ANOVA AD UN FATTORE  E LA DISTRIBUZIONE F

 

A

B

A

B

4

4

4

14

2

2

2

12

3

3

3

13

2

2

2

12

4

4

4

14

NELLA TABELLA CI SONO DUE CAMPIONI DI DATI IDENTICI - I CUI VALORI VARIANO.

SUPPONIAMO DI AGGIUNGERE 10 A CIASCUN VALORE DI B.

I SET DI DATI NON SARANNO PIU' IDENTICI E POICHE' SAPPIAMO COME ERANO PRECEDENTEMENTE POSSIAMO FACILMENTE VEDERE CHE CI SONO DUE FONTI DI VARIAZIONI OVVIE:

 1. ENTRO CIASCUN GRUPPO.

 2. TRA LE MEDIE DEI GRUPPI

UN TEST t MOSTRA CHIARAMENTE CHE LE

MEDIE SONO SIGNIFICATIVAMENTE DIVERSE

ANCHE SE LE MEDIE SONO MOLTO DIVERSE, LA DEVIAZIONE STANDARD IN CIASCUN GRUPPO E' LA STESSA.

Test t: due campioni assumendo uguale varianza

A

B

Media

3

13

Varianza

1

1

Osservazioni

5

5

Varianza complessiva

1

Differenza ipotizzata per le medie

0

gdl

8

Stat t

-15,811

P(T<=t) una coda

1,280E-07

t critico una coda

1,8595

P(T<=t) due code

2,560E-07

t critico due code

2,3060

RENDIAMO LA DIFFERENZA TRA LE MEDIE DEI GRUPPI MOLTO PIU' ESTREMA.

 

 

 

 

 

A

B

4

114

2

112

3

113

2

112

4

114

 

Test t: due campioni assumendo uguale varianza

A

B

Media

3,000

113

Varianza

1,000

1

Osservazioni

5,000

5

Varianza complessiva

1,000

Differenza ipotizzata per le medie

0,000

gdl

8,000

Stat t

-173,93

P(T<=t) una coda

0,000

t crit. una coda

1,860

P(T<=t) due code

0,000

t crit. due code

2,306

 

 

 

 

NOTIAMO CHE CIASCUN GRUPPO HA ANCORA LA STESSA DEVIAZIONE STANDARD.

CON EXCEL SONO STATE CREATE 10 COLONNE CON 10 NUMERI CASUALI IN CIASCUNA COLONNA.

I NUMERI HANNO UNA DISTRIBUZIONE NORMALE CON UNA MEDIA DI CIRCA 5 E UNA DEVIAZIONE STANDARD DI CIRCA 1. SOTTO CIASCUNA COLONNA E' INDICATA LA MEDIA.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

4,6998

3,722

5,244

6,276

6,198

6,733

2,8164

4,7658

6,0950

3,913

4,3098

3,309

3,153

4,022

4,226

2,882

4,4321

4,5960

5,1349

4,634

4,6730

4,629

6,342

4,914

4,813

4,486

6,9722

5,8657

7,3757

4,345

6,6615

3,387

5,538

5,902

6,918

4,915

4,4762

5,6751

4,6187

5,757

3,5558

4,152

3,478

4,637

4,967

5,028

4,6773

7,1945

3,2575

4,263

2,4224

6,447

3,720

4,346

5,757

5,466

5,8746

5,5957

3,6282

3,884

5,6940

5,322

4,060

4,759

5,131

5,557

5,1387

4,0890

6,8848

5,487

5,0722

5,829

5,862

4,363

4,076

6,111

3,7988

3,4411

5,7113

5,638

7,2057

6,444

6,304

5,113

5,002

5,454

4,9745

3,9453

3,2252

5,828

5,4442

5,618

5,213

3,973

6,238

4,689

4,1601

4,1789

4,5710

4,547

4,9738

4,886

4,892

4,831

5,333

5,132

4,7321

4,9347

5,0502

4,830

LA MEDIA DELLE DEVIAZIONI STANDARD DELLE 10 COLONNE E' 1.1024 E LA MEDIA DEGLI ERRORI STANDARD DELLE 10 COLONNE E' 0.349.

 

MEDIE DELLE COLONNE:

Variab

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Media

4,974

4,886

4,891

4,831

5,333

5,132

4,732

4,935

5,050

4,830

Err. St.

0,444

0,383

0,377

0,241

0,291

0,327

0,359

0,359

0,463

0,244

Dev.St.

1,403

1,210

1,191

0,761

0,920

1,036

1,134

1,135

1,464

0,771

Var.Ca

1,967

1,464

1,419

0,579

0,847

1,072

1,286

1,289

2,144

0,595

Dim.Ca

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

 

 

LA DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE DELLE 10 COLONNE E' 0.356:  ~ LA STESSA DELLA MEDIA DEGLI ERRORI STANDARD DELLE 10 COLONNE

( 0.349 ).

L'ERRORE STANDARD CALCOLATO DAI DATI (0.356 ) E LA DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE DELLE COLONNE CALCOLATA DALLE MEDIE STESSE (0.349) DETERMINA LA STESSA COSA - L'ERRORE STANDARD PARAMETRICO.

NON E' UNA SORPRESA, QUINDI,  I 10 ERRORI STANDARD CALCOLATI DAI VALORI IN CIASCUNA COLONNA (MEDIA = 0.356)  E LA DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE ( 0.349 ) SONO DELLO STESSO ORDINE DI GRANDEZZA.

 

SUPPONIAMO CI SIANO STATE DATE SOLO LE 10 MEDIE E CHE CI SIA STATO DETTO CHE CIASCUNA DI ESSE E' STATA CALCOLATA DA UN CAMPIONE DI 10 VALORI - E' POSSIBILE STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD DEI VALORI ANCHE SE NON LI CONOSCIAMO?

4,9738

4,886

4,892

4,831

5,333

5,132

4,7321

4,9347

5,0502

4,83

SAPPIAMO CHE L'ERRORE STANDARD E' UGUALE ALLA DEVIAZIONE STANDARD DIVISO LA RADICE QUADRATA DELLA DIMENSIONE DEL CAMPIONE.

QUINDI LA DEVIAZIONE STANDARD DEVE ESSERE UGUALE ALL'ERRORE STANDARD MOLTIPLICATO PER LA RADICE QUADRATA DELLA DIMENSIONE DEL CAMPIONE.

LA NOSTRA STIMA DELL'ERRORE STANDARD DALLE 10 MEDIE E' 0.349.

LA GRANDEZZA DEL CAMPIONE ( n ) E' 10. 

LA RADICE QUADRATA DI 10 = 3.16.

QUINDI LA STIMA DELLA DEVIAZIONE STANDARD DEI VALORI E' 3.16 × 0.349 = 1.103.

TUUTO QUESTO E' OVVIAMENTE NELLO STESSO INSIEME DELLE DEVIAZIONI STANDARD CALCOLATE DIRETTAMENTE DAI VALORI (CON MEDIA = 1.1024)

Variab

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Media

4,974

4,886

4,891

4,831

5,333

5,132

4,732

4,935

5,050

4,830

Err. St.

0,444

0,383

0,377

0,241

0,291

0,327

0,359

0,359

0,463

0,244

Dev.St.

1,403

1,210

1,191

0,761

0,920

1,036

1,134

1,135

1,464

0,771

Var.Ca

1,967

1,464

1,419

0,579

0,847

1,072

1,286

1,289

2,144

0,595

Dim.Ca

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

SE SI HANNO CAMPIONI DI VALORI DELLA STESSA POPOLAZIONE, CI SONO DUE METODI INDIPENDENTI PER CALCOLARE LA DEVIAZIONE STANDARD PARAMETRICA:

1.  LA SI PUO' STIMARE DIRETTAMENTE DAI VALORI IN CIASCUN CAMPIONE.

  1. LA SI PUO' STIMARE DALL'ERRORE STANDARD DELLE MEDIE DEI CAMPIONI SENZA NEPPURE CONOSCERE GLI SPECIFICI VALORI USATI PER CALCOLARE LE MEDIE.

 

 

 

ENTRAMBI I METODI DOVREBBERO STIMARE LO STESSO PARAMETRO SE I CAMPIONI PROVENGONO VERAMENTE DALLA STESSA POPOLAZIONE.  NON DOVREBBE ESSERCI NESSUNA DIFFERENZA "SIGNIFICATIVA" TRA LE DUE STIME.

PERCHE' I DUE METODI SONO INDIPENDENTI?

POTREBBERO ESSERCI STATI MOLTI ALTRI NUMERI NELLE STESSE COLONNE CHE DANNO LE STESSE MEDIE:PER ESEMPIO, SOTTRAIAMO 1 DAI PRIMI 5 NUMERI DELLA PRIMA COLONNA E AGGIUNGIAMO 1 AGLI ULTIMI 5 NUMERI NELLA PRIMA COLONNA –AVREMO LA STESSA MEDIA, CON VALORI DIVERSI. 

QUINDI DICIAMO CHE UN INSIEME DI MEDIE NON E' LEGATO AD UNO SPECIFICO INSIEME DI VALORI.

ORA AGGIUNGIAMO DA 1 A 9 AI VALORI DELLA TABELLA DI DATI NELLE COLONNE DA B A J.

LA MEDIA DI CIASCUNA COLONNA (TRANNE A) E’ AUMENTATA DA 1 A 9.

LE MEDIE SONO CAMBIATE MA LE DEVIAZIONI STANDARD SONO RIMASTE LE STESSE.

 

 

 

 

A

B+1

C+2

D+3

E+4

F+5

G+6

H+7

I+8

J+9

4,6998

4,722

7,244

9,276

10,198

11,733

8,8164

11,7658

14,095

12,913

4,3098

4,309

5,153

7,022

8,226

7,882

10,432

11,596

13,1349

13,634

4,673

5,629

8,342

7,914

8,813

9,486

12,972

12,8657

15,3757

13,345

6,6615

4,387

7,538

8,902

10,918

9,915

10,476

12,6751

12,6187

14,757

3,5558

5,152

5,478

7,637

8,967

10,028

10,677

14,1945

11,2575

13,263

2,4224

7,447

5,72

7,346

9,757

10,466

11,874

12,5957

11,6282

12,884

5,694

6,322

6,06

7,759

9,131

10,557

11,138

11,089

14,8848

14,487

5,0722

6,829

7,862

7,363

8,076

11,111

9,7988

10,4411

13,7113

14,638

7,2057

7,444

8,304

8,113

9,002

10,454

10,974

10,9453

11,2252

14,828

5,4442

6,618

7,213

5,973

10,238

9,689

10,160

11,1789

12,571

13,547

LA DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE E' AUMENTATA MOLTO ( DA 0.349 A 3.03 ) - QUESTO NON CI SORPRENDE VISTO CHE ABBIAMO AGGIUNTO UN NUMERO DA 1 A 9 A CIASCUNA MEDIA E QUINDI ABBIAMO AUMENTATO LA VARIABILITA' DELLE MEDIE.

SUPPONIAMO DI NUOVO CHE CI VENGANO DATE SOLO LE 10 NUOVE MEDIE E CI VENGA DETTO CHE CIASCUNA DI ESSE E' STATA CALCOLATA DA UN CAMPIONE DI 10 VALORI - E' POSSIBILE STIMARE LA DEVIAZIONE STANDARD DEI VALORI ANCHE SE NON LI ABBIAMO?

4,974

5,886

6,891

7,730

9,333

10,13

10,732

11,935

13,050

13,83

 

 

 

PRECEDENTEMENTE LA NOSTRA STIMA DELLA DEVIAZIONE STANDARD DEI VALORI ERA

3.16 × 0.333 = 1.053.

ORA E'

3.16 × 3.03 = 9.57!

LA NOSTRA STIMA DELLA DEVIAZIONE STANDARD PARAMETRICA PROVENIENTE DAI VALORI STESSI (MEDIA= 1.1024) E DALL'ERRORE STANDARD DELLE MEDIE (9.57) SI TROVANO AGLI ANTIPODI.

PERCHE'?

LE MEDIE NON PROVENGONO DALLA STESSA POPOLAZIONE CON UNA SOLA MEDIA PARAMETRICA - ESSE VENGONO DA 10 POPOLAZIONI DIVERSE CON 10 MEDIE PARAMETRICHE DIVERSE :

ABBIAMO MANIPOLATO NOI I DATI IN QUESTO MODO .

VERIFICHEREMO QUINDI UNA DIFFERENZA "SIGNIFICATIVA" TRA LE DUE STIME DELLA DEVIAZIONE STANDARD PARAMETRICA.

 

 

 

IL CONFRONTO DI ENTRAMBE LE STIME DELLA DEVIAZIONE STANDARD O VARIANZA E’ ELEMENTO FONDAMENTALE DELLA PROCEDURA STATISTICA NOTA COME

"ANOVA" O ANALISI DELLA VARIANZA.

SE ENTRAMBE LE STIME DELLA VARIANZA SONO "VICINE",  QUESTO AVALLA L'IPOTESI CHE LE MEDIE PROVENGONO DALLA STESSA POPOLAZIONE - SE SONO "SIGNIFICATIVAMENTE" DIVERSE,  QUESTO AVALLA L'IPOTESI CHE LE MEDIE PROVENGONO DA POPOLAZIONI DIVERSE.

SE VOGLIAMO USARE LE STIME DALLA VARIANZA PER TESTARE LE IPOTESI SULLE MEDIE, ABBIAMO BISOGNO DELLA DISTRIBUZIONE F DOVUTA A FISHER E SNEDECOR.

FACCIAMO UN ESPERIMENTO PER DEFINIRE LA DISTRIBUZIONE F.

1.  PRENDIAMO DUE CAMPIONI DALLA STESSA POPOLAZIONE ( A E B ).  I CAMPIONI NON DEVONO NECESSARIAMENTE ESSERE DELLA STESSA DIMENSIONE.  CALCOLIAMO LA VARIANZA DI CIASCUN CAMPIONE.

 

 

  1. CALCOLIAMO IL RAPPORTO F TRA LA VARIANZA DEL CAMPIONE A E QUELLA DEL CAMPIONE B

3.  PRENDIAMO ALTRI DUE CAMPIONI -  A E B DELLA STESSA DIMENSIONE DEI PRECEDENTI - E FACCIAMO LA STESSA COSA.

4.  FACCIAMO QUESTO PER MOLTISSIME VOLTE.  OGNI VOLTA DEVE ESSERE MANTENUTA LA DIMENSIONE ORIGINARIA DEI CAMPIONI A E B.

5.  FACCIAMO UN ISTOGRAMMA DEI VALORI DI F E DELLE LORO FREQUENZE.

SUPPONIAMO CHE A AVEVA DIMENSIONE 10 E B AVEVA DIMENSIONE 15.  ECCO COME SARA' L’ISTOGRAMMA:

LA DISTRIBUZIONE F E' UNA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' ALLO STESSO MODO DELLA DISTRIBUZIONE t O NORMALE.

L'AREA TOTALE SOTTO LA CURVA E' 1.

LA ZONA SOTTO LA CURVA DA 2¸ 3, PER ESEMPIO,  RAPPRESENTA LA PROBABILITA' DI

AVERE UN VALORE F IN QUESTO RANGE.

CIASCUNA COMBINAZIONE DIVERSA DI DIMENSIONI DI CAMPIONI HA UNA CURVA F DIVERSA - COME LA DISTRIBUZIONE t LA DISTRIBUZIONE F NON PUO' ESSERE STANDARDIZZATA.

SUPPONIAMO DI VOLER ESAMINARE DUE TECNICI.  DICIAMO AD OGNUNO DI FARE 9 SAGGI RIPETUTI:  C'E' UNA DIFFERENZA SIGNIFICATIVA TRA I RISULTATI DEI DUE IN TERMINI DI VARIANZA?

CONCENTRAZIONE FOSFATO

mg/ml

MISURATA DAL TECNICO A

CONCENTRAZIONE FOSFATO

mg/ml

MISURATA DAL TECNICO B

1.25

1.24

1.20

1.27

1.22

1.25

1.30

1.22

1.15

1.25

1.40

1.26

1.30

1.28

1.21

1.21

1.25

1.25

 

VARIAB.

TEC.A

TEC. B

Media

1,25333

1,24778

Errore standard

0,02427

0,00741

Deviazione standard

0,07280

0,02224

Varianza campionaria

0,00530

0,00049

Conteggio

9

9

VARIANZA (TECN. A) = (0.0728)2 = 0.0053

VARIANZA (TECN. B) = (0.0222)2 = 0.00049

F = 0.0053/0.00049 = 10.81

LE DUE DIMENSIONI DEI CAMPIONI SONO 9 CIASCUNA COSI' I GRADI DI LIBERTA' PER LA DISTRIBUZIONE F SONO 8 E 8 (UNO IN MENO DELLA DIMENSIONE DI CIASCUN CAMPIONE).

PER DETERMINARE LA PROBABILITA' DI UN VALORE F PER UNA CERTA DIMENSIONE DEI CAMPIONI USEREMO EXCEL

Fcrit =3,4381 CALCOLATO AL 5% DI LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA’ : =INV.F(0,05;8;8)

LA PROBABILITA' DI AVERE UN VALORE F DI 10.81 O MENO E' INVECE DELLO 0.15%<< 5%.

 

 

POSSIAMO CONCLUDERE CHE C'E' UNA DIFFERENZA SIGNIFICATIVA NELLA

VARIANZA TRA I DUE CAMPIONI.

TENETE PRESENTE CHE - QUESTO NON SIGNIFICA CHE LE MEDIE SONO DIVERSE.

AD ESEMPIO ENTRAMBI I SET DI DATI NELLA TABELLA CHE ORA VEDREMO HANNO LA STESSA MEDIA DI 50 - MA LA VARIANZA E' PIUTTOSTO DIVERSA!

A

B

1

49

99

51

 

IPOTESI PER IL TEST F

1.  LE POPOLAZIONI DI INTERESSE SONO DISTRIBUITE NORMALMENTE.

2.  I CAMPIONI ESTRATTI DA CIASCUNA POPOLAZIONE SONO CASUALI E INDIPENDENTI.

 

 

 

 

 

 

ORA VEDREMO COME USARE LA VARIANZA PER DETERMINARE SE LE MEDIE SONO SIGNIFICATIVAMENTE DIVERSE.

ABBIAMO TRE CAMPIONI DI PESO DI COLIBRI' (g) E CI CHIEDIAMO SE I COLIBRI' PROVENGONO DALLA STESSA POPOLAZIONE

A

B

C

26.0

29.0

30.0

28.5

28.8

26.2

27.3

27.6

29.2

25.9

28.1

27.1

28.2

27.0

29.8

 

PRIMA DI TUTTO TRASFORMIAMO LE DEVIAZIONI STANDARD DI CIASCUN CAMPIONE IN VARIANZE ELEVANDOLE AL QUADRATO.

CAMPIONE

DEVIAZIONE STANDARD

VARIANZA

A

1.207

1.46

B

0.831

0.69

C

1.675

2.81

 

 

LA VARIANZA MEDIA ENTRO I CAMPIONI E'

(1.46 + 0.69 + 2.81)/3 = 1.65

MEDIE DEI CAMPIONI

27.180

28.100

28.480

USIAMO ANCHE LA VARIANZA DELLE MEDIE CAMPIONE COME UNA STIMA DELLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE. CALCOLEREMO QUESTA VARIANZA ELEVANDO AL QUADRATO LA DEVIAZIONE STANDARD DELLE MEDIE.

ORA ABBIAMO DUE STIME INDIPENDENTI DELLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE:

1.65 DAI DATI

2.23 DALLE MEDIE

F VIENE CALCOLATA DAL RAPPORTO DI :

(VARIANZA TRA CAMPIONI )/(VARIANZA ENTRO I CAMPIONI)

LA VERA DISTRIBUZIONE F E' DETERMINATA DAI GRADI DI LIBERTA'.

IL NUMERATORE COMPRENDE 3 MEDIE COSI' HA

3-1 = 2 GRADI DI LIBERTA'

IL DENOMINATORE COMPRENDE 3 CAMPIONI DI 5 VALORI CIASCUNO COSI' HA 3× (5-1) = 12 GRADI DI LIBERTA'.

QUAL'E' L'IMPORTANZA DI QUESTO PARTICOLARE VALORE F?

SI CALCOLA USANDO EXCEL CON LA FUNZIONE VISTA: Fcrit =3,8853 =INV.F(0,05;2;12)

UN VALORE F DI 1.35 O PIU' GRANDE HA UNA PROBABILITA' (DI VERIFICARSI PER CASO) DEL 29.5% SE I TRE CAMPIONI PROVENGONO DALLA STESSA POPOLAZIONE QUINDI ACCETTIAMO L'IPOTESI NULLA CHE NON C'E' NESSUNA DIFFERENZA TRA LE MEDIE. LA VERIFICA IN EXCEL SI FA CON LA FUNZIONE: =DISTRIB.F(1,35;2;12) CHE DA’ LA PROBABILITA’ DI AVERE IL VALORE FOSSERV.=1,35

COSA ACCADREBBE SE AUMENTASSIMO DI 2 OGNI VALORE NELL'ULTIMA COLONNA?

 

 

 

A

B

C

26,0

29,0

30,0

28,5

28,8

26,2

27,3

27,6

29,2

25,9

28,1

27,1

28,2

27,0

29,8

 

2 AGGIUNTO ALL'ULTIMA COLONNA:

A

B

C

26,0

29,0

32,0

28,5

28,8

28,2

27,3

27,6

31,2

25,9

28,1

30,1

28,2

27,0

31,8

 

 

 

 

 

 

 

 

ECCO LE DUE ANALISI A CONFRONTO:

 

 

 

 

 

 

PRIMA DI AGGIUNGERE 2 ALL'ULTIMA COLONNA:

Analisi varianza: ad un fattore Gruppo 1

RIEPILOGO

Gru.

Dim

Somma

Media

Varianza

A

5

135,9

27,18

1,457

B

5

140,5

28,1

0,69

C

5

142,3

28,46

2,918

ANALISI VARIANZA

Orig variaz.

SQ

gdl

MQ

F

Valore signi.

F crit

Tra gr.

4,357

2

2,1787

1,29042

0,3107

3,8852

In gr.

20,26

12

1,688

Totale

24,617

14

 

 

 

 

 

 

 

 

DOPO AVER AGGIUNTO 2 ALL'ULTIMA COLONNA:

Analisi varianza: ad un fattore

RIEPILOGO

Gr.

Dimen.

Somma

Media

Varianza

A

5

135,9

27,18

1,457

B

5

140,5

28,1

0,69

C

5

153,3

30,66

2,438

ANALISI VARIANZA

Orig. Variaz.

SQ

gdl

MQ

F

Val.

signif.

F crit

Tra gruppi

32,517

2

16,259

10,6382

0,001

3,883

In gruppi

18,34

12

1,528

Totale

50,857

14

 

 

 

 

 

LE DEVIAZIONI STANDARD DEI GRUPPI INDIVIDUALI NON SONO CAMBIATE, MA IL VALORE DI F E' AUMENTATO COSI' CHE CI TROVIAMO SOTTO IL 5% LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA' ( P = 0.05 AL 5% LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA').

ORA DOBBIAMO RIGETTARE L'IPOTESI NULLA CHE ABBIAMO ACCETTATO PRIMA.

ABBIAMO VISTO COME SI CALCOLA F.

EXCEL DETERMINA LA PROBABILITA' DI AVERE UN VALORE DI F COSI' GRANDE O PIU' GRANDE USANDO LA DISTRIBUZIONE F APPROPRIATA AI

GRADI DI LIBERTA'.  COSI' POSSIAMO EVITARE DI CONSULTARE LE TABELLE F.

IPOTESI PER L‘ANOVA TEST AD UN FATTORE

1. LE POPOLAZIONI DI INTERESSE SONO DISTRIBUITE NORMALMENTE.

2.  LA VARIANZA DI CIASCUNA POPOLAZIONE E' UGUALE.

3. I CAMPIONI SELEZIONATI DA CIASCUNA POOLAZIONE SONO CASUALI ED INDIPENDENTI.

QUESTO TEST E’ ROBUSTO E LE IPOTESI POSSONO ESSERE MENO STRINGENTI PER GRANDI CAMPIONI

 

UN VANTAGGIO DELLA ANALISI DELLA VARIANZA(ANOVA) AD UN FATTORE E' CHE SI POSSONO COMPARARE PIU' DI DUE CAMPIONI PER VOLTA CIO’ CHE NON E’ POSSIBILE FARE CON IL TEST t. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ESEGUITE UN’ANALISI DELLA VARIANZA AD UN FATTORE PER QUESTI DATI

A

B

C

1

4

7

2

5

8

3

6

9

ESEGUENDO I CONTI CON UNA CALCOLATRICE TASCABILE E POI CONFRONTATE I VOSTRI RISULTATI CON QUELLI OTTENIBILI CON EXCEL.

2. I DATI PER L'ATTIVITA' DI FOSFATASI ACIDA CON DIVERSI VALORI DI pH SONO RIPORTATI NELLA TABELLA.

VERIFICATE, CON EXCEL, L'IPOTESI NULLA CHE L'ATTIVITA' MEDIA DELL'ENZIMA E' LA STESSA A TUTTI E QUATTRO I VALORI DI pH.

 

pH 3

pH 5

pH 7

pH 8

11,1

12,0

11,2

5,6

10,0

15,3

9,1

7,2

13,3

15,1

9,6

6,4

10,5

15,0

10,0

5,9

11,3

13,2

9,8

6,3