\newproblem{
\FPsetpar{M}{40}{65}
\FPsetpar{lu}{20}{40}
\FPsetpar{att}{4}{8}
\FPval{attr}[2]{\att/10}

\begin{problem}[10]
Un blocco di massa $M=\M$ $g$ è posto su un piano orizzontale e fissato ad un sostegno attraverso una fune inestensibile e di massa trascurabile. La fune passa prima su una carrucola fissa $C_1$ e poi su una seconda carrucola mobile $C_2$, entrambe senza attrito e massa trascurabile. A $C_2$ è appeso un corpo di massa $m$. Il piano AB è lungo $l= \lu \,cm$ ed ha un coefficiente d'attrito $\mu=\attr$. Determinare il valore di $m$ perché il blocco, inizialmente fermo in A, arrivi in B con velocità $v=1\,m s^{-1}$.
\begin{solution}
L'equazione fondametale della dinamica per la massa $m$, con l'asse verticale rivolto verso l'alto, e la massa $M$ con l'asse orizzontale orientato verso ds si scrive:
\begin{eqnarray*}
2T-mg=ma  \\
T-F_A =Ma \\
\nonumber
 F_A= \mu gM
\end{eqnarray*}
Dalla  prima: 
$T=\frac{m(g-a)}{2}$ e, sostituendo nella seconda), $2(Ma+F_A)=m(g-a)$ da cui:
\begin{equation}
a=g\frac{m-2\mu M}{2M+m}
\end{equation}
Il blocco si muove con accelerazione costante pertendo da fermo, dunque: 
\begin{equation*}
v^2=2 al = 2gl\frac{m-2\mu M}{2M+m}
\label{eq:vel}
\end{equation*}
Invertendo, possiamo trovare $m$ in funzione di $v^2$ e successivamente porre $v^2=1\; m^2 s^{-2} = 10^4\; cm^2 s^{-2} $:
\begin{equation}
m=2M\frac{1+2\mu gl}{2gl-v^2}=\FPsv[2]{2*M*((1+2*attr*981*lu)/(2*981*lu - 10^4))}
\end{equation}

\end{solution}
\end{problem}
\FPsetpar{MA}{3}{5}
\FPsetpar{N}{8}{12}
\FPsetpar{vi}{20}{40}


\begin{problem}[10]
Un'asta omogenea di massa $M=1\,kg$ e lunghezza $\ell$ è ferma su un piano orizzontale liscio ed è vincolata nell'estremo $A$. Nell'altro estremo $B$, viene sparato un proiettile di massa $m$, perpendicolarmente all'asta, con velocità $v=\vi\,m s^{-1}$ e questi si conficca nell'asta. Sapendo che il momento delle forze d'attrito in $A$ è $M_A=\MA\, N\,m$ calcolare la massa del proiettile affinché l'asta compia $N=\N$ giri.
\begin{solution}
La velocità iniziale con cui l'asta comincia a muoversi per effetto del proiettile la possiamo ricavare dalla conservazione del momento della quantità di moto:
\begin{eqnarray}
mv\ell=I\omega_0+m\omega_0 \ell^2
\label{eq:consqm}\\
\nonumber
I=\frac{m\ell^2}{3}
\end{eqnarray}
da cui: 
\begin{equation}
\omega_0=\frac{mv}{\ell\left(\frac{M}{3} +m\right)}
\label{eq:omegazero}
\end{equation}
Possiamo applicare la legge della conservazione dell'energia dicendo che, quando si ferma, il lavoro compiuto dalle forze d'attrito è pari all'energia cinetica iniziale di rotazione. Detto $I_{Tot}=I+m\ell^2$, sarà:
\begin{equation}
\frac{1}{2}I_{Tot} \omega_0^2=\FPsv{2*N}\pi M_A
\label{eq:energ}
\end{equation}
Sostituendo la l'espressione di $\omega_0$, otteniamo:
da cui: 
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\left[\frac{mv}{\ell\left(\frac{M}{3} +m\right)}\right]^2 \left(\frac{M}{3}+m\right)\ell^2 = \FPsv{2*N} \pi
\end{equation*}
ovvero
\begin{equation}
 \FPsv{2*N} \pi=\frac{m^2v^2}{2\left(\frac{M}{3}+m\right)M_A}
\label{eq:sol}
\end{equation}

che dà un'equazione di II grado in $m$. Detta $\alpha=\frac{4 N\pi M_A}{v^2}=\FPsv[2]{4*N*3.1415*MA/vi^2}\; kg$ è:
\[
m^2 -\alpha m -\alpha \frac{M}{3}=0
\]
da cui:
\[
m=\frac{\alpha}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 +\alpha\frac{M}{3}}
\]

\FPval{alph}[2]{4*N*3.1415*MA/vi^2}
\FPval{tre}[2]{-alph *M/3}
\FPval{due}[2]{-alph}
%$\FProot\dete{(\FPsv{(alph/2)^2 + M/3 *alph}}
%$ris=\dete$
\FPqsolve{\ma}{\mb}{1}{\number\due}{\number\tre}
%\FPqsolve\ma\mb{1}{5}{6}
$m=FPsv[2]{ma}\;FPsv[2]{mb}$



\end{solution}

\end{problem}
\begin{problem}[10]
Un contenitore adiabatico contiene $M=10\,kg$ di ghiaccio alla temperatura $T_0=-20\,^{\circ}C$. Una massa $m_{Cu}$ di rame alla temperatura $T_{Cu}= 700\,^{\circ}C$ viene introdotta nel contenitore. Determinare il valore della massa $m_{Cu}$ affinché nello stato finale ci siano:
\begin{enumerate}
\item solo acqua e rame alla temperatura $T_f = 50\,^{\circ}C$
\item vapore e rame alla temperatura di equilibrio $T_f = 150\,^{\circ}C$
\end{enumerate}
(Dati: $c_{H_2O}=4,18\,kJ/(kg\,K)$, $\lambda_{\text{ghiaccio}}=333\, kJ/kg$, $\lambda_{ev}=2272\,kJ/kg$, $c_{Cu}=0,385 kJ/(kg\,K)$)
\end{problem}
\begin{figure}[h]
\begin{tabular}{l l}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{disegno1.pdf}&
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{disegno2.pdf}
\end{tabular}
\end{figure}

}
