccome la crosta oceanica è in equilibrio idrostatico (galleggia) con il mantello, ne deriva che la profondità del fondo oceanico aumenta con la distanza dal ridge. Per dare un’espressione più quantitativa, consideriamo anche l’andamento della densità della crosta in funzione della profondità ρ(z, t). Dette ρ_{w} = 1.0 · 10^{3}kg m^{−3} la densità dell’acqua e ρ_{m} = 3.3 · 10^{3}kg m^{−3} quella del mantello, e fissata a 0 la profondità del ridge, l’espressione dell’equilibrio idrostatico di una sezione di litosfera spessa z_{L} a profondità w sarà(vedi Fig. 5.4):

(w + z_{L})ρ_{m} = wρ_{w} + ∫_{0}^{z_{L}} ρ(z, t) dz  (5.38)

Raccogliendo i termini in w, la (5.38) si può scrivere:

(ρ_{w} − ρ_{m})w + ∫_{0}^{z_{L}}(ρ(z, t) − ρ_{m})dz = 0  (5.39)

da cui si vede che, visto che il primo termine è negativo, il secondo deve essere positivo, ovvero ρ(z, t) > ρ_{m}. I cambiamenti di pressione e temperatura con la profondità, producono dei cambiamenti di volume e quindi di densità:

dV = (\frac{dV}{dT} )_{P} + (\frac{dV}{dP} )_{T}  (5.40)

Comunque, fissata una posizione ad una certa distanza dal ridge, non ci sono variazioni di pressione, e dunque rimane solo il primo termine. D’altra parte il primo termine è legato al coefficiente di espansione termica

α = \frac{1}{V} (\frac{dV}{dT} )_{P}

e, visto che ρ = mV^{−1}, implica

\frac{dρ}{ρ} = −\frac{dV}{V}

risulta:

dρ = −αρdT  (5.41)

e, quindi, applicandola al nostro caso:

ρ(z, t) − ρ_{m} = −αρ_{m}[T − T_{m}]

che, sostituita nella (5.39), ci da:

(ρ_{w} − ρ_{m})w − ρ_{m}α ∫_{0}^{z_{L}}[T_{m} − T (z, t)]dz = 0  (5.42)

D’altra parte, dalla soluzione dell’equazione del calore, sappiamo che:

\frac{T − T_{m}}{T_{s} − T_{m}} = 1 − Erf(η)

e dunque

(ρ_{m} − ρ_{w})w = αρ_{m}[T_{m} − T_{s}] ∫_{0}^{z_{L}} Erfc (\frac{z}{2\sqrt{at}}) dz  (5.43)

Possiamo, con buona approssimazione, estendere l’integrale fino all’infinito ottenendo:

(ρ_{m} − ρ_{w})w = αρ_{m}[T_{m} − T_{s}]2\sqrt{\frac{at}{π}}  (5.44)

da cui si ricava l’espressione della profondità oceanica in funzione dell’età:

w(t) = \sqrt{\frac{at}{π}} \frac{2αρ_{m}}{ρ_{m} − ρ_{w}} (T_{m} − T_{s})  (5.45)

che ci dice che la profondità degli oceani cresce con la radice dell’età della litosfera, ovvero con la radice della distanza dal ridge. Diamo ora una tabella con i numeri per stimare la profondità:

Parametro  definizione  valore
T_{s}  Temperatura superficiale  300 K
T_{m}  Temperatura del mantello  1600 K
a  Diffusività termica  8 · 10^{−7}m^{2}s^{−1}
α  Coefficiente di espansione termica 3.1 · 10^{−5} K^{−1}
ρ_{w}  Densità dell’acqua marina  1025 kg m^{−3}
ρ_{m}  Densità del mantello  3300 kg m^{−3}

Con questi valori, tenendo conto che 1 anno ∼ π·10^{7}s, si ottiene che la profondità degli oceani è di circa d(m) = 350\sqrt{t(Ma)} al di sotto della profondità dell’asse del ridge.

56 CAPITOLO 5. EQUAZIONE DEL CALORE

Potenziali Termodinamici

6.1 Introduzione

Lo stato di un sistema termodinamico è definito dalle variabili di stato P, V, T (e dal mumero di molecole n). Il calore scambiato (ceduto o ricevuto dal sistema) durante una trasformazione infinitesimale, dipenderà da quali delle variabili di stato si fanno variare nella trasformazione.

Considerando l’equazione che esprime il primo principio della termodinamica a pressione costante:

dQ = dU + P dV  (6.1)

a seconda di quali variabili consideriamo indipendenti avremo:

(V, T)  dU = (\frac{∂U}{∂T} )_{V} dT + (\frac{∂U}{∂V} )_{T} dV
⇒ dQ = (\frac{∂U}{∂T} )_{V} dT + [(\frac{∂U}{∂V} )_{T} + p] dV  (6.2)
(P, T) dQ = (\frac{∂U}{∂P} )_{T} dP + P (\frac{∂V}{∂P} )_{T} dP +
+ [(\frac{∂U}{∂T} )_{P} + P (\frac{∂V}{∂T} )_{P} ] dT  (6.3)
(V, P) dQ = [(\frac{∂U}{∂T} )_{P} + P ] dV + (\frac{∂U}{∂P} )_{V} dP  (6.4)

Se introduciamo i calori specifici a volume e pressione costanti:

\begin{aligned}C_{v} & = & (\frac{∂Q}{∂T})V & = & (\frac{∂U}{∂T} )V \\ C_{p} & = & (\frac{∂Q}{∂T})P & = & (\frac{∂U}{∂T} )_{P} + P (\frac{∂V}{∂T} )_{P} \end{aligned}  (6.5)

in cui il termine

α = (\frac{∂V}{∂T} )_{P}  (6.6)

è il coefficiente di dilatazione termica che è una proprietà termodinamica delle sostanze. avremo:

dQ(V, T) =  C_{v}dT + [(\frac{∂U}{∂V} )_{T} + P ] dV  (6.7)
dQ(P, T) = C_{p}dT + [(\frac{∂U}{∂P} )_{T} + (\frac{∂V}{∂P} )_{T} ] dP  (6.8)
dQ(V, P) = [(\frac{∂U}{∂V} )_{P} + P ] dV + (\frac{∂U}{∂P} )_{V} dP  (6.9)

Il secondo termine nella parentesi quadra di (6.8) è la comprimibilità a temperatura costante.

6.2 Energia Libera di Helmoltz

Consideriamo l’espressione del primo principio della termodinamica in termini del lavoro:

L = Q − ΔU  (6.10)

In una trasformazione in cui il sistema è a contatto con l’ambiente a temperatura uniforme T, e passa dallo stato A allo stato B, la variazione di entropia sarà:

S(B) − S(A) ≤ ∫_{A}^{B} \frac{dQ}{T} ⇔ Q ≤ T [S(B) − S(A)]  (6.11)

che sostituita nella (6.10), dà:

L ≤ U(A) − U(B) + T [S(B) − S(A)]  (6.12)

L’equazione (6.12) pone un limite superiore alla quantità di lavoro che si può ottenere dalla trasformazione da A a B. Nel caso in cui le temperature degli stati A e B siano la stessa temperatura T, possiamo definire la quantità:

F = U − T S  (6.13)

che è l’Energia Libera del sistema. Con questa definizione risulta che il lavoro che si può ottenere da una trasformazione a temperatura uniforme è limitato dalla variazione di energia libera:

L ≤ −ΔF  (6.14)

L’energia libera assume per i sistemi termodinamici lo stesso significato che ha l’energia nei sistemi meccanici, con la differenza che il segno di uguaglianza, che per i sistemi meccanici è sempre vero, in questo caso, vale solo per le trasformazioni reversibili.

Per un sistema a volume costante e pressione uniforme, il lavoro compiuto dalla trasformazione è nullo, pertanto, dalla (6.14) ricaviamo che F (B) ≤ F (A). Dunque, in un sistema a contatto termico con l’ambiente, se non di può compiere o assorbire lavoro dall’esterno, l’energia libera non può aumentare nella trasformazione. Questo significa che lo stato in cui F è minima è uno stato di equilibrio stabile. Questa situazione è analoga a quello che avviene nei sistemi meccanici con l’energia potenziale, in cui lo stato di minimo potenziale è uno stato di equilibrio stabile. Per questo motivo la quantità F è il Potenziale Termodinamico a Volume Costante.

6.3 L’Entalpia

Consideriamo la forma non differenziale della (6.1):

Q = U + P V = H  (6.15)

questa equazione definisce il potenziale termodinamico a pressione costante H, anche noto con il nome di Entalpia (dal greco ενθάλπειν che significa riscaldare).

6.3.1 Entalpia di legame e di trasformazione

Nelle reazioni chimiche che avvengono in un laboratorio, tutto avviene alla pressione atmosferica, per cui la quantità di calore scambiata con l’ambiente nella reazione è coincidente con l’entalpia della reazione. Per convenzione, il segno della variazione di entalpia è riferito al sistema in reazione, per cui, una quantità di calore ceduta al sistema è positiva, mentre se è la reazione che cede calore all’ambiente, la variazione è negativa. La variazione di entalpia che accompagna la formazione di molecole a partire dagli atomi isolati è l’entalpia di legame. Ad esempio, la formazione della molecola di idrogeno a partire da due atomi isolati: 2H → H_{2}, avviene cedendo all’ambiente una quantità di calore ΔH = −435.9 kJ/mol, o, ancora, l’entalpia di legame della reazione 3C + 8H → C_{3}H_{8}, sarà ΔH = −3997.6 kJ/mol.

L’entalpia di legame non va confusa con l’entalpia di formazione che è la quantità di calore scambiata nella formazione delle molecole a partire dagli elementi nel loro stato molecolare di riferimento (a pressione atmosferica), che, solo per i gas nobili è quello monoatomico. A rigore lo stato-standard termodinamico dipende dalla temperatura d’interesse . I valori sono tabulati molto spesso come entalpia di formazione standard alla temperatura di 298,15 K (25 ^{∘}C). L’entalpia standard di formazione è una funzione di stato termodinamica. Essa è quindi equivalente alla somma dei diversi processi di reazioni di sintesi. Per esempio, per calcolare l’entalpia standard di formazione del cloruro di sodio si usa la reazione:Na_{(s)} + (1/2)C_{12(g)} → NaCl_{(s)} Questo processo è costituito da sotto-processi separati, ognuno dei quali possiede la propria entalpia. Quindi, dobbiamo calcolare:

• La entalpia di atomizzazione standard di sodio solido.

• La prima energia di ionizzazione del sodio gassoso.

• L’entalpia standard di atomizzazione del gas cloro.

• L’affinità elettronica degli atomi di cloro.

• L’entalpia della matrice di atomi del cloruro di sodio.

La somma di tutti questi valori dà l’entalpia di formazione standard del cloruro di sodio.

Un concetto che viene impiegato molto in termochimica è anche l’entalpia di legame media, ossia l’entalpia di formazione media di un legame chimico A − B, ricavata analizzando le entalpie di formazione, di legame e di reazione associate a diversi composti. Contrariamente all’entalpia complessiva di legame del composto, quella del singolo legame chimico non può essere definita rigorosamente, in quanto variabile da composto a composto. Si tratta invece di una grandezza empirica che ha lo scopo di fornire una prima stima grossolana della forza dei legami.

In linea di principio la somma di tutte le entalpie di legame medie associate a ogni legame presente nella molecola dovrebbe essere uguale all’entalpia di legame della molecola, quindi nell’esempio del propano, in cui si hanno otto legami C-H e due legami C-C, si dovrebbe avere:8ΔH(C − H) + 2ΔH(C − C) = −3997.65 kJ/mol. Tipici valori riportati per ΔH(C − H) e ΔH(C − C) sono rispettivamente -412 e -348 kJ/mol, dunque:8(−412)+2(−348) = −3992 kJ/mol che è abbastanza vicino a quanto riportato all’inizio del paragrafo.

6.4 L’energia libera di Gibbs

Il potenziale termodimamico che ci fornisce l’energia libera a temperatura e pressione costanti è l’enrgia libera di Gibbs. Per ricavare la sua espressione partiamo dalla considerazione che P dV = d(P V) − V dp, che, sostituita nell’espressione differenziale dell’energia libera di Helmoltz, dà:

dF = −SdT − P dV = −SdT − d(P V) − vdP

che, portando a primo membro il termine d(P V), definisce:

d(F + P V) = −SdT + P dV = dG

e dinque il potenziale termodinamico di Gibbs:

G = F + P V = U + P V − T S  (6.16)

6.4.1 Uso del potenziale di Gibbs per ricavare l’equazione di Clapeyron

Consideriamo un sistema composto da un liquido (1) in equilibrio con il suo vapore (2) in un cilindro a pressione e temperatura costanti. In tal caso sarà:

U = U_{1} + U_{2} S = S_{1} + S_{2} V = V_{1} + V_{2} ⇒ G = G_{1} + G_{2}

Se m_{1} e m_{2} sono le tispettive masse, possiamo considerare le quantità specifiche: g_{i} = \frac{G_{i}}{m_{i}}. Tutte le quantità specifiche sono funzione della sola temperatura.

Eseguiamo una trasformazione isoterma, tenendo conto che m_{1} + m_{2} = cost ⇒ dm_{1} = −dm_{2}. nello stato finale della trasformazione, sarà:

G_{f} = (m_{1} + dm_{1})g_{1} + (m_{2} − dm_{1})g_{2} = G + dm_{1}(g_{1} − g_{2})

Siccome al principio il sistema era in equilibrio, G deve essere in un minimo, dunque ΔG = 0 e quindi g_{1} = g_{2}. Scrivendo per esteso le energie libere specifiche:

(u_{2} − u_{1}) + P (v_{2} − v_{1}) − T (s_{2} − s_{1}) = 0

e, differenziando rispetto alla temperatura:

\frac{d(u_{2} − u_{1})}{dT} + \frac{dP}{dT} (v_{2} − v_{1}) + P \frac{d(v_{2} − v_{1})}{dT} − (s_{2} − s_{1}) − T \frac{d(s_{2} − s_{1})}{dT} = 0 (6.17)

Siccome (dq =)T ds = du + P dv, nella (6.17) rimane solo:

−T (s_{2} − s_{1}) + (v_{2} − v_{1})\frac{dP}{dT} = 0

La differenza di entropia che appare al primo termine, è la variazione dovuta alla vaporizzazione di un’unità di massa del liquido, cioè il suo calore latente di vaporizzazione λ. Pertanto, sarà:

\frac{dP}{dT} = \frac{λ}{T (v_{2} − v_{1})}  (6.18)

che è l’equazione di Clapeyron.

6.4.2 La regola delle Fasi

Quando un sistema è composto di una sola sostanza omogenea, si dice che consista di una sola fase. Se un sistema eterogeneo è composto di varie parti, ciascuna delle quali omogenea, questo consiste di tante fasi quante sono le parti che lo compongono. Per esempio, il sistema liquido-vapore del paragrafo precedente è un sistema composto da due fasi di un solo componente.

Tutte le proprietà specifiche di una fase, dipendono dalla temperatura T, dalla presione P e dalla composizione fisica della fase. Possiamo dire che una fase è una mistura omogenea di tutti i composti che si possono ottenere dagli elementi chimici presenti in essa e che la percentuale di ciascun composto è univocamente determinata da T e P e dalle concentrazioni degli elementi.

Consideriamo un sistema composto da f fasi e n componenti indipendenti. Sia m_{ik} la massa del k-mo componente presente nella fase i. La matrice m_{ik} rappresenta la distribuzione dei componenti nelle diverse fasi.

As una determinata temperatura, la condizione di equilibrio è che il potenziale termodinamico G sia minimo. Se consideriamo trascurabili le energie in gioco alle interfaccie delle varie fasi, allora G sarà la somma delle G_{i} delle singole fasi. Ciascuna G_{i} dipenderà dalla temperatura, dalla pressione e dalle masse di ciascun componente:

G_{i} = G_{i}(T, P, m_{i1}, m_{i2}, ..., m_{in})

La sua forma dipenderà dalle proprietà della fase i-esima, ma, comunque sarà una funzione omogenea di primo grado delle m_{ik}, per cui le \frac{∂G_{i}}{∂m_{ik}} saranno funzioni omogenee di grado 0.

Se siamo in uno stato di equilibrio allora dG = 0. Come abbiamo visto nel precedente paragrafo, in una trasformazione in cui una quantità δm passa dalla fase i alla faswe j,lasciando le altre inalterate, sarà:

m_{ik} → m_{ik} − δm
m_{jk} → m_{jk} + δm

e dunque:

δG = δG_{i} + δG_{j} = [\frac{∂G_{j}}{∂m_{jk}} − \frac{∂G_{i}}{∂m_{ik}} ] δm = 0

da cui:

\frac{∂G_{j}}{∂m_{jk}} = \frac{∂G_{i}}{∂m_{ik}} i, j = \{1...n\} k = \{1...f\}  (6.19)

per qualunque coppia di fasi e per ciascuna componente. L’eq. (6.19) equivale a n(f−1) relazioni di equilibrio indipendenti, che dipendono solo dalla costituzione chimica e non dalla quantità di sostanze in ciascuna fase. Siccome le derivate di G_{i} sono omogenee di grado 0 in m_{ik}, queste dipenderanno solo dai rappporti delle m_{i1}, m_{i2}...m_{in}. Il numero di questi rapporti è f(n − 1). Oltre a questi, le altre variabili da cui dipendono le derivate di G_{i} sono P e T, per un totale di 2 + f(n − 1) variabili per n(f − 1) equazioni. La differenza tra il numero di variabili e il numero di equazioni, dà il numero di variabili che si possono scegliere arbitrariamente, e prende il nome di grado di variabilità v

v = (n − 1)f + 2 − n(f − 1) = n + 2 − f  (6.20)

Facciamo qualche esempio pratico:

1. Un solo fluido omogeneo: f = 1 (la sola fase fluida), n = 1, per cui v = 2. Posso scegliere T e P arbitrariamente ma son posso variare la composizione, perché il nostro fluido è definito.

2. Due gas chimicamente definiti: f = 1 (solo gas), n = 2 ⇒ v = 3. Possiamo variare T, P e il rapporto fra i due componenti.

3. Acqua in equilibrio col suo vapore: f = 2 (liquido e gas), n = 1 ⇒ v = 1. Possiamo variare solo la temperatura, la pressione sarà la pressione di vapor saturo alla temperatura data.

4. Acqua, ghiaccio e vapore in equilibrio: f = 3, n = 1 ⇒ v = 0. Non c’è libertà di scelta. Le tre fasi coesistono in un solo punto con pressione e temperatura definite.

Figura 6.1: Diagramma delle fasi dell’acqua in funzione della pressione e della temperatura

Quest’ultima situazione è illustrata in Fig. 6.1. La curva AB rappresenta la pressione di vapor saturo in funzione della temperatura. Se ad una determinata temperatura, aumento la pressione, tutto il vapore condenserà nella fase liquida, e viceversa evaporerà. La curva AC corrisponde alla pressione di vapor saturo in contatto col ghiaccio. Il punto in cui coesistono acqua, ghiaccio e vapore dovrà appartenere ad entrambe le curve, e dunque sarà l’intersezione delle due. Nello stesso punto passerà anche la curva di equilibrio tra acqua e ghiaccio AD. Pertanto il punto A è detto punto triplo e per l’acqua è a T = 0.0075C e P = 0.00602 atm. Siccome la pressione del punto triplo è minore di quella atmosferica, la retta (tratteggiata) a P = 1 atm, interseca tutte e tre le regioni. L’intersezione con la curva AD, rappresenta la temperatura di fusione del ghiaccio, quella con AB, la temperatura di ebollizione dell’acqua.

6.5 Trasformazioni di Legendre e relazioni di Maxwell

Prendiamo il differenziale totale della (6.15):

dH = dU + P dV + V dP

siccome dU = T dS − P dV allora:

dH = T dS + V dP  (6.21)

6.5. TRASFORMAZIONI DI LEGENDRE E RELAZIONI DI MAXWELL63

e da qui possiamo ricavare la temperatura ed il volume in funzione delle derivate dell’entalpia:

T = (\frac{∂H}{∂S} )_{P} V = (\frac{∂H}{∂P} )_{S}  (6.22)

Dunque l’eq. 6.21, mette in relazione l’entalpia con S e V. In generale, una funzione termodinamica L(x, y, z...) con le sue variabili indipendenti x, y, z... ha la forma differenziale:

dL = Xdx + Y dy + Zdz + ...  (6.23)

dove X, Y, Z, ... sono tutte funzioni delle variabili x, y, z, .... La trasformazione:

\{ \begin{matrix}L → L̄ = L − Xx \\ x, y, z, ... → X, y, z... \end{matrix}  (6.24)

è nota come trasformazione di Legendre. La (6.24) implica:

dL̄ = −xdX + Y dy + Zdz + ...  (6.25)

L’eq. (6.21) è una delle trasformazione di Legendre ricavata a partire da dU = T dS − P dV:

\{ \begin{matrix}U → Ū ≡ H = U − (−P V) \\ V, S → −P, S \\ d(U + P V) = V dP + T dS \end{matrix}

analogamente, possiamo ricavare le altre funzioni termodinamiche che ci mettono in relazione le diverse variabili, tramite trasformazioni di Legendre successive, a partire da U o S. Con questo metodo possiamo verificare la seguente tabella:

Funzione Termodinamica  Variabili naturali  Differenziale totale
U  S, V, N_{i}  dU = T dS − P dV + ∑_{i} μ_{i}dN_{i}
H = U + P V  S, P, N_{i}  dH = T dS + V dP + ∑_{i} μ_{i}dN_{i}
F = U − T S  T, V, N_{i}  dF = −SdT − P dV + ∑_{i} μ_{i}dN_{i}
G = F + P V  T, P, N_{i}  dG = −SdT + V dP + ∑_{i} μ_{i}dN_{i}
Φ = F − G = −P V (gran potenziale)  T, V, N_{i}  dΦ = −SdT − P dV − ∑_{i} μ_{i}dN_{i}
S  U, V, N_{i}  dS = \frac{1}{T} (dU + P dV − ∑_{i} μ_{i}dN_{i})

Da questa tabella è facile ricavare le variabli naturali come derivate delle funzioni termodinamiche

(\frac{∂U}{∂S} )_{V,N} = T (\frac{∂U}{∂V} )_{S,N} = −P (\frac{∂U}{∂N_{j}} )_{S,V,N_{i}} = μ_{j}  (6.26)

(\frac{∂F}{∂T} )_{V,N} = −S (\frac{∂F}{∂V} )_{T,N} = −P (\frac{∂F}{∂N_{j}} )_{T,V,N_{i}} = μ_{j}  (6.27)
(\frac{∂G}{∂T})_{P,N} = −S (\frac{∂G}{∂P})_{T,N} = V (\frac{∂G}{∂N_{j}} )_{T,P,N_{i}} = μ_{j}  (6.28)

Se la (6.23) è un differenziale esatto, allora:

\frac{∂X}{∂y} = \frac{∂Y}{∂x} , etc  (6.29)

da cui si possono ricavare le relazioni (di Maxwell) fra le derivate, che possono anche essere verificate direttamente derivando le (6.26,6.27, 6.28 ...) rispetto alle variabili incrociate e ricordando che le derivate seconde miste sono indipendenti dall’ordine di derivazione. Per es., dalla 6.27, derivando rispetto a S la seconda e rispetto a V la prima, si ottiene:

(\frac{∂S}{∂V} )_{T,N} = (\frac{∂P}{∂T} )_{V,N}

6.6 Radiazione di corpo nero

Consideriamo una cavità a temperatura T, in equilibrio con la radiazione elettromagnetica al suo interno. La densità di energia u sarà l’energia interna della cavità U divisa per il volume e può essere pensata come ’integrale delle densità di energia alle varie frequenze:

u = ∫_{0}^{∞} \frac{du}{dν}dν  (6.30)

Per l’integrando vale la legge di Kirchhoff: \frac{du}{dν} è indipendente dal materiale. Infatti, consideriamo due cavità di materiale diverso a temperatura differente, T_{2} < T_{1} e (\frac{du}{dν})_{2} > (\frac{du}{dν})_{1}. Se mettiamo le cavità in contatto, l’energia, e dunque il calore, fluirà da 2 verso 1 anche se T_{2} < T_{1}, violando il II principio della termodinamica.

6.6.1 legge di Stefan

La pressione che la radiazione esercita sulle pareti della cavità è data classicamente dal valor medio del prodotto vettore tra i campi elettrici e magnetici che compongono la radiazione:

P =< E × B >

D’altra parte, possiamo scrivere l’espressione della pressione in funzione della densità di energia, a partire dall’equazione del lavoro in una direzione:

dL_{x} = F dx = P Adx = P dV_{x}  (6.31)

siccome questo sarà uguale nelle tre direzioni, dL = U = 3P dV. Dunque,

P = \frac{u}{3}  (6.32)

Siccome siamo a volume costante, possiamo scrivere la pressione in termini dell’energia libera F:

−P = (\frac{∂F}{∂V} )_{T} = (\frac{∂U}{∂V} )_{T} − T (\frac{∂S}{∂V} )_{T}  (6.33)

Applicando la relazione di Maxwell

(\frac{∂S}{∂V} )_{T} = (\frac{∂P}{∂T} )_{V}

, otteniamo

(\frac{∂U}{∂V} )_{T} = T (\frac{∂P}{∂T} )_{V} − P  (6.34)

Il primo membro, altro non è che la densità di energia u, pertanto, applicando la (6.32):

u = \frac{T}{3} (\frac{∂u}{∂T} )_{V} − \frac{1}{3}u  (6.35)

e riarrangiando:

(\frac{∂u}{∂T} )_{V} = \frac{4}{T} u  (6.36)

che si integra, ottenendo:

u(T) = AT^{4}  (6.37)

Che esprime la legge di Stefan, ovvero che la densità di energia scala con la quarta potenza della temperatura.

6.6.2 Lo spettro di corpo nero

In generale la densità spettrale della densità di energia \frac{du}{dν} sarà una funzione della temperatura e della frequenza f(ν, T) ed il suo integrale sulle frequenze è dato dalla legge di Stefan:

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dν} = f(ν, T) \\ ∫_{0}^{∞} f(ν, T)dν = AT^{4} \end{matrix}  (6.38)

Possiamo trovare una combinazione di ν e T che abbia le dimensioni di:

[\frac{du}{dν}] = ml^{−1}t^{−1}

avendo a disposizione:

[kT] = ml^{2}t^{−2}
[c] = lt^{−1}
[ν] = t^{−1}

ove k è la costante di Boltzman k = 1.38 × 10^{−23} J K^{−1} e c = 299792458 m s^{−1} è la velocità della luce nel vuoto.

La combinazione di questi elementi che riproduce le dimensioni volute è:

f(ν, T) = CkT \frac{ν^{2}}{c^{3}}  (6.39)

ove C è una costante che non può dipendere da kT, ν e c e, secondo Rayleigh e Jeans vale 8π.

La funzione (6.39) diverge alle alte frequenze (catastrofe ultravioletta), e dunque andrà regolarizzata, in modo da eliminare questa divergenza, con un termine che dipenda dalla frequenza e dalla temperatura in modo tale che l’integrale (6.38) dia il risultato atteso:

∫_{0}^{∞} \frac{8πν^{2}}{c^{3}} P (aνT^{m})dν = AT^{4}  (6.40)

in cui abbiamo supposto che la funzione regolarizzante dipenda da una potenza generica della temperatura. L’eq.(6.40) impone un valore all’esponente della temperatura m e alle dimensioni della costante a. Infatti, se effettuiamo il cambiamento di variabile aνT^{m} = x, risulta:

\frac{kT}{a^{3}c^{3}} T^{−3m} ∫_{0}^{∞} xP (x)dx = AT^{4}  (6.41)

da cui, uguagliando gli esponenti della temperatura ad ambo i membri: −3m + 1 = 4 ⇒ m = −1, e aνT^{−1} deve essere adimensionale. Siccome kT ha le dimensioni di un energia possiamo usare la relazione di Plank E = hν per ricavare la forma funzionale a = h/k ove h = 6.626 × 10^{−34} J s è la costante di Plank.

In definitiva, con argomenti termodinamici si è potuto dimostrare che:

\frac{du}{dν} = \frac{8πkT ν^{2}}{c^{3}} f (\frac{hν}{kT} )  (6.42)

Questa equazione prende il nome di legge di spostamento di Wien perché mostra che il massimo della distribuzione spettrale di energia, si sposta in avanti all’aumentare della temperatura. Infatti, se chiamiamo G(ν) la densità spettrale di energia, questa avrà un massimo quando \frac{dG(ν)}{dν} = 0. Dunque:

\frac{8πkT}{c^{3}} [2ν_{max}f (\frac{hν_{max}}{kT} ) + \frac{ν_{max}^{2}}{kT} f′ (\frac{hν_{max}}{kT} )] = 0

⇒ν_{max} = [\frac{∂ln (f (\frac{hν}{kT} ))}{∂ν}]_{ν=ν_{max}} T  (6.43)

dunque direttamente proporzionale alla temperatura.

6.6.3 Coefficienti di Einstein e spettro di corpo nero

Con argomenti termodinamici, non si può andare molto oltre quanto già mostrato, né c’è modo di ricavare la forma della densità di energia in funzione della frequenza. Per ricavare quest’andamento funzionale è necessario ricorrere alla meccanica quantistica, per cui i livelli di energia degli elettroni atomici sono discreti (quantizzati,per l’appunto). Gli elettroni atomici, stimolati dalla radiazione elettromagnetica possono saltare da un livello energetico ad un altro di energia superiore, e poi decadere nuovamente ad un livello inferiore, sia spontaneamente, sia tramite un’altra interazione con la radiazione. Quando un elettrone decade in un livello energetico inferiore, nel processo viene emesso un fotone (un quanto di radiazione elettromagnetica) la cui energia è pari alla differenza di energia tra il livello di partenza e quello di arrivo. Analogamente, per saltare ad un livello più alto, deve assorbire un fotone di energia pari alla differenza tra i livelli.

Esaminiamo in dettaglio due livelli energerici generici m ed n con E_{m} < E_{n}. Siano N_{n} gli elettroni presenti al livello n e sia A_{nm} la probabilità di transizione spontanea al livello m. La variazione del numero di elettroni nel livello n, dovuto all’emissione spontanea sarà:

Ṅ_{n} = − ∑_{m} A_{nm}N_{n}  (6.44)

che esprime che il numero degli elettroni nel livello superiore decresce per decadimento in tutti i livelli inferiori. L’Eq. (6.44) si integra:

\begin{matrix}N_{n}(t) = N_{n}^{0}e^{− \frac{t}{τ}} \\ τ = \frac{1}{∑_{m} A_{nm}} \end{matrix}

avendo definito la vita media del livello τ.

La probabilità di transizione dal livello inferiore m a quello superiore n mediante l’assorbimento di un fotone dal campo elettromagnetico, sarà proporzionale alla densità di energia del campo u(ν) mediante un coefficiente che chiameremo B_{mn}:

W_{mn} = B_{mn}u(ν_{mn})

L’ultima possibilità, è che il campo elettromagnetico assuma energia dall’atomo, diseccitando l’elettrone da n ad m (emissione stimolata). Anche in questo caso, la probabilità sarà proporzionale alla densità di energia, tramite un coefficiente B_{nm} che in linea di principio è differente da B_{mn}.

In totale, la variazione del numero di elettroni nei livelli m ed n, sarà;

Ṅ_{m}(t) = −N_{m}(0)B_{mn}u(ν_{nm})  (6.45)
Ṅ_{n}(t) = −N_{n}(0) [A_{nm} + B_{nm}u(ν_{nm})]  (6.46)

All’equilibrio, le variazioni si devono compensare: Ṅ_{n} = Ṅ_{m}. Raccogliendo i termini in u e dividendo tutto per N_{n}, otteniamo:

[B_{mn} \frac{N_{m}}{N_{n}} − B_{nm}] u(ν_{mn}) = A_{mn}

Il rapporto fra le popolazioni dei livelli, possiamo ricavarlo dalla statistica di Boltzman:

\frac{N_{m}}{N_{n}} = e^{− \frac{En−Em}{kT}} = e^{\frac{hνmn}{kT}}

e, se supponiamo che B_{mn} = B_{nm}, otteniamo:

u(ν_{nm}) = \frac{A_{mn}}{B_{mn}} \frac{1}{e^{− \frac{hνmn}{kT}} − 1}  (6.47)

Il rapporto tra A_{mn} e B_{mn}, è simile a quanto trovato con con argomenti termodinamici nell’eq.(6.42), in definitiva otteniamo la formula di Plank dello spettro della radiazione di corpo nero:

u(ν) = \frac{8πhν^{3}}{c^{3}} \frac{1}{e^{− \frac{hν}{kT}} − 1}  (6.48)

68 CAPITOLO 6. POTENZIALI TERMODINAMICI

Fluidi

7.1 Fluidi ideali

7.1.1 Equazione di Continuità

[...]

7.1.2 Punti di vista Lagrangiano ed Euleriano

In un dato sistema di riferimento, l’insieme di tutte le posizioni occupate dagli elementi di un sistema continuo ad un determinato istante t, è la configurazione C del sistema all’istante considerato. Assieme alla configurazione C, variabile nel tempo, possiamo considerare una configurazione di riferimento C^{∗}. Ad ogni punto di C^{∗}, corrisponde una particella del sistema, per cui è possibile esprimere le posizioni della particelle di C in funzione della configurazione di riferimento. Se OP è il raggio vettore di una qualsiasi particella P nel sistema C, allora sarà:

OP = OP(t, P^{∗})  (7.1)

in cui P^{∗} è il punto corrispondente a P nella configurazione C^{∗}.

Se indichiamo con x_{i} le coordinate nel sistema di riferimento solidale a C^{∗} e con ξ_{i} quelle del sistema C le (7.1) equivalgono alle equazioni nelle coordinate:

x_{i} = x_{i}(t, ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})  (7.2)

Se il moto è regolare, allora per qualunque istante t, le funzioni al secondo membro della (7.2) dovranno soddisfare le seguenti condizioni:

1. Dovranno essere continue con le derivate prime e seconde continue;

2. Biunivoche nella corrispondenza tra P e P^{∗}

3. Dovrà essere positivo il determinante dello Jacobiano:

D = det (\frac{∂x_{i}}{∂ξ_{j}} )

La prima condizione ci dice che non ci sono lacerazioni o compressioni; la terza ci dice che si passa con continuità da C^{∗} a C. Infatti se i sistemi coincidono, lo Jacobiano sarà: D = det (\frac{∂x_{i}}{∂x_{j}} ) = det(δ_{ij}) = 1. Se è vera la seconda condizione, allora questo sarà sempre vero.

Le coordinate ξ_{i} sono coordinate che, istante per istante, etichettano la singola particella di C e sono dette coordinate Lagrangiane e la configurazione C è detta la configurazione istantanea del sistema.

La terza condizione, assicura che le (7.2) siano invertibili, e dunque ci sarà una corrispondenza biunivoca fra le particelle in C e in C^{∗}. Questo non vuol dire che le traiettorie non si possano intersecare, ma solo che due particelle non possano occupare contemporaneamente la stessa posizione. Dunque, potremo scrivere anche:

ξ_{i} = x_{i}(t, x_{1}, x_{2}, x_{3})  (7.3)

L’equazione (7.2) definisce, istante per istante, la posizione di ciascuna particella etichettata dalle coordinate ξ_{i} e quindi descrive il moto dell’intero sistema particella per particella (punto di vista Lagrangiano). L’equazione (7.3), invece, definiscono quale particella passa per il punto di coordinate x_{i} nell’istante t (punto di vista Euleriano). Si noti che, mentre le ξ_{i} sono definite in un insieme C^{∗} fisso, le x_{i} sono definite in un campo dello spazio variabile con il tempo.

7.1.3 Derivata locale e sostanziale

Le derivate temporali:

v = \frac{∂OP}{∂t} ; a = \frac{∂^{2}OP}{∂t^{2}} = \frac{∂v}{∂t}  (7.4)

rappresentano la velocità e l’accelerazione di una generica particella del continuo rispetto al sistema di riferimento dal punto di vista Lagrangiano e dunque saranno:

v = v(ξ_{i}, t) a = a(ξ_{i}, t)

Le corrispondenti grandezze Euleriane si ottengono sostituendo le ξ_{i} tramite le (7.3) e eseguendo le differenziazioni. Dunque possiamo definire la velocità Euleriana:

e ≡ [v(ξ_{i}, t)]_{ξ_{i}=ξ_{i}(x_{i},t)} ≡ e(x_{i}, t)
e_{i}(x_{i}, t) ≡ [\frac{∂x_{i}}{∂t} ]_{ξ_{i}=ξ_{i}(x_{i},t)}  (7.5)

che definisce la distribuzione istantanea delle velocità in C all’istante t.

Una qualsiasi quantità Q scalare o vettoriale deve poter essere espressa in entrambe le forme a seconda che si mettano in evidenza la dipendenza dalle variabili Euleriane o Lagrangiane:

q̄(ξ, t) = [q(x, t)]_{x_{i}/x_{i}(ξ,t)}; q(x, t) = [q̄(ξ, t)]_{ξ_{i}=ξ_{i}(x_{i},t)}  (7.6)

Della gtrandezza Q si possono considerare due tipi di derivata temporale, e di ciascuno di essi le forme Lagrangiane ed Euleriane. A partire dalla derivata parziale:

q_{t} ≡ \frac{∂q}{∂t} ≡ ∂_{t}q  (7.7)

possiamo considerare la derivata totale:

q̇ ≡ \frac{∂q}{∂t} + \frac{∂q}{∂x_{i}} (\frac{∂x_{i}}{∂t} )_{ξ_{i}=ξ_{i}(x_{i},t)} = ∂_{t}q + \frac{∂q}{∂x_{i}} e_{i}  (7.8)

Le (7.7) e (7.8) rappresentano, in forma Euleriana, la derivata temporale locale e la derivata sostanziale della grandezza Q. Le analoghe derivate, costruite a partire dalla espressione Lagrangiana q̄(ξ, t) sono:

˙q̄ ≡ \frac{∂q̄}{∂t} + \frac{∂q̄}{∂ξ_{i}} (\frac{∂ξ_{i}}{∂t} )_{x_{i}=x_{i}(ξ_{i},t)} = ∂_{t}q̄ − \frac{∂q̄}{∂ξ_{i}} v_{i}  (7.9)

avendo definito:

v_{i} ≡ − (\frac{∂ξ_{i}}{∂t} )_{x_{i}=x_{i}(ξ_{i},t)}  (7.10)

Applicando la (7.8) alla velocità Euleriana e(x, t), troviamo l’accelerazione Euleriana a(x, t):

a_{k} ≡ė_{k} = \frac{∂e_{k}}{∂t} + \frac{∂e_{k}}{∂x_{i}} e_{i}
⇒ ė = \frac{∂e}{∂t} + (e · ∇)e  (7.11)

7.1.4 Equazione di Eulero

Consideriamo un volume V nel fluido soggetto alle forze di pressione. La forza che agisce sulla superficie S che circonda il volume considerato sarà:

F = − ∫_{S} P ndS  (7.12)

Possiamo trasformare l’integrale (7.12) in un integrale di volume usando il teorema del gradiente e uguagliare la forza alla massa per l’accelerazione locale (Euleriana):

ρ\frac{de}{dt} = −∇P  (7.13)

Applicando la (7.11) otteniamo:

\frac{∂e}{∂t} + (e · ∇) e = −\frac{∇P}{ρ}  (7.14)

Se il fluido è in un campo di forze di volume, per es. il campo gravitazionale, alle forze di pressione si aggiungeranno le forze di volume ρgdV, dunque l’equazione (7.14) di Eulero (1755), diventa:

\frac{∂e}{∂t} + (e · ∇) e = −\frac{∇P}{ρ} + g  (7.15)

In queste espressioni non si è tenuto conto delle eventuali forze di attrito né della conducibilità termica del fluido. Una tale descrizione, in cui l’attrito e la dissipazione termica sono ininfluenti, definisce un fluido ideale.

7.1.5 Moto adiabatico

in un fluido ideale, la conduzione del calore e dunque gli scambi di energia termica fra le parti di fluido sono ininfluenti. Il moto, pertanto, sarà adiabatico e le variazioni di entropia saranno nulle. Considerando le grandezze specifiche (per unità di massa):

\frac{ds}{dt} = 0 = \frac{∂s}{∂t} + v · ∇s  (7.16)

che è una equazione di continuità per l’entropia. Usando la relazione che lega l’entropia all’entalpia: dh = T ds+V dp = T ds+dp/ρ e considerando che ds = 0 otteniamo

∇h = ∇P/ρ

che, sostituito nell’equazione di Eulero dà:

\frac{∂v}{∂t} + (v · ∇) v = −∇h  (7.17)

Applicando la formula vettoriale:

\frac{1}{2}∇(v^{2}) = v × (∇ × v) + (v · ∇)v  (7.18)

otteniamo:

−∇ (h + \frac{1}{2}v^{2}) = \frac{∂v}{∂t} + v × (∇ × v)  (7.19)

che è una relazione che lega il gradiente dell’energia alla forza e alla vorticità. Se prendiamo il rotore di entrambi i membri, si ottiene un’espressione dell’equaziome di Eulero che dipende solo dalla velocità; sarà:

\frac{∂ (∇ × v)}{∂t} = ∇ × (v × ∇ × v)  (7.20)

7.1.6 L’equazione di Bernoulli

Oltre al metodo tradizionale per ricavare l’equazione di Bernoulli a partire dalla conservazione dell’energia in un condotto, possiamo ricavarla dall’equazione di Eulero (7.19). Infatti, se ricordiamo che:

\frac{∂U}{∂ℓ} = \overrightarrow{∇}U(M) · \overrightarrow{ℓ}

La proiezione lungo la direzione delle linee di flusso ℓ della (7.19), siccome ℓ è parallelo a v, sarà, tenuto conto anche dell’accelerazione di gravità:

\frac{∂}{∂ℓ} [\frac{1}{2}v^{2} + h + gz] = 0  (7.21)

da cui:

\frac{1}{2}v^{2} + h + gz = cost  (7.22)

Tenuto conto che dh = dp/ρ, sarà:

\frac{1}{2}ρv^{2} + p + ρgz = cost  (7.23)

che è l’equazione di Bernoulli.

Vederemo, in seguito, che l’equazione di Bernoulli, è un caso particolare di una intera classe di equazioni più generali.

7.2 Introduzione alla viscosità

Consideriamo un fluido che scorra in un canale di altezza h e trascuriamo l’effetto dalle pareti verticali. Consideriamo una lastra di questo fluido di suoerficie ΔS, a distanza x dal fondo del canale. La sua velocità crescerà con la distanza dal fondo, considerato che il liquido a contatto con il fondo è fermo e che in superficie c’è la massima velocità:

v = v_{1} \frac{x}{h}

in cui v_{1} è la velocità che si raggiunge in superficie (cioè quando x = h). A regime, non ci saranno accelerazioni nei vari strati di fluido, e pertanto le forze che agiranno su ciascuno strato dovranno equilibrarsi. Si trova spermentalmente che per molti liquidi semplici (liquidi Newtoniani) il modulo della forza di attrito interno si puo’ esprimere come:

F = μΔS \frac{v}{h}  (7.24)

in cui μ è una costante caratteristica del fluido considerato che ha le dimensioni di

[μ] = [F ll^{−2}v^{−1}] = [mlt^{−2}ll^{−2}l^{−1}t] = ml^{−1}t^{−1}

ed è la viscosità.

Passando al differenziale:

dF = μ\frac{∂v}{∂x}dS  (7.25)

da cui deriva che la pressione nel fluido varia con la legge:

P = \frac{∂F}{∂S} = μ\frac{∂v}{∂x}  (7.26)

7.2.1 Legge di Poiseuille

Consideriamo un fluido che scorra in un condotto cilindrico di raggio a.

Figura 7.1: Flusso laminare in un cilindro di raggio a e lunghezza Δℓ con una differenza di pressione fra le faccie ΔP = P′ − P

Il flusso sia laminare e completamente governato dalla viscosità (cioé le differenti velocità all’interno del fluido siano dovute solo all’effetto della viscosità). il fluido scorrerà nel cilindro in corone cilindriche coassiali, di raggio generico r e spessore dr. Su ciascuna corona agiranno 3 forze:

1. La risultante delle forze di pressione applicate agli estremi del cilindro;

2. la forza tangenziale derivante dalla viscosità sul mantello interno

3. la forza tangenziale derivante dalla viscosità sul mantello esterno

la prima componente sarà:

dF_{p} = 2πr drΔp  (7.27)

la seconda sarà:

dF_{int} = μ\frac{∂v}{∂r} (2πrΔl)  (7.28)

la terza,si oppone alla precedente e sarà:

dF_{ext} = − μΔl[2π(r + dr)]\frac{∂}{∂r} [v(r + dr)] =
= −2πμΔl(r + dr)\frac{∂}{∂r} [v(r) + \frac{∂v}{∂r} dr]  (7.29)

e dunque considerando solo i termini del primo ordine in dr

dF_{ext} = −2πμΔl [r \frac{∂v}{∂r} + r \frac{∂^{2}v}{∂r^{2}} dr + \frac{∂v}{∂r} dr]  (7.30)

la somma delle tre deve essere nulla allo stato stazionario, dunque:

2πr drΔp = −2πμΔl (r \frac{∂^{2}v}{∂r^{2}} + \frac{∂v}{∂r} ) dr  (7.31)

e dunque:

−Δp = μ\frac{Δl}{r} (r \frac{∂^{2}v}{∂r^{2}} + \frac{∂v}{∂r} ) = μ\frac{Δl}{r} \frac{∂}{∂r} (r \frac{∂v}{∂r} )  (7.32)

Moltiplicando per r ambo i membri della (7.32) e integrando si ottiene:

−\frac{r^{2}}{2} ΔP = μΔlr \frac{∂v}{∂r} + C  (7.33)

che ci fornisce una equazione per la velocità:

\frac{∂v}{∂r} = −\frac{rΔP}{2μΔl} + \frac{C}{r}  (7.34)

La costante C può essere determinata dalla condizione al contorno che il gradiente di velocità sia finito anche per r = 0, e dunque deve essere C = 0.

Siccome per r = 0 la (7.34) vale \frac{∂v}{∂r} = 0, al centro la velocità avrà un estremo, che, visto che sulle pareti v = 0, sarà un massimo.

Integrando la (7.34), otteniamo:

v(r) = −\frac{ΔP}{2μΔl} \frac{r^{2}}{2} + D

ove la costante D può essere ricavata dalla condizione v(a) = 0:

−\frac{ΔP}{2μΔl} \frac{a^{2}}{2} + D = 0

e dunque

D = \frac{a^{2}}{4μΔl} ΔP

in definitiva, il profilo di velocità all’interno del condotto sarà:

v(r) = \frac{ΔP}{4μΔl} (a^{2} − r^{2})  (7.35)

Dunque il profilo di velocità all’interno di un condotto cilindrico è parabolico.

La portata Q del condotto è la quantità di fluido che passa attraverso una sezione nell’unità di tempo:

Q = ∫_{0}^{a} v(r)2πrdr  (7.36)

sostituendo a v(r) la (7.35), otteniamo:

Q = \frac{2πΔP}{4μΔl} [a^{2} ∫_{0}^{a} r dr + ∫_{0}^{a} r^{3}dr]  (7.37)

che portano alla legge di Poiseuille

Q = \frac{πΔP}{8μΔl} a^{4}  (7.38)

In onore di Poiseuille, l’unità di misura della viscosità prende il nome di Poise e vale 0.1P a s.

7.3 Equazioni costitutive di un fluido Newtoniano

I fluidi Newtoniani sono quelli in cui la viscosità non dipende dalla velocità del fluido. Consideriamo un fluido a riposo: in tal caso, le componenti degli sforzi saranno dovute solo alla pressione e dunque saranno solo le componenti diagonali:

τ_{ij} = −pδ_{ij}  (7.39)

ove il segno viene dal fatto che la pressione è orientata verso l’interno, mentre le tensioni normali sono verso l’esterno. In un fluido in movimento, si sviluppano delle tensioni di taglio, dovute alla viscosità. Dunque la (7.39) diventa:

τ_{ij} = −pδ_{ij} + σ_{ij}  (7.40)

La parte non isotropa è nota come sforzo deviatorio e dipende dai gradienti di velocità. Infatti se u(x, t) è la velocità del fluido in un punto O, in un punto P a distanza dx, sarà

du_{i} = \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} dx_{j} = α_{ij}dx_{j}  (7.41)

Se scomponiamo il tensore α_{ij} nelle sua parti simmetrica e antisimmetrica:

\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} = \frac{1}{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) + \frac{1}{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} − \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) = e_{ij} + \frac{1}{2}ϵ_{ijk}ω_{k}  (7.42)

riconosciamo il tensore di deformazione e la rotazione. Se vale la legge di Hooke, c’è una proporzionalità tra il tensore degli sforzi e le deformazioni:

σ_{ij} = C_{ijkl}e_{kl}  (7.43)

Se siamo in un mezzo isotropo, allora il tensore C_{ijkl} dovrà essere una combinazione lineare di prodotti di δ_{ij}:

C_{ijkl} = λδ_{ij}δ_{kl} + μδ_{il}δ_{jk} + γδ_{ik}δ_{jl}  (7.44)

Siccome le σ_{ij} sono simmetriche per lo scambio di i e j, altrettanto sarà per la C_{ijkl}, e dunque il secondo e terzo termine saranno uguali. Dunque:

C_{ijkl} = λδ_{ij}δ_{kl} + 2μδ_{il}δ_{jk}  (7.45)

e dunque

σ_{ij} = λe_{kk}δ_{ij} + 2μe_{ij} = 2μe_{ij} + (∇ · u)δ_{ij}  (7.46)

Pertanto, la (7.40) diventa:

τ_{ij} = −pδ_{ij} + λe_{kk}δ_{ij} + 2μe_{ij}  (7.47)

Per calcolare la pressione in funzione dei parametri in gioco possiamo calcolare la traccia della (7.47):

τ_{ii} = −3p + (3λ + 2μ)e_{ii}  (7.48)

da cui:

p = −\frac{1}{3}τ_{ii} + (λ + \frac{2}{3}μ) ∇ · u  (7.49)

La pressione media del fluido in condizioni statiche sarà:

p̄ = −\frac{1}{3}τ_{ii}  (7.50)

dunque sarà:

p − p̄ = (λ + \frac{2}{3}μ) ∇ · u  (7.51)

Per un fluido incomprimibile, non ci saranno variazioni di volume, dunque e_{kk} = 0, e la (7.47) diventa:

τ_{ij} = −pδ_{ij} + 2μe_{ij}  (7.52)

dove p è la pressione media. Se il fluido è comprimibile, allora esisterà una pressone termodinamica, tale che valga la (7.51) che lega la differenza di pressione all’espansione tramite il fattore k = (λ + \frac{2}{3}μ) che prende il nome di coefficiente di viscosità di volume.

Per avere un’idea della distinzione fra pressione media e pressione termodinamica, consideriamo un fluido in un cilindro con un pistone. Il primo principio della termodinamica ci dice:

dU = dL + dQ = −p̄dV + dQ = −pdV + T dS ⇒ (p − p̄) dV = T dS − dQ

avendo scritto la prima uguaglianza considerando solo il lavoro meccanico e la seconda in termini delle variabili di stato. Il secondo principio ci dice che T dS − dQ ≥ 0, dunque p − p̄ ≥ 0. Dall’equazione di continuità, possiamo ricavare un’espressione per ∇ · u:

∇ · u = −\frac{1}{ρ} \frac{∂ρ}{∂t}  (7.53)

Dalla (7.51), allora:

p − p̄ = − (λ + \frac{2}{3}μ) \frac{1}{ρ} \frac{∂ρ}{∂t} =
= (λ + \frac{2}{3}μ) \frac{1}{V} \frac{∂V}{∂t}  (7.54)

dunque c’è differenza di pressione se il fluido è comprimibile e k = (λ + \frac{2}{3}μ) ≥ 0. Il coefficiente di viscosità di volume k è una misura della dissipazione per compressione o espansione e, per molti fluidi, è molto piccolo e dunque vale l’approssimazione di Stokes k = (λ + \frac{2}{3}μ) = 0. In questa approssimazione sarà:

τ_{ij} = − (p + \frac{2}{3}μ(∇ · u)) δ_{ij} + 2μe_{ij}  (7.55)

La (7.55) mostra che in un fluido in approssimazione di Stokes, c’è una relazione lineare tra la trazione τ e la deformazione e tramite la viscosità dinamica μ come nella definizione Newtoniana di viscosità.

I termini non diagonali della (7.55), sono di facile interperetazione. Infatti, per es.:

τ_{12} = μ (\frac{∂u_{1}}{∂x_{2}} + \frac{∂u_{2}}{∂x_{1}} )  (7.56)

collega lo sforzo di taglio alla velocità di deformazione. Un po’ più complicato il caso degli sforzi normali:

τ_{11} = −p + 2μ (\frac{∂u_{1}}{∂x_{1}} − \frac{1}{3} \frac{∂u_{i}}{∂x_{i}} )  (7.57)

Il secondo termine è la velocità di espansione media, mentre il primo è la velocità di espansione nella direzione 1. Dunque la parte viscosa dello sforzo sul piano normale all’asse 1 è proporzionale alla differenza tra la velocità di espansione in direzione 1e la velocità di espansione media nel punto considerato.

7.3.1 Equazioni di Navier-Stokes

Consideriamo l’applicazione della legge di Newton ad un fluido viscoso in un campo gravitazionale:

F = ma ⇒  ∫_{V} ρg_{i}dV + ∫_{S} τ_{ij}n_{j}dS = ∫_{V} ρ\frac{d}{dt}u_{i}dV  (7.58)

Applicando all’integrale di superficie il teorema della divergenza e uguagliando gli argomenti degli integrali di volume:

ρ\frac{du_{i}}{dt} = ρg_{i} + \frac{∂τ_{ij}}{∂x_{j}}  (7.59)

e, sostituendo l’espressione di τ_{ij}, eq.(7.55), otteniamo le Equazioni di Navier-Stokes

ρ\frac{du_{i}}{dt} = ρg_{i} − \frac{∂p}{∂x_{i}} + \frac{∂}{∂x_{j}} [2μe_{ij} − \frac{2}{3}μ(∇ · u)δ_{ij}]  (7.60)

La viscosità μ, in genere, dipende dalla temperatura. Quando all’interno dello stesso fluido, le differenze di temperatura sono trascurabili, allora possiamo tirarlo fuori dalla derivazione, dunque:

ρ\frac{du_{i}}{dt} =ρg_{i} − \frac{∂p}{∂x_{i}} + 2μ\frac{∂e_{ij}}{∂x_{j}} − \frac{2}{3}μ\frac{∂}{∂x_{j}} (∇ · u)
= ρg_{i} − \frac{∂p}{∂x_{i}} + μ [∇^{2}u_{i} + \frac{1}{3} \frac{∂}{∂x_{i}} (∇ · u)]  (7.61)

che può essere scritta, in forma vettoriale:

\frac{du}{dt} − μ∇^{2}u − \frac{1}{3}μ∇(∇ · u) = −\frac{∇p}{ρ} + g  (7.62)

che per un fluido incomprimibile, dove ∇ · u = 0 si rifuce a:

\frac{du}{dt} − μ∇^{2}u = −\frac{∇p}{ρ} + g  (7.63)

che si riduce alla equazione di Eulero quando sono trascurabili gli effetti viscosi.

7.3.2 Lavoro di deformazione e dissipazione viscosa

Vediamo come si può ottenere una variazione dell’energia interna di un fluido per effetto della deformazione. Partiamo dall’equazione di Eulero

ρ\frac{du_{i}}{dt} = ρg_{i} + \frac{∂τ_{ij}}{∂x_{j}}

moltiplicando ambo i membri per u_{i} si ottiene:

ρ\frac{d}{dt} (\frac{1}{2}u^{2}) = ρu_{i}g_{i} + u_{i} \frac{∂τ_{ij}}{∂x_{j}}

riconosciamo a primo membro la derivata totale della densità di energia cinetica:

w = \frac{1}{2}ρu^{2}

Espandendo la derivata totale ed esprimendo il tutto in forma vettoriale:

\frac{∂w}{∂t} + (∇ · u)w = ρu · g + u · (∇ · τ)  (7.64)

il secondo termine a secondo membro lo possiamo scrivere come:

u_{i} \frac{∂τ_{ij}}{∂x_{j}} = \frac{∂u_{i}τ_{ij}}{∂x_{j}} − τ_{ij} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}}  (7.65)

che ci dice che il tasso di aumento dell’energia cinetica (primo membro) è pari alla differenza tra i tassi di variazione del lavoro totale e del lavoro delle forze di deformazione.

Il secondo termine a II membro (il lavoro delle forze di deformazione) lo possiamo scrivere come:

τ_{ij} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} = τ_{ij}e_{ij}

e a τ_{ij} possiamo sostituire la sua espressione (7.55) per ottenere un’espressione per il lavoro di deformazione:

L_{def} = −p(∇ · u) + 2μe_{ij}e_{ij} − \frac{2}{3}μ(∇ · u)^{2}  (7.66)

che è formato da un termine di pressione e un termine viscoso ϕ = 2μ(e_{ij}e_{ij} − \frac{1}{3}(∇ · u)^{2}).

Il termine viscoso può essere riscritto come^{1} :

ϕ = 2μ [e_{ij} − \frac{1}{3}(∇ · u)δ_{ij}]^{2}  (7.67)

che come si vede è proporzionale alla viscosità e al quadrato della divergenza della velocità e dunque è importante soprattutto nelle regioni con alti sforzi di taglio.

7.3.3 Equazione di Bernoulli generalizzata

Consideriamo l’equazione di eulero in un campo gravitazionale:

\frac{∂u_{i}}{∂t} + u_{j} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} = g_{i} − \frac{1}{ρ} \frac{∂P}{∂x_{i}}  (7.68)

In un campo gravitazionale con un potenziale U = \frac{Gm}{r}, g_{i} = −(∇U)_{i}; se consideriamo l’asse z lungo il raggio della terra, sarà: g_{i} = −\frac{∂gz}{∂x_{i}}. D’altra parte il secondo termine a primo membro della (7.68) si può scrivere come:’

u_{j} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} = u_{j} [\frac{1}{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) + \frac{1}{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} − \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} )] = \frac{1}{2} \frac{∂(u_{i}u_{j})}{∂x_{j}} + ϵ_{ijk}ω_{k}

(7.69)

Dunque la (7.68) diventa:

\frac{∂u_{i}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{1}{2}u^{2}) + \frac{1}{ρ} \frac{∂P}{∂x_{i}} + \frac{∂gz}{∂x_{i}} = u_{i}ϵ_{ijk}ω_{k}  (7.70)

in cui, al secondo membro riconosciamo la componente i-esima del prodotto vettoriale: u × ω. Se assumiamo che la densità sia una funzione della sola

(e_{ij} − \frac{1}{3} (∇ · u)δ_{ij}) (e_{ij} − \frac{1}{3} (∇ · u)δ_{ij}) =

= e_{ij}e_{ij} − 2 \frac{1}{3} (∇ · u)δ_{ij}e_{ij} + \frac{1}{9} (∇ · u)^{2} · 3 =

= e_{ij}e_{ij} − \frac{1}{3} (∇ · u)^{2}

1 essendo: δ_{ij}e_{ij} = e_{ii} = \frac{∂}{∂x_{i}} u_{i} = ∇ · u

pressione (flusso bariotropico), come per esempio nel caso di un flusso adiabatico, dove P V^{γ} ≡ P ρ^{−γ} = cost, ρ = CP^{γ} = ρ(P), allora:

\frac{1}{ρ} \frac{∂P}{∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{i}} ∫ \frac{dP}{ρ}  (7.71)

Infatti:

∫_{x_{0}}^{x} \frac{dP}{ρ} = ∫_{x_{0}}^{x} \frac{1}{ρ} \frac{dP}{dρ} dρ = ∫_{x_{0}}^{x} \frac{dΠ}{dρ}dρ = Π(x) − Π(x_{0})  (7.72)

avendo definito la funzione Π(ρ) in modo tale che \frac{1}{ρ} \frac{dP}{dρ} = \frac{dΠ}{dρ}. La derivata della (7.72) rispetto alle coordinate, sarà:

\frac{∂Π}{∂x_{i}} = \frac{∂Π}{∂P} \frac{∂P}{∂x_{i}}

ma

\frac{∂Π}{∂P} = \frac{1}{ρ}

e dunque è dimostrata la (7.71). Nel caso di un flusso bariotropico, dunque, la (7.70), diventa:

\frac{∂u_{i}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{i}} [\frac{1}{2}u^{2} + ∫ \frac{dP}{ρ} + gz] = (u × ω)_{i}  (7.73)

La (7.73) è una classe di equazioni integrali delle leggi di conservazione e il termine fra parentesi quadre definisce una fuzione di Bernoulli B. Dunque l’equazione generalizzata di Bernoulli (7.73) si può scrivere in forma vettoriale come:

\frac{∂u}{∂t} + ∇B = u × ω  (7.74)

Possiamo considerare il caso di un flusso stazionario, in cui \frac{∂u}{∂t} = 0, allora la (7.74) si riduce a :

∇B = u × ω

Il primo membro sarà ortogonale alle superfici per cui B è costante, il secondo è ortogonale sia alla velocità sia alla rotazione. Dunque B sarà costante lungo le linee di flusso e lungo le lnee di vortice, ovvero le linee di flusso e le linee di vortice definiscono le superfici di B costante (vedi Fig.7.3.3). Se anche u×ω = 0, allora risulta che la funzione di Bernoulli è costante ovunque, e dunque diventa l’equazione di Bernoulli classica.

Se consideriamo un flusso non stazionario ma irrotazionale, la condizione di irrotazionalità si può porre dicendo che il vettore velocità u è il gradiente di un potenziale scalare: u = ∇ϕ. Infatti, siccome ω = ∇ × u, allora ω = ∇ × (∇ϕ) = 0. In tal caso, la (7.73) diventa:

∇ [\frac{1}{2}u^{2} + ∫ \frac{dP}{ρ} + gz + \frac{∂ϕ}{∂t}] = 0  (7.75)

che ci dice che l’argomento del gradiente sarà costante rispetto alle coordinate, ma, in generale potrà essere una funzione del tempo:

\frac{1}{2}u^{2} + ∫ \frac{dP}{ρ} + gz + \frac{∂ϕ}{∂t} = F (t)

7.3. EQUAZIONI COSTITUTIVE DI UN FLUIDO NEWTONIANO 81 Figura 7.2: Superfici su cui la funzione di Bernoulli è costante 82 CAPITOLO 7. FLUIDI

Parte II modulo II

83

Elettrostatica e conduzione

8.1 Richiami di elettrostatica nel vuoto

8.1.1 Il Campo Elettrico

Definiamo il campo elettrico E a partire dalla forza che subisce una carica elettrica nello spazio, in presenza di un’altra carica. Per una carica di prova unitaria, possiamo scrivere:

F = qE  (8.1)

Analogamente, possiamo scrivere la legge (di Coulumb) per due cariche q_{1} e q_{2}. La forza esercitata dalla carica 1 sulla 2 sarà:’

F_{12} = kq_{1}q_{1} \frac{x_{1} − x_{2}}{|x_{1} − x_{2}|^{3}}  (8.2)

Dal confronto fra le (8.1) e (8.2) si ricava che il campo elettrico generato dalla carica q_{1} nel punto x è:

E(x) = kq_{1} \frac{x − x_{1}}{|x − x_{1}|^{3}}  (8.3)

in cui la costante di proporzionalità k vale:

k = \frac{1}{4πϵ_{0}} = 10^{−7}c^{2} (SI)

avendo introdotto la permittività o costante dielettrica del vuoto che vale ϵ_{0} = 8.854 × 10^{−12}F m^{−1} = 8.854 × 10^{−12}C^{2}N^{−1}m^{−2}. Le dimensioni del campo elettrico saranno:[E] = V m^{−1}.

Per avere un’idea della forza del campo elettrico rispetto a quello gravitazionale, consideriamo il rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale esercitata da un elettrone su un’altro elettrone:

F_{E} = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}

F_{g} = G\frac{m_{e}^{2}}{r^{2}}

ove G = 6.67×10^{−11} Nm^{2}kg^{−2}, e = 1.602×10^{−19}C, e/m_{e} = 1.759×10^{11} Ckg^{−1}. Dunque:

\frac{F_{E}}{F_{g}} = \frac{1}{4πGϵ_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e}^{2}} = 4.17 × 10^{42}  (8.4)

8.1.2 Teorema di Gauss

Consideriamo una superficie chiusa S ed una carica ad una distanza r da un punto della superficie. Il flusso del campo attraverso la superficie è:

∫_{S} E · ndS = ∫_{S} \frac{1}{4πϵ_{0}} q \frac{r cos(θ)}{r^{3}}dS
= \frac{1}{4πϵ_{0}} q ∫ r \frac{1}{r^{3}} r^{2}dΩ = \frac{q}{ϵ_{0}}  (8.5)

dunque, per una densità di carica ρ(x):

∫_{S} E · n dS = \frac{1}{ϵ_{0}} ∫_{V} ρ(x) d^{3}x = ∫_{V} ∇ · Ed^{3}x  (8.6)

da cui si ricava la formula differenziale del Teorema di Gauss:

∇ · E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}  (8.7)

8.1.3 Potenziale scalare

La legge di Coulumb (8.3),per una densità di carica ρ(x), la possiamo scrivere:

E(x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫ ρ(x′)\frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} d^{3}x′  (8.8)

La funzione integranda può essere scritta come il gradiente rispetto a x di −1/|x − x′|. Infatti:

\frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x′^{2} − 2x · x′}} ) =

= −\frac{(2x′ − 2x)}{2 (x^{2} + x′^{2} − 2x · x′)^{3/2}}

= −\frac{x′ − x}{|x′ − x|^{3}}

Dunque la (8.8) diventa:

E(x) = −\frac{1}{4πϵ_{0}} ∇ ∫ \frac{ρ(x′)}{|x − x′|}d^{3}x′ = −∇V  (8.9)

ove si è definito il potenziale elettrico:

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫ \frac{ρ(x′)}{|x − x′|}d^{3}x′  (8.10)

Se il campo è il gradiente di un potenziale scalare V, allora il rotore del campo è nullo:

∇ × E = 0  (8.11)

e di conseguenza è nulla la circuitazione del campo lungo una linea chiusa:

∮ E · dℓ = 0  (8.12)

8.1.4 Distribuzione superficiale di carica e doppio strato

Il teorema di Gauss applicato ad una superficie carica con una densità superficiale σ si può scrivere come:

∫_{S} E · n dS = \frac{1}{ϵ_{0}} ∫_{S} σ dS  (8.13)

Se consideriamo i campi dai due lati della superficie E_{1} ed E_{2}, risulta (E_{1} −E_{2})· n = σ/ϵ_{0}, che ci dice solo che c’è una discontinuità nelle componenti normali del campo dai due lati della superficie. D’altra parte, la (8.12) applicata ad un circuito che attraversi la superficie e abbia due lati uguali e paralleli alla superficie ℓ_{1} ed ℓ_{2}, e gli altri due ortogonali, implica che:

∮ E · dℓ = E_{1} · ℓ_{1} − E_{2} · ℓ_{2} = 0  (8.14)

essendo i due lati paralleli percorsi in senso opposto.

In definitiva, mentre le componente normale alla superficie subisce un salto σ/ϵ_{0}, la componente tangenziale si conserva nel passaggio attraverso la superficie.

Consideriamo ora due superfici cariche con carica opposta, poste a distanza d(x) fra loro (Fig.8.1 - strato di dipolo). Il potenziale elettrico in un punto O(x) è dato dalla somma dei potenziali elettrici dei due strati calcolati in quel punto.

Figura 8.1: Definizione delle variabili per il calcolo del potenziale elettrico dello strato di dipolo

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} [∫_{S} \frac{σ(x′)}{|x − x′|}dS + ∫_{S′} \frac{−σ(x′)}{|x − x′ + d n|}dS′]  (8.15)

Siccome d ≪ |x′|, possiamo sviluppare il secondo termine in serie di Taylor:

\frac{1}{|x − x′ + dn|} ≃ \frac{1}{|x − x′|} + dn · ∇ (\frac{1}{|x − x′|})

88 CAPITOLO 8. ELETTROSTATICA E CONDUZIONE Dunque, sostituendo in (8.15), otteniamo:

V (x) ≃ \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{S} σ(x′)d n · ∇′ (\frac{1}{|x − x′|}) dS′  (8.16)

avendo tenuto conto che ∇ = −∇′. Definendo il dipolo elettrico come

p(x) = σ(x)d ndS  (8.17)

risulta che il potenziale di doppio strato, o di dipolo, è:

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{p · (x − x′)}{|x − x′|^{3}}  (8.18)