DISTRIBUZIONE
BINOMIALE
E
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA
INTRODUCIAMO LA
STATISTICA
INFERENZIALE
DISCUTENDO DUE PROBLEMI:
PROBLEMA 1
IN BASE A QUANTO SAPPIAMO SULLA
BIOLOGIA DELL’ORGANISMO X, SI FA L’IPOTESI CHE CI SIA UGUALE PROBABILITA’ CHE
UN UOVO FECONDATO DIA ORIGINE A UN MASCHIO O UNA FEMMINA.
PRENDIAMO UN
CAMPIONE
CASUALE SEMPLICE
DI 100 UOVA FECONDATE DA UNA
POPOLAZIONE DI MILIONI DI UOVA FECONDATE IN UNA GROSSA FATTORIA. PER CAMPIONE
CASUALE SEMPLICE SI DEVE INTENDERE CHE :
|
SE n ELEMENTI DI UNA POPOLAZIONE SONO SCELTI IN MODO CHE OGNI
INSIEME DI n ELEMENTI HA UGUALE PROBABILITA’ DI ESSERE SCELTO |
|
GLI n ELEMENTI COSTITUISCONO UN CAMPIONE CASUALE SEMPLICE. |
NEL NOSTRO CASO GLI n
ELEMENTI SONO COSTITUITI DALLE 100 UOVA FECONDATE LE CONCLUSIONI CHE TRARREMO
PRESUPPONGONO CHE IL CAMPIONAMENTO E’ STATO ESEGUITO IN MODO CASUALE COSI’ COME
SI E’ SPECIFICATO.
IL CAMPIONAMENTO CASUALE E’
IMPORTANTE PERCHE’ LE CONCLUSIONI CHE SE NE POSSONO TRARRE SONO RELATIVE ALLA INTERA
POPOLAZIONE E NON, PER ESEMPIO, GIUSTO AL SOTTOINSIEME DELLA POPOLAZIONE
CON UOVA FECONDATE CHE GALLEGGIANO, SE
IMMERSE IN ACQUA, A CAUSA DELLA LORO DIFFERENTE DENSITA’. INOLTRE E’ IMPORTANTE
NOTARE CHE POTREBBE ESSERCI UNA RELAZIONE TRA LA DENSITA’ DELLE UOVA FECONDATE
E LA LORO PROBABILITA’ DI ORIGINARE UN SESSO O L’ALTRO.
NELLA TABELLA RIPORTIAMO
ALCUNI DEI 101 POSSIBILI RISULTATI (DA 0 A 100 UOVA CHE SI SVILUPPANO IN
MASCHI) DAL CAMPIONAMENTO DI 100 UOVA.
|
CAMPIONE (100 UOVA PER
CAMPIONE) |
UOVA CHE ORIGINANO MASCHI |
UOVA CHE ORIGINANO FEMMINE |
|
1 |
50 |
50
|
|
2 |
45 |
55 |
|
3 |
40
|
60
|
|
4 |
35 |
65
|
|
5 |
30
|
70
|
|
6 |
25
|
75
|
|
6 |
20
|
80
|
|
8 |
15
|
85
|
|
9 |
10
|
90 |
IN QUESTA TABELLA ENTRO QUALI LIMITI ACCETTIAMO L’IPOTESI
CHE UN UOVO FECONDATO HA UGUALI PROBABILITA’ DI SILUPPARSI COME MASCHIO O COME
FEMMINA?
PROBLEMA 2
ESTRAIAMO UN CAMPIONE CASUALE
SEMPLICE DA UN CAMPO DI GIRASOLI CON UNA POPOLAZIONE DI MILIONI DI SEMI.
DETERMINIAMO LA MEDIA E LA
DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIE.
VOGLIAMO USARE QUESTI
STATISTICS PER INFERIRE SUI PARAMETRI DELLA POPOLAZIONE.
UNA INFERENZA STATISTICA COSTITUISCE UNA GENERALIZZAZIONE CHE APPLICHIAMO
ALLA POPOLAZIONE FONDATA SULLE INFORMAZIONI DESUNTE DA UN CAMPIONE.
·
QUANTO AFFIDABILE(ACCURATA) PUO’ ESSERE LA NOSTRA INFERENZA?
·
QUANTO E’ VICINA LA NOSTRA
INFERENZA AL VALORE VERO DEL PARAMETRO?
·
POSSIAMO RISPONDERE IN MODO QUANTITATIVO A QUESTA DOMANDA SULLA
AFFIDABILITA?
PER POTER TRATTARE I DUE
PROBLEMI IMPOSTATI DOBBIAMO STUDIARE LA PROBABILITA’ E LE DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITA’ .
PROBABILITA’
|
LA PROBABILITA’ DI UN EVENTO E’ DATA DAL RAPPORTO TRA
IL NUMERO DI CASI FAVOREVOLI ALL’EVENTO ED IL NUMERO DI CASI POSSIBILI PURCHE’ TUTTI I CASI SIANO EGUALMENTE
POSSIBILI |
ESEMPIO:LANCIO A TESTA T O CROCE C
DI UNA MONETA. GLI EVENTI O CASI POSSIBILI SONO DUE T O C E SONO
MUTUAMENTE
ESCLUSIVI
INFATTI IN UN LANCIO L’USCITA DI T
PRECLUDE LA USCITA DI C E VICEVERSA. INOLTRE I CASI T O C SONO EGUALMENTE
POSSIBILI (A MENO CHE LA MONETA NON SIA TRUCCATA) ED E’ ESCLUSO IL CASO IN CUI
LA MONETA POSSA RESTARE IN EQUILIBRIO DI TAGLIO.
QUINDI CASI POSSIBILI = 2
E FAVOREVOLI
ALL’USCITA DI T = 1: pT = ½
ALL’USCITA DI C = 1: pC = ½
ALL’USCITA DI T O C p = pT + pC=1
CONSIDERIAMO ORA IL CASO DEL LANCIO DI UNA MONETA DUE VOLTE DI SEGUITO : LE USCITE POSSIBILI ED UGUALMENTE PROBABILI SONO 4 E SONO RIPORTATE IN TABELLA
|
LANCIO 1 |
LANCIO 2 |
T |
C |
|
T |
T |
2 |
0 |
|
T |
C |
1 |
1 |
|
C |
T |
1 |
1 |
|
C |
C |
0 |
2 |
ANCHE IN QUESTO ESEMPIO DEDUCIAMO, IN ACCORDO ALLA DEFINIZIONE DI PROBABILITA’, CHE:
1. LA PROBABILITA’ DI UN EVENTO E’ DATA DAL NUMERO DI USCITE A CUI SIAMO INTERESSATI DIVISO IL NUMERO DI TUTTE LE POSSIBILI USCITE: COSI’ LA PROBABILITA’ CHE ESCA TESTA IN 4 LANCI E’ 2/4 POICHE’ CI SONO 4 POSSIBILI USCITE E 2 DI ESSE DANNO TESTA.
2. L’USCITA DI 2 TESTE E DI UNA TESTA IN DUE LANCI SUCCESSIVI SONO DUE EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI PERCHE’NON SI POSSONO OTTENERE SIMULTANEAMENTE. LA PROBABILITA’ DI OTTENERE O DUE TESTE O UNA TESTA IN DUE LANCI E’ LA SOMMA DELLE PROBABILITA’ PER L’USCITA DI DUE TESTE (1/4) E DI UNA TESTA (2/4): p=1/4+2/4=3/4
POTETE VERIFICARE LA RELAZIONE ANALIZZANDO I RISULTATI DELLA TABELLA.
3. I LANCI SUCCESSIVI DI UNA MONETA SONO EVENTI INDIPENDENTI:CIO’ CHE ACCADE AL PRIMO LANCIO NON HA NESSUNA INFLUENZA SUL SECONDO LANCIO O SUI SUCCESSIVI. LA PROBABILITA’ DI OTTENERE 1 TESTA E UNA TESTA IN DUE LANCI SUCCESSIVI E’ DATA DAL PRODOTTO DELLE RISPETTIVE PROBABILITA’ DI USCITA: 1/2Î1/2=1/4
DA QESTI ESEMPI POSSIAMO DEDURRE LE LEGGI DELLA PROBABILITA’ CHE CI SERVONO RIPORTATE NELLA TABELLA
|
1. LA
PROBABILITA’ TOTALE DI DUE O PIU’ EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI E’ LA SOMMA
DELLE PROBABILITA’ DEI SINGOLI EVENTI. |
|
2. LA
PROBABILITA’ DI DUE O PIU’ EVENTI INDIPENDENTI E’ DATA DAL PRODOTTO DELLE
RISPETTIVE PROBABILITA’ |
PARTIAMO DA DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ DISCRETE:
DISTRIBUZIONE
BINOMIALE
LA STATISTICA SI FONDA SULL’USO DI DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITA’
ESISTONO DIVERSE DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITA’, DETERMINATE DAL TIPO DI PROBLEMA CHE SI DEVE RISOLVERE.
CONSIDERIAMO PER PRIMA UNA DISTRIBUZIONE CHE E’DI NOTEVOLE UTILITA’ PER I
PROBLEMI DI BIOLOGIA E HA ANHE LA PIACEVOLE CARATTERISTICA DI ESSERE
RELATIVAMENTE SEMPLICE DA CAPIRE :LA DISTRIBUZIONE
BINOMIALE
ANALIZZIAMO
NUOVAMENTE LA TABELLA DI PREVISIONE DEGLI ESITI DEI LANCI A TESTA E CROCE DI
UNA MONETA
|
LANCIO 1 |
LANCIO 2 |
T |
pT |
C |
pC |
|
T |
T |
2 |
0.25 |
0 |
0.75 |
|
T |
C |
1 |
0.25 |
1 |
0.75 |
|
C |
T |
1 |
0.25 |
1 |
0.75 |
|
C |
C |
0 |
0.25 |
2 |
0.75 |
L’ISTOGRAMMA CHE SI TRAE DAI DATI DI
TABELLA PER L’USCITA IN DUE LANCI CONSECUTIVI DI 0,1 O 2 TESTE RAPPRESENTA UNA
PARTICOLARE DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ BINOMIALE.
CERCHIAMO DI RIPORTARE CIO’ CHE CI SERVE PER CAPIRE LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE:
1. IL RISULTATO DEI LANCI E’ UNA VARIABILE CASUALE
UNA VARIABILE CASUALE
E’ IL RISULTATO DI UN ESPERIMENTO
(COME DUE O PIU’ LANCI
DI UNA MONETA)
CHE ASSUME VALORI
DIVERSI CON SPECIFICHE PROBABILITA’.
IN QUESTO CASO I VALORI DELLA VARIABILE CASUALE VANNO DA DA 0 A 2 TESTE E LE PROBABILITA’ SONO 0.25 PER 0 O 2 TESTE E 0.5 PER UNA TESTA.
2. NEL CASO ANALIZZATO LA VARIABILE CASUALE E’ UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA POICHE’ C’E’ UN NUMERO FINITO DI VALORI POSSIBILI DISTINTI – TRE NEL NOSTRO CASO (0, 1, E 2 TESTE).
LA CONCENTRAZIONE DI SUCCINATO DEIDROGENASI IN UNA FRAZIONE CELLULARE E’ INVECE UNA VARIABILE CASUALE CONTINUA POICHE’ POTREBBE ASSUMERE I VALORI 1.5 O 1.52 O 1.5224 OPPURE 1.52246754 ECC.
IL NUMERO DEI DECIMALI E’ DETERMINATO SOLO DALLA SENSIBILITA’ DELLO STRUMENTO DI MISURA.
3. L’ESPERIMENTO CHE ABBIAMO ESEGUITO E’ COSTITUITO DA DUE LANCI DI UNA MONETA.
L’ESPERIMENTO E’ CONSISTITO IN UN NUMERO n DI PROVE IDENTICHE (NEL NOSTRO CASO n = 2)
CI SONO SOLO DUE RISULTATI POSSIBILI PER CIASCUNA PROVA (TESTA O CROCE) ECCO PERCHE’ PARLIAMO DI DISRIBUZIONE BINOMIALE.
LA PROBABILITA’ DI UN USCITA (TESTA) RIMANE LA STESSA PER OGNI LANCIO E I LANCI SONO INDIPENDENTI NEL SENSO CHE IL RISULTATO DI UNA PROVA NON HA ALCUNA INFLUENZA SUL RISULTATO DELL’ALTRA.
LA PROBABILITÀ DEI RISULTATI NELLE SINGOLE PROVE NON E’ NECESSARIO CHE SIA LA STESSA: NEL CASO DI UNA MONETA BEN EQUILIBRATA LA PROBABILITA’ DELL’USCITA TESTA, IN OGNI SINGOLA PROVA E’ ½ MA POTREMMO AVERE UNA DISTRIBUZIONE BINOMIALE PER UNA MONETA TRUCCATA (SI DICE CON BIAS) CON 0.25 DI PROBABILITÀ DI AVERE TESTA PER LA SINGOLA PROVA E 0.75 DI AVERE CROCE.
LA SOMMA DELLE DUE PROBABILITÀ DEVE SEMPRE DARE 1 POICHÉ POSSONO ACCADERE SOLO DUE COSE (PRESUMENDO CHE LA MONETA NON RIMANGA IN EQUILIBRIO SU UN LATO).
COME È FATTA UNA DISTRIBUZIONE BINOMIALE PER LA NOSTRA MONETA TRUCCATA (BIASED) ?
|
LANCIO 1 |
pT |
LANCIO 2 |
pT |
T |
PB |
|
T |
0.25 |
T |
0.25 |
2 |
0.25 × 0.25 = 0.0625 |
|
T |
0.25 |
C |
0.75 |
1 |
0.25 × 0.75 = 0.1875 |
|
C |
0.75 |
T |
0.25 |
1 |
0.75 × 0.25 = 0.1875 |
|
C |
0.75 |
C |
0.75 |
0 |
0.75 × 0.75 = 0.5625 |
La somma
delle probabilità nell’ultima colonna è 1.
PB RAPPRESENTA LA PROBABILITA’ DI OTTENERE IN 4 LANCI 2 TESTE O 1 TESTA O 0 TESTE.
L’ISTOGRAMMA DI QUESTA DISTRIBUZIONE BINOMIALE E’ RIPORTATO NELLA FIGURA
ECCO LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE SU TRE LANCI DI UNA MONETA EQUA ED IL RISPETTIVO ISTOGRAMMA.
|
LANCIO 1 |
LANCIO 2 |
LANCIO 3 |
pT |
T |
|
T |
T |
T |
1/8 |
3 |
|
T |
T |
C |
1/8 |
2 |
|
T |
C |
T |
1/8 |
2 |
|
C |
T |
T |
1/8 |
2 |
|
T |
C |
C |
1/8 |
1 |
|
C |
T |
C |
1/8 |
1 |
|
C |
C |
T |
1/8 |
1 |
|
C |
C |
C |
1/8 |
0 |
VEDIAMO COME DETERMINIAMO LA PROBABILITÀ DI AVERE UNA VOLTA TESTA SU TRE LANCI:
1. LA PROBABILITÀ DI AVERE UNA VOLTA TESTA È (1/2)
2. LA PROBABILITÀ DI AVERE DUE VOLTE CROCE È (1/2) × (1/2)
3. LA PROBABILITÀ DI AVERE I SEGNI TESTA E CROCE CHE SI PRESENTANO IN UN CERTO ORDINE E CIOE’ DI UNA PARTICOLARE PERMUTAZIONE DI UNA VOLTA TESTA E DUE VOLTE CROCE (per es. TCC) è: (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8
4. MA CI SONO TRE PERMUTAZIONI CHE DARANNO UNA TESTA E DUE CROCI:
TCC - CTC – CCT
5. POICHÉ CIASCUNA DI QUESTE PERMUTAZIONI, MUTUAMENTE ESCLUSIVE, CI DAREBBE UNA TESTA SU TRE LANCI, LA PROBABILITÀ DI AVERE UNA TESTA SU TRE LANCI È: 3×(1/8) = 3/8
QUINDI LA PROBABILITÀ CHE SI VERIFICHI UN EVENTO IN UNA DISTRIBUZIONE BINOMIALE È:
(il numero delle permutazioni) x (la probabilità di avere una delle
permutazioni)
AD ESEMPIO, LA PROBABILITÀ DI AVERE 3 VOLTE TESTA E 7 VOLTE CROCE È DETERMINATA COME SEGUE:
(1/2)3 PROBABILITÀ DI AVERE 3 TESTE
(1/2)7 PROBABILITÀ DI AVERE 7 CROCI
(1/2)3 (1/2)7 PROBABILITÀ DI AVERE UNA PERMUTAZIONE DI 3 TESTE E SETTE CROCI.
CON QUESTO RAGIONAMENTO ABBIAMO RICAVATO LA PRIMA PARTE DELLA FORMULA CHE CI SERVE PER IL CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE:
(la probabilità di avere una delle permutazioni)
RICAVIAMO ORA
il numero delle permutazioni
MEDIANTE UN ESEMPIO:
SE ABBIAMO TRE LETTERE DIVERSE QUANTE PERMUTAZIONI POSSIAMO AVERE?
LA RISPOSTA È SEI.
ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA
INFATTI CI SONO TRE LETTERE TRA CUI SCEGLIERE PER LA PRIMA POSIZIONE.
Þ A – B – C 3
UNA VOLTA CHE UNA LETTERA È STATA SCELTA PER LA PRIMA POSIZIONE RIMANGONO DUE LETTERE PER LA POSIZIONE DUE.
AB – AC – BA – BC – CA – CB 3 × 2
UNA VOLTA SCELTE LA PRIME DUE POSIZIONI RIMANE UNA SOLA LETTERA PER LA TERZA POSIZIONE.
ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA 3
× 2 × 1
QUINDI IL NUMERO DELLE PERMUTAZIONI DI
TRE LETTERE DIVERSE È: 3 × 2 × 1 O 3!
X! = numero di permutazioni di X oggetti diversi
Che cosa
succede se alcune delle lettere sono uguali per es. AAB?
Se fosse
possibile fare una distinzione tra le due “A” il risultato sarebbe ancora 3!
A1A2B
– A2A1B – A1BA2 – A2BA1
– BA1A2 - BA2A1
Nel caso
in cui non è possibile distinguere le due “A” il risultato è 3!/2! O 3
AAB –
ABA – BAA
Che cosa
succede con 3 teste e 7 croci?
Se ogni
moneta fosse diversa (per es. proveniente da nazioni diverse)
il
risultato sarebbe 10! (3.629.000).
Ma se tutte
le teste e le croci RISULTANO TRA LORO uguali si HA:
RIASSUMENDO:
Qual è
la probabilità di avere 3 teste e 7 croci su dieci lanci di una moneta EQUA?
(Il
numero delle permutazioni) × (La probabilità di
avere una delle permutazioni)
Quale
sarebbe la probabilità di avere 3 teste e 7 croci se avessimo una moneta
TRUCCATA con una probabilità di avere testa = 0.31 e una probabilità di avere
croce = 0.69 NELLE SINGOLE PROVE?
Per
controllare questa formula ritorniamo ai tre lanci. confrontiamo questi valori
con quelli contenuti nella tabella
NOTIAMO CHE 0!=1 PER CONVENZIONE
3/8 = 0.375 E 1/8 = 0.125
|
LANCIO 1 |
LANCIO 2 |
LANCIO 3 |
pT |
T |
|
T |
T |
T |
1/8 |
3 |
|
T |
T |
C |
1/8 |
2 |
|
T |
C |
T |
1/8 |
2 |
|
C |
T |
T |
1/8 |
2 |
|
T |
C |
C |
1/8 |
1 |
|
C |
T |
C |
1/8 |
1 |
|
C |
C |
T |
1/8 |
1 |
|
C |
C |
C |
1/8 |
0 |
Se si
volesse determinare la distribuzione BINOMIALE di 100 lanci di una moneta si
potrebbe utilizzare La formula 100 volte per determinare le probabilità
di avere da 0 a 100 volte testa.
PER
ESEMPIO la probabilità di avere 83 teste e 17 croci ( o 17 teste e 83 croci) su
100 lanci di una moneta EQUA SARA’DATA DA:
. (0.5)83 .
(0.5)17 = 5.246 × 10-12
FACCIAMO VEDERE DI SEGUITO GLI ISTOGRAMMI PER
LE DISTRIBUZIONI BINOMIALI DI 10 LANCI E 100 LANCI DI UNA MONETA EQUA E DI 100
LANCI PER UNA MONETA TRUCCATA.
IN GENERALE SE INDICHIAMO CON n IL NUMERO DELLE PROVE, k IL NUMERO DEGLI ESITI FAVOREVOLI ALL’EVENTO O SUCCESSI ED n-k QUELLO DEGLI ESITI CONTRARI, ESSENDO p LA PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONSIDERATO IN CIASCUNA PROVA( E’ LA PROBABILITA’ ELEMENTARE DELL’EVENTO CONSIDERATO) E q=1-p LA PROBABILITA’ ELEMENTARE DELL’EVENTO CONTRARIO SI HA CHE
|
LA
PROBABILITA’ CHE IN UNA SERIE DI |
|
n PROVE SI ABBIANO k
SUCCESSI ESSENDO p LA PROBABILITA’ DI SUCCESSO
IN UNA PROVA E q LA PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO,
ESSENDO p COSTANTE PER CIASCUNA PROVA ED INDIPENDENTE DALLE ALTRE PROVE E’
DATA DA: |
APPROFONDIMENTO
CON UN ESEMPIO
ESEMPIO
IN UNA POPOLAZIONE DI DIMENSIONE INFINITA
DI INSETTI C’E’ LA PROBABILITA’ p = 0.4
INDIPENDENTE
DALLE ALTRE PROVE PER UN SINGOLO
INSETTO DI ESSERE INFETTO DA UN VIRUS X
E LA PROBABILITA’ q = 0.6
DI NON ESSERE INFETTO.
OVVIAMENTE q=(1-p)
QUALE DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE k DI
INSETTI INFETTI CI DOBBIAMO ASPETTARE SE ESTRAIAMO CAMPIONI DI INSETTI DI
DIMENSIONE n DALLA POPOLAZIONE IN STUDIO?
INDICHIAMO CON I GLI INSETTI
INFETTI E CON S GLI INSETTI SANI E SUPPONIAMO DI ESTRARRE UN CAMPIONE
DALLA POPOLAZIONE DI ESATTAMENTE 2 INSETTI COSA POSSIAMO OTTENERE ?
[II IS SS]
|
[p2 2pq
q2] = [p + q] 2 = 1 |
LE COMBINAZIONI POSSIBILI DI I ED S SONO II IS SI SS: LA PROBABILITA’ DI OTTENERE I ED S E’ IL PRODOTTO
DELLE RISPETTIVE PROBABILITA’ p E q.
SE SONO ESTRATTI n INSETTI QUALE DISTRIBUZIONE OTTENGO PER k :
LO SVILUPPO DELLA POTENZA DEL BINOMIO
[p
+ q]k
CI DA’ LA PROBABILITA’ P(k,n,p) DI
OTTENERE k SUCCESSI IN n PROVE
OVVERO k INSETTI INFETTI ED n-k SANI
LA PROBABILITA’
CUMULATIVA DI OTTENERE AL MASSIMO k INSETTI INFETTI E’ DATA DALLA SOMMA DELLE
PROBABILITA’ PER 0,1,2,….k INSETTI INFETTI :
RICORDIAMO CHE NEL
CASO DISCRETO LA FUNZIONE DENSITA’ DI PROBABILITA’ E’ SOSTITUITA DIRETTAMENTE
DALLA PROBABILITA’ DELL’EVENTO.
INOLTRE
IL SEGNO ! INDICA IL FATTORIALE DI UN NUMERO.
AD ESEMPIO
5!
= 5 . 4 . 3
. 2 . 1
PER
CONVENZIONE 0! = 1
LA
ESPRESSIONE
CI DA’ IL NUMERO DI COMBINAZIONI CON CUI SI
POSSONO SCEGLIERE n OGGETTI PRESI k PER VOLTA E SERVE PER VALUTARE I CASI
FAVOREVOLI ALL’EVENTO INSETTO INFETTO.
FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’
BINOMIALE E DELLA DISTRIBUZIONE CUMULATIVA ED INDICI DI TENDENZA CENTRALE E
DISPERSIONE
MEDIA: 
VARIANZA:
DEVIAZIONE
STANDARD
DENSITA’ DI PROBABILITA’
PROBABILITA’ CUMULATIVA
BINOMIALE BINOMIALE
NUMERO DI PROVE 5
CURVA BLU p=0.1 CURVA BLU
CURVA ROSSA p=0.5 CURVA
ROSSA
CURVA CIANO p=0.8 CURVA
CIANO
DA
UNA SERIE DI CAMPIONI DI DIMENSIONE 5 ESTRATTI DALLA POPOLAZIONE DI INSETTI IN
STUDIO CON PROBABILITA’ DI INFEZIONE PARI AL 40%
SI
HANNO I DATI RIPORTATI IN TABELLA
