CHI - QUADRO E TEST PER DISTRIBUZIONI

LA DISPERSIONE E’ UNA CARATTERISTICA IMPORTANTE DELLA POPOLAZIONE.  L’ADDENSAMENTO O LA MANCANZA DI ADDENSAMENTO POSSONO RIFLETTERE COSE DEL TIPO:

1.  LA COMPETIZIONE PER UNA FONTE LIMITATA COME LA SCARSITA’ DI ACQUA POSSONO SPIEGARE LA DISTRIBUZIONE DIFFUSA DI ALCUNE PIANTE DESERTICHE.

2. PREFERENZE DI HABITAT COME L’ADDENSAMENRO DI SALAMANDRE SOTTO CEPPI .

3. O SEMPLICEMENTE L’ABILITA’ DI NUOVI NATI DI ESPANDERSI SU UNA ZONA MOLTO VASTA.

IN OGNI CASO, PRIMA DI CERCARE UNA SPIEGAZIONE PER ADDENSAMENTI O MANCANZA DI ADDENSAMENTI  (CLUMPING ), DOBBIAMO STABILIRE SE QUESTO AVVIENE. DOVREMMO ANCHE ESSERE IN GRADO DI MISURARLO IN UN MODO QUANTITATIVO.

LA NOSTRA STRATEGIA SARA’ DI:

1.  SVILUPPARE UN MODELLO MATEMATICO E VEDERE COME SI COMPORTA.

2.  CONFRONTARE IL COMPORTAMENTO DELLE NOSTRE POPOLAZIONI CON IL MODELLO IPOTIZZATO.

3. PERVENIRE AD UNA CONCLUSIONE.
 

IL MODELLO CHE SVILUPPEREMO CONSIDERERA’ UNA DISPERSIONE SENZA ADDENSAMENTO O CASUALE.

SE LA NOSTRA POPOLAZIONE NON SI COMPORTA COME QUESTO MODELLO, SAPREMO CHE C’E’ O UN ADDENSAMENTO O UNA ESTREMA DISPERSIONE COME CI ASPETTEREMMO DI TROVARE IN ANIMALI CHE CREANO LIMITI TERRITORIALI BEN PRECISI

CI ASPETTIAMO DI TROVARE LEUCOCITI DISPERSI A CASO IN UN CAMPIONE DI SANGUE ?- COMINCIAMO DA QUI.

IL NUMERO DI GLOBULI ROSSI SUPERA IL NUMERO DEI LEUCOCITI IN UN RAPPORTO DI CIRCA 700:1.
m m
COSI IN UN CAMPIONE DI 7000 CELLULE DEL SANGUE CI DOVREMMO ASPETTERE DI TROVARE 10 LEUCOCITI

QUANTE PROBABILITA’ CI SONO DI VEDERE 1 O 50 LEUCOCITI SU UN CAMPIONE DI 7000 CELLULE DI SANGUE SE LE CELLULE SONO DISPERSE A CASO?

POTREMMO USARE LA FORMULA DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE.

LA PROBABILITA’ DI TROVARE 50 LEUCOCITI SU DI UN CAMPIONE DI 7000 CELLULE DI SANGUE SAREBBE CALCOLATA IN QUESTO MODO:

- POSSIAMO USARE UN MODO PIU’ SEMPLICE PER RISOLVERE QUESTO PROBLEMA A PARTIRE DALLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE – SI PUO’ DIMOSTRARE CHE SE LA PROBABILITA’ DI UN EVENTO E’ MOLTO PICCOLA LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE TENDE AD UNA DISTRIBUZIONE LIMITE DENOMINATA DISTRIBUZIONE DI POISSON LE CUI CARATTERISTICHE SONO DI AVERE LA MEDIA ASSEGNATA E LA VARIANZA UGUALE ALLA MEDIA.

P(N) E’ LA PROBABILITA’ DI TROVARE N LEUCOCITI.

l E’ IL NUMERO MEDIO DI LEUCOCITI PER CAMPIONE. CONFRONTIAMO LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE E QUELLA DI POISSON. SUPPONIAMO CHE IN 50 CELLULE DI SANGUE NE TROVIAMO UNA CHE E’ UN LEUCOCITO: QUALE SARA’ LA PROBABILITA’ DI AVERE UN CAMPIONE DI 50 CELLULE CON NESSUN LEUCOCITA?

DISTRIBUZIONE BINOMIALE:

DISTRIBUZIONE DI POISSON:

CON l =1/50 × 50=1

COME SI VEDE LE DUE PROBABILITA’ SONO MOLTO VICINE. NELL’ESEMPIO CHE SEGUE E’ MOSTRATA LA PROBABILITA’ DI OTTENERE DA 0 A 10 LEUCOCITI DA CAMPIONI DI 700 CELLULE DEL SANGUE ESSENDO IL VALORE MEDIO PER CAMPIONE: l =1 I CALCOLI SONO ESEGUITI CON LA FUNZIONE POISSON DI EXCEL

N

P(N)

0

0,368

1

0,368

2

0,184

3

0,061

4

0,015

5

3,066E-03

6

5,109E-04

7

7,299E-05

8

9,124E-06

9

1,014E-06

10

1,014E-07

LE STESSE PROBABILITA’ SI TROVEREBBERO SE I CAMPIONI AVESSERO DIMENSIONE 7000 E QUESTO PERCHE’ LA DIMENSIONE DEL CAMPIONE NON FIGURA NELLA DISTRIBUZIONE DI POISSON IN QUANTO TALE DISTRIBUZIONE E’ RICAVATA NELL’IPOTESI CHE LA DIMENSIONE DEL CAMPIONE TENDE AD INFINITO. TUTTAVIA LA DISTRIBUZIONE DI POISSON DA’ BUONI RISULTATI ANCHE NEL CASO DI DIMENSIONE DEL CAMPIONE AD ESEMPIO DI 50 PURCHE’ IL VALORE MEDIO PER CAMPIONE l DELLA GRANDEZZA CHE SI STUDIA SIA PICCOLO. : VEDIAMO COSA ACCADE QUANDO IL VALORE MEDIO l DEI LEUCOCITI VA DA 1 A 10

N

P(N)

0

4,540E-05

1

4,540E-04

2

2,270E-03

3

7,567E-03

4

1,892E-02

5

3,783E-02

6

6,306E-02

7

9,008E-02

8

1,126E-01

9

1,251E-01

10

1,251E-01

MENTRE PER LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE SI HA P(0)=1.427× 10-5 QUINDI L’ACCORDO TRA LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE E QUELLA DI POISSON NON VA PIU’ MOLTO BENE PER l           ALTI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON SARA’ IL MODELLO DI CUI CI AVVARREMO COME ESEMPIO PER FAR VEDERE COME SI USA IL TEST DEL CHI QUADRO PER VERIFICARE L’IPOTESI NULLA DI UN CAMPIONE ESTRATTO DA UNA POPOLAZIONE DISTRIBUITA AD ESEMPIO IN ACCORDO AD UNA DISTRIBUZIONE DI POISSON MEDIANTE LA FUNZIONE DI GENERAZIONE DI UN NUMERO CASUALE DI EXCEL SONO STATI GENERATI 1000 NUMERI CASUALI CON UN INTERVALLO DI VALORI DA 1 A 100 E IL GRAFICO X-Y E’ MOSTRATO NELLA FIGURA LE LINEE DELLA GRIGLIA INDIVIDUANO 250 RETTANGOLI DI UGUALI DIMENSIONI CON UNA MEDIA DI 4 ELEMENTI PER RETTANGOLO

LA PROBABILITA’ DI TROVARE 0 ELEMENTI IN UN RETTANGOLO E’ 0.018 – SICCHE’ IN BASE AL MODELLO DA  4 A 5          

 

 

 

 

 

 

RETTANGOLI ( 0.018 x 250 ) DOVREBBERO CONTENERE 0 ELEMENTI NELLA TABELLA ATTESO= 250 x PROBABILITA’

Ev.

Probab.

Atteso

0

0,018

4,58

1

0,073

18,32

2

0,147

36,63

3

0,195

48,84

4

0,195

48,84

5

0,156

39,07

6

0,104

26,05

7

0,060

14,89

8

0,030

7,44

9

0,013

3,31

10

5,292E-03

1,32

11

1,925E-03

0,48

12

6,415E-04

0,16

13

1,974E-04

0,05

14

15

5,640E-05

1,504E-05

0,01

0.0004

 

 

 

 

LA PROBABILITA’ DI TROVARNE 3 O 4 IN UN RETTANGOLO E’ 0.195-COSI’ 49 RETTANGOLI DOVREBBERO CONTENERE 4 ELEMENTI I PUNTI POSSONO RAPPRESENTARE GLI ELEMENTI FIGURATI DEL SANGUE IN UNA CELLA DI CONTEGGIO, AD ESEMPIO UNA CAMERA DI BURKER, OPPURE IL NUMERO DI BATTERI CONTATI IN AREE SCELTE DI UN TERRENO DI COLTURA ETC.PER I CONTEGGI SI PUO’ ORGANIZZARE UNA TABELLA COME QUELLA CHE SEGUE:

Ev.

Probab.

Atteso

0

0,018

4,58

1

0,073

18,32

2

0,147

36,63

3

0,195

48,84

4

0,195

48,84

5

0,156

39,07

OVVIAMENTE RESIDUA IL PROBLEMA DI VERIFICARE QUANTITATIVAMENTE L’ADATTAMENTO DELLA DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA AD UNA DISTRIBUZIONE DI POISSON. PER QUESTO CI AVVALIAMO DEL TEST DEL CHI QUADRO. POSSIAMO A PARTIRE DALLA TABELLA OTTENUTA COSTRUIRE IL RAPPORTO (OSSERVATO-ATTESO)2/ATTESO SOMMIAMO E SI OTTIENE IL CHI QUADRO OSSERVATO: ABBIAMO 1000 PUNTI DISTRIBUITI SU 250 CELLE DI CONTEGGIO E DALLA TABELLA PRECEDENTE ABBIAMO GIA’ CALCOLATO I VALORI ATTESI IN ACCORDO AD UNA DISTRIBUZIONE DI POISSON DELLE OSSERVAZIONI QUINDI

N. ATTESO

N. OSSERV.

(OSS.-ATT.)2/ATT.

4.58

6

0.44

18.32

10

3.78

36.63

42

0.79

48.84

53

0.35

48.84

52

0.20

39.07

37

0.11

26.05

31

0.94

14.89

14

0.05

12.78

5

4.74

 

 

c 2 =11.40

      QUINDI LA PROBABILITA’ DI UN RETTANGOLO CONTENENTE 2 PUNTI E’ 0.15 E QUINDI CI ASPETTIAMO DI TROVARE 36.63 RETTANGOLI CONTENENTI 2 PUNTI.

PER POTER APPLICARE IL CHI QUADRO LE FREQUENZE NELLA CODA DELLA DISTRIBUZIONE DEVONO ESSERE ACCORPATE PERCHE’ PIU’ PICCOLE DI 5 E QUESTO PORTA A METTERE ASSIEME LE ULTIME OTTO CELLE AVENDO COSI’ UN TOTALE DI 12.78 CELLE CON PIU’ DI 8 PUNTI.

I GRADI DI LIBERTA’ PER IL CHI QUADRO SONO K-1

K E’ IL NUMERO DELLE CLASSI

QUINDI SI HANNO 9-1=8 GRADI DI LIBERTA’DALLA TABELLA SI VEDE CHE IL CHI QUADRO CRITICO PER 8 GRADI DI LIBERTA’ =15.51 > 11.40

E PERTANTO POSSIAMO ACCETTARE L’IPOTESI NULLA CHE I PUNTI SIANO STATI ESTRATTI DA UNA DISTRIBUZIONE DI POISSON. SI PROCEDE NELLO STESSO MODO SE IL MODELLO ASSUNTO PER VERIFICARE LA CASUALITA’ DI UN CAMPIONE E’ GAUSSIANO.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

UN TOTALE DI 40 LOTTI(CIASCUNO DI 50002 m) E’ STATO OSSERVATO PER CERCARE LA DISTRIBUZIONE DI NIDI DI PASSERI. SONO STATI TROVATI IN TOTALE 44 NIDI COSI’ DISTRIBUITI:

0

9

1

22

2

6

3

2

4

1

³ 5

0

 

VERIFICARE L’IPOTESI CHE I NIDI SIANO DISTRIBUITI IN MODO CASUALE