\newproblem{
\FPsetpar{Sez}{30}{60}
\FPsetpar{dh}{10}{40}
\begin{problem}[10]
Un recipiente cilindrico di altezza $h= 2$ m, sezione $S=\Sez \; cm^2$, è riempito di acqua
fino al bordo e bloccato su di un piano. Se si fora a $d=\dh$ cm dal piano, si rileva che dopo un secondo il livello dell'acqua è calato di $\Delta h=1.2$ mm.
\begin{enumerate}
\item si scriva l'espressione della velocità di uscita dell'acqua dal foro e se ne determini il valore (si assuma costante la velocità di abbassamento del livello dell'acqua nel cilindro).
\item qual'è la sezione del foro? Si consideri l'acqua un fluido ideale.
\end{enumerate}
\begin{solution}
La portata è data dal volume d'acqua che esce in un secondo:
\FPval{Porta}[6]{Sez*10^(-4) * 1.2*10^(-3)}
\[
	Port=\frac{S\Delta h}{\Delta t}=\Porta \; m^3/s=\FPsv[4]{\Porta*1000} \;l/s
\]

La velocità dell'acqua in uscita è data da:
\FPval{vel}[2]{(2*9.8*(2-dh*10^(-2)))^(0.5)}
\[
v=\sqrt{2 g (h-d)}=\vel\;m s^{-1}
\]
La portata sarà anche uguale alla velocità dell'acqua in uscita per la sezione $A$ del foro: $Port=vA$ e dunque la sezione sarà: 
\[
A=\frac{Port}{v}=\FPsv[2]{\Porta/\vel*10^6} \; mm^2
\]
\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}
}

\newproblem{
\FPsetpar{vuno}{140}{160}
\FPsetpar{vdue}{110}{130}

\begin{problem}[6]
Se l'aria scorre sulla superficie superiore dell'ala di un aereoplano alla velocità
di $v_1=\vuno\; m/s$ e sulla superficie inferiore alla velocità di $v_2 = \vdue\; m/s$, si trovi la differenza tra la pressione $P_1$ sulla superficie superiore e quella $P_2$ sulla superficie inferiore dell'ala.\par
Se l'area dell'ala è $A=15.0\; m^2$, si trovi la forza agente verso l'alto dell'ala.
(Si usi come densità dell'aria $\rho_a=1.28\; kg/m^3$.)
\begin{solution}
Usiamo l'equazione di Bernoulli:
\[
P_1 + \frac{1}{2} \rho_a v_1^2 = P_2 +\frac{1}{2} \rho_a v_2^2
\]
da cui 
\[
P_2 -P_1 = \frac{1}{2}\rho_a(v_1^2 - v_2^2) = \FPsv[2]{1.28 *(\vuno^2 -\vdue^2)/2}
\]
$F=A\Delta P$
\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}
}

\newproblem{
\FPsetpar{accauno}{30}{40}
\FPsetpar{accadue}{8}{15}
\begin{problem}[6]
L'acqua sale alle quote $h_1 = \accauno \; cm$ e $h_2 = 10.0\; cm$ nei tubi
verticali del condotto indicato in figura. Il diametro del condotto all'altezza del primo
tubo è $d_1=4.0\; cm$, e all'altezza del secondo tubo è $d_2=2.0\; cm$.\\
\begin{enumerate}
\item quanto vale la velocità dell'acqua all'altezza del primo e del secondo tubo?
\item quanto valgono la portata in massa e la portata in volume?
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./Esercizi/Tubo.pdf}
\end{figure}

\begin{solution}
Nei tubicini: $P1=P_{atm}+\rho g h_1$ e $P2=P_{atm}+\rho g h_2$, mentre, nel condotto, per l'equazione di Bernoulli, sarà $P1+1/2 \rho v_1^2 = P_2 + 1/2 \rho v_2^2$ e, per l'equazione di continuità: $v_1 d_1^2=v_2 d_2^2$. Sostituendo $v_2 =v_1 d_1^2/d_2^2$ nell'epressione di Bernoulli e risolvendo per $v_1$
\FPval{vuno}[2]{(2*9.81*(\accauno - \accadue)/(2^4 -1))^0.5}
\begin{align*}
v_1=\sqrt{\frac{2 g(h_1 -h_2)}{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^4 -1}} = \vuno\\
v_2 = \FPsv[2]{\vuno*4}
\end{align*}
La portata in volume è $Q_1 = Av_1$
\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}

}

\newproblem{
\FPsetpar{Press}{2}{4}
\FPsetpar{rate}{700}{800}
\begin{problem}[10]
La pressione sul fondo di un serbatoio contentente acqua è di $\Delta P=\Press \cdot 10^5\; Pa$ superiore
a quella atmosferica.
\begin{enumerate}
\item Determinare la profondità dell'acqua nel serbatoio.
\item Se dell'acqua viene immessa poi nel serbatoio al ritmo di $\rate$ litri/minuto, e si
vuole mantenere costante il livello dell'acqua, quale dovrà essere la superficie
di un foro praticato sul fondo del serbatoio?
\item Quale sarà la velocità di uscita dell'acqua in queste condizioni? (si assuma
che la sezione del serbatorio sia molto più grande della sezione del foro).
\end{enumerate}
\begin{solution}
L'equazione di Bernoulli dice:
\[
 (P - P_{atm}) + \frac{1}{2}\rho(v_2 -V_1) +\rho g (h_2 - h_1) = 0
\]
 Dunque, per liquido fermo, possiamo calcolare la profondità:\FPval{acca}[2]{\Press*10^5 /(1000*9.81)}
$\Delta h = \frac{\Delta P}{\rho g} = \acca\;m$.\\
Per mantenere costante il livello dell'acqua, deve essere l'efflusso $\frac{dm}{dt}= v_u S $ pari all'afflusso $M_in$, dunque: $S = M_in/v_u$. 
\FPval{vel}[2]{(1000*9.81*\acca)^0.5}
La velocità all'uscita del foro è data sempre dall'equazione di Bernoulli e vale: $v=\sqrt{\rho g h}=\vel$. Da cui possiamo ricavare: $S=\FPsv[2]{\rate*10^(-3)/(10^4*60*\vel)\; cm^2}$.

\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}
}

\newproblem{
\FPsetpar{Quant}{2}{4} %m^3
\FPsetpar{acca}{20}{40} %m
\FPsetpar{press}{15}{20} %*10^4 N/m^2
\begin{problem}[10]
Quanto lavoro deve compiere una pompa per sollevare $Q=\Quant\;m^3$ di acqua ad un'altezza di $h=\acca\;m$ e farla scorrere in un condotto alla pressione $P=\FPsv[2]{\press/10} \cdot 10^5 \;N/m^2$?
\begin{solution}
Il lavoro è dato dalla somma della variazione di energia potenziale e del lavoro compiuto contro la pressione: $L = mgh+ P V=\FPsv[2]{(\Quant*10^3*9.81*\acca+\Quant*press*10^4)/10^3\;kJ$ dove $m=\Quant \;m^3 \cdot 10^3 kg/m^3$. 

\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}
}

\newproblem{
\FPsetpar{peso}{1}{3}
\begin{problem}[7]
In un un recipiente contenete acqua, posto su una bilancia, viene totalmente immerso senza  che tocchi  il  fondo  un  corpo.  Se  la  bilancia  mostra  un  aumento  di  peso  pari  a  
$\Delta P=  \peso\;  N$  determinare il volume del corpo immerso.
\begin{solution}
La variazione di peso corrisponde al peso del liquido spostato :
$\Delta P = \rho_a g  V$ da cui $V=\frac{\Delta P}{\rho g} = \FPsv[2]{\peso/(1000*9.81)*10^4}\cdot10^{-4}m^3$
\end{solution}
\pagebreak
\end{problem}
} 