\chapter{Relatività Ristretta}
\label{chap:relat}

La velocità della luce nel vuoto è determinata dalle equazioni di
Maxwell, e, qualunque sia il sistema di riferimento, vale

\[c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}\]

Secondo il principio di relatività, è impossibile con esperimenti fisici
evidenziare differenze tre sistemi di riferimento inerziali. Dunque, se
la velocità della luce fosse diversa in un sistema in moto rettilineo
uniforme rispetto ad un altro, allora cadrebbe tale principio. Si deduce
che, non cambiando c, devono cambiare le coordinate.

Nel 1905 Albert Einstein stabilì due postulati.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi})}
\item
  Tutti i fenomeni fisici identici si manifestano allo stesso modo nei
  sistemi di riferimento inerziali, a parità di condizioni.
\item
  La velocità della luce nel vuoto è uguale in tutte le direzioni ed in
  ogni regione di un dato sistema di riferimento, ed è la stessa in
  tutti i sistemi di riferimento inerziali.
\end{enumerate}

%\hypertarget{sincronizzazione-degli-orologi}{%
\section{Sincronizzazione degli orologi}
\label{subs:syncro}

Per poter definire un ``evento'' in un sistema di riferimento è
necessario avere a disposizione un orologio in quiete nel sistema di
riferimento inerziale nel punto in cui accade. Se ci sono due sistemi di
riferimento inerziali in moto relativo, ciascuna avrà i propri orologi
in ciascun punto.

Come sincronizzare gli orologi in punti diversi dello stesso sistema di
riferimento inerziale? I passi sono i seguenti.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi})}
\item Le coordinate degli orologi sono note.
\item  Ad un istante \(t_{1}\), un segnale luminoso parte dall'orologio di
  riferimento verso quello da sincronizzare ed arriva al tempo
  \(t = t_{1} + \frac{L}{c}\) (vedi figura \ref{fig:syncro}).
\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{syncro.png}
\caption{Sincronizzazione di due orologi}.
\label{fig:syncro}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\item
  Si mette il conteggio dell'orologio al tempo t.
\end{enumerate}

Alternativamente è possibile riflettere il segnale dal punto verso il
riferimento, dove tornerà al tempo \(t_{2}\), come si vede in figura \ref{fig:syncro2}.
\begin{figure}
    \begin{center}
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{GRmedia/image2.png}

    \caption{Sincronizzazione alternativa di due orologi.}
    \label{fig:syncro2}
    \end{center}
\end{figure}

Quindi il tempo impiegato sarà $2\Delta t=t_2-t_1$ e il tempo segnato dall'orologio vicino allo specchio 

\[
t = t_2-\Delta t =  \frac{t_{2} + t_{1}}{2}
\]

%\hypertarget{sistemi-di-riferimento-in-moto-relativo}{%
\section{Sistemi di riferimento in moto
relativo}
\label{subs:SRI}

Confrontiamo due righelli disposti perpendicolarmente alla direzione del
moto. Chiamiamo \(K\) e \(K^{'}\) rispettivamente un sistema di
riferimento inerziale in moto ed uno fisso, ipotizzando che il vettore
velocità relativa tra i due sistemi sia diretto lungo l'unica direzione
comune \(x \equiv x^{'}\), come si evince dalla figura \ref{fig:lencontr}.
\begin{figure}[h]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{GRmedia/image3.png}
    \caption{Confronto delle lunghezze in direzione parallela al moto relativo.}
    \label{fig:lencontr}
    \end{center}
\end{figure}
%

Quando gli assi \(y\) e \(y^{'}\) coincidono, viene emesso un segnale
luminoso da \(B^{'}\) e \(C^{'}\) verso \(A^{'}\). Nel sistema di
riferimento fisso \(K^{'}\), i due segnali arrivano in \(A^{'}\)
contemporaneamente, per cui in tale riferimento i punti \(B^{'}\) e
\(C^{'}\) attraversano l'asse \(y^{'}\) contemporaneamente. Lo stesso
accade per i punti B e C lungo l'asse y. Se, quindi, si trovasse che
\(B^{'}C^{'} \neq BC\) in un istante t, allora sarebbe possibile trovare
differenze tra i due sistemi di riferimento. Ciò porta a concludere che
le lunghezze non cambiano in direzione ortogonale al moto.

Nella stessa configurazione, confrontiamo i ritmi tra i due orologi dei
due sistemi, servendoci della figura \ref{fig:exptime}.
\begin{figure}[h]
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{GRmedia/image4.png}
        \caption{Confronto dei tempi in direzione parallela al moto relativo}
        \label{fig:exptime} 
    \end{center}
\end{figure}
%\includegraphics[width=4.29167in,height=3.40062in]{vertopal_84537e8a72cc4a888cb38562acb082ec/media/image4.png}

Ad un certo istante, viene mandato un segnale luminoso da O verso uno
specchio distante \(z_{O}^{'}\). Tale segnale ritornerà all'origine dopo
un tempo pari a

\[\Delta t^{'} = \frac{2z_{0}^{'}}{c}\]

Ciò accade in quanto sorgente e specchio sono in quiete nel riferimento
\(K^{'}\)

Cosa succede, invece, nel sistema in moto K? Il segnale in K viene
ricevuto nel punto \(x_{2}\) in seguito alla riflessione avvenuta in
corrispondenza dell'ascissa \(x_{1}\). In particolare, si ha

\[\overline{Ox_{2}} = v\Delta t \Rightarrow \overline{Ox_{1}} = \frac{v\Delta t}{2}\]

Inoltre, per il postulato della relatività, si ha

\[\overline{Oz_{0}} = \frac{c\Delta t}{2}\]

Poiché, inoltre, si forma un triangolo rettangolo nella medesima figura
4, scriviamo

\[{\overline{Oz_{O}}}^{2} = z_{O}^{2} + {\overline{Ox_{1}}}^{2} = z_{O}^{2} + \left( \frac{v\mathrm{\Delta}t}{2} \right)^{2}\]

Sostituendo nella relazione precedente, si ottiene

\begin{eqnarray}
\nonumber
z_{O}^{2} + \left( \frac{v\mathrm{\Delta}t}{2} \right)^{2} = \left( \frac{c\mathrm{\Delta}t}{2} \right)^{2}\ \  \Rightarrow \ \ z_{O}^{2} = \frac{(\mathrm{\Delta}t)^{2}}{4}\left( c^{2} - v^{2} \right)\ \ \Rightarrow \ \\
\mathrm{\Delta}t = \frac{2z_{O}}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} = \frac{\frac{2z_{O}}{c}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \gamma{\mathrm{\Delta}t}^{'}
\label{eq:reltime}
\end{eqnarray}

È stato definito, quindi, il fattore per la dilatazione temporale $\gamma$ come

\begin{equation}
    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} \geq 1
    \label{eq:gammarel}
\end{equation}
Come ultima situazione, consideriamo due righelli posti parallelamente
alla direzione del moto. Anche in questo caso usiamo uno specchio ad
un'estremità del righello ed una sorgente dall'altra estremità. Nel
sistema di riferimento \(K^{'}\) in quiete, come si vede in \ref{fig:relcontrlen}, si
pone, lungo la direzione del moto, uno specchio che riflette il segnale
inviato dall'origine \(O^{'}\).
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{GRmedia/image5.png}
    \caption{Il sistema di riferimento in quiete}
    \label{fig:relcontrlen}
\end{figure}

Detta \(L_{0}\) la distanza tra la sorgente del segnale e lo specchio,
il segnale ritorna all'origine dopo un tempo

\[{\mathrm{\Delta}t}_{0} = \frac{2L_{0}}{c}\]

Nel sistema di riferimento in moto K, invece, gli stessi eventi
risultano differenti. In particolare, come si nota nella \ref{fig:relposit},
chiamiamo I ed S rispettivamente le estremità inferiore e superiore del
righello con specchio posizionato in S.

\begin{itemize}
\item
  All'istante di emissione, I è nell'origine ed S in \(S_{1}\).
\item
  All'istante della riflessione, I si è spostato in \(I_{1}\) ed S in
  \(S_{2}\).
\item
  All'istante di ricezione, I si è spostato in \(I_{2}\).
\end{itemize}
\begin{figure}[h]
    \begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{GRmedia/image6.png}
    \caption{Il sistema in moto con le posizioni del righello.}
    \label{fig:relposit}
    \end{center}
\end{figure}
%\includegraphics[width=3.85417in,height=3.05375in]{vertopal_84537e8a72cc4a888cb38562acb082ec/media/image6.png}
Si noti che l'emissione e la ricezione sono registrati in punti diversi
nel sistema K.

Nel propagarsi verso destra, la luce rincorre lo specchio con velocità
relativa \(c - v\), mentre verso sinistra si allontana con velocità
relativa \(c + v\). Indicando con L la lunghezza incognita del righello
in K, allora il tempo che impiega la luce nel tratto da I verso
\(S_{1}\) vale

\[t_{1} = \frac{L}{c - v}\]

Viceversa, il tempo che impiega la luce nel tratto da \(S_{2}\) verso
\(I_{1}\) vale

\[t_{2} = \frac{L}{c + v}\]

Il tempo complessivo, dunque, è la somma dei due tempi:

\[\mathrm{\Delta}t = t_{1} + t_{2} = L\left( \frac{1}{c - v} + \frac{1}{c + v} \right) = \frac{2Lc}{c^{2} - v^{2}} = \frac{2L}{c}\frac{1}{1 - \beta^{2}} = \frac{2L}{c}\gamma^{2}\]

Ricordando che \(\mathrm{\Delta}t = \gamma{\mathrm{\Delta}t}_{0}\), dal
confronto si ha

\begin{eqnarray}
\nonumber
\gamma{\mathrm{\Delta}t}_{0} = \frac{2L}{c}\gamma^{2}\ \  \Rightarrow \ \ \gamma\frac{2L_{0}}{c} = \frac{2L}{c}\gamma^{2}\ \  \Rightarrow \\
\ L = \frac{L_{0}}{\gamma}
\label{eq:rellen}
\end{eqnarray}
\section{Trasformazioni di Lorentz come conseguenza dei postulati di
Einstein}
\label{trasformazioni-di-lorentz-come-conseguenza-dei-postulati-di-einstein}
Deriviamo le equazioni che definiscono le coordinate nel sistema
\(K^{'}\) partendo da quelle nel sistema K in modo che esse siano
conformi ai postulati. In tale ottica, vanno fatte alcune osservazioni.

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi})}
\item
  Spazio e tempo devono crescere uniformemente in tutti i sistemi di
  riferimento inerziali, per cui le equazioni di trasformazione devono
  essere lineari.
\item
  L'isotropia dello spazio impone che \(y = y^{'}\) e \(z = z^{'}\).
\end{enumerate}

Detto ciò, le equazioni della trasformazione di x e t sono del tipo

\[\left\{ \begin{matrix}
x^{'} = A_{11}x + A_{12}t + A_{10} \\
x = A_{21}x^{'} + A_{22}t^{'} + A_{20} \\
\end{matrix} \right.\ \]

Ponendo le condizioni iniziali

\[\begin{matrix}
x = 0\ \ e\ \ t = 0\ \  \Rightarrow \ x^{'} = 0 \\
x^{'} = 0\ \ e\ \ t^{'} = 0\ \  \Rightarrow \ \ x = 0 \\
\end{matrix}\]

Si ottiene

\[A_{10} = A_{20} = 0\]

Inoltre, all'istante t, la coordinata x dell'origine di \(K^{'}\) è pari
a $vt$, per cui la prima equazione si scrive:

\[x^{'} = 0 = A_{11}vt + A_{12}t\ \  \Rightarrow \ \ \frac{A_{12}}{A_{11}} = - v\]

Analogamente la seconda equazione si scrive

\[x = 0 = - A_{21}vt^{'} + A_{22}t^{'} \Rightarrow \ \ \frac{A_{22}}{A_{21}} = v\]

Sostituendo nel sistema iniziale, si ha

\[\left\{ \begin{matrix}
x^{'} = A_{11}(x - vt) \\
x = A_{21}\left( x^{'} + vt^{'} \right) \\
\end{matrix} \right.\ \]

È necessario determinare i due coefficiente adimensionali \(A_{11}\) e
\(A_{21}\), che, per l'uniformità del tempo e l'isotropia dello spazio,
dipenderanno solo dalla velocità v.

A tal proposito, è facile verificare che tali due coefficienti sono
uguali. Infatti, se in K un righello ha lunghezza \(L_{0}\), i suoi
estremi avranno coordinate \(x_{1} = 0\) e \(x_{2} = L_{0}\), per cui,
dalla seconda equazione della trasformazione all'istante \(t^{'} = 0\),
si ottiene

\[\begin{matrix}
x_{1}^{'} = 0 \\
x_{2}^{'} = \frac{L_{0}}{A_{21}} \\
\end{matrix}\ \  \Rightarrow \ L^{'} = \frac{L_{0}}{A_{21}}\]

Viceversa, prendiamo lo stesso righello e poniamolo in quiete nel
sistema \(K^{'}\). Le coordinate degli estremi saranno \(x_{1}^{'} = 0\)
e \(x_{2}^{'} = L_{0}\), per cui, dalla prima equazione della
trasformazione all'istante \(t = 0\), si ottiene

\[\begin{matrix}
x_{1} = 0 \\
x_{2} = \frac{L_{0}}{A_{11}} \\
\end{matrix}\ \  \Rightarrow \ L = \frac{L_{0}}{A_{11}}\]

Siccome i due sistemi sono equivalenti, la loro velocità relativa è la
medesima, per cui, non dovendo cambiare le due lunghezze, risulta:

\[L = L^{'}\ \  \Rightarrow \ \ A_{11} = A_{21}\]

Per trovare il valore esatto di tale costante comune alle due equazioni,
sfruttiamo l'invarianza della velocità della luce c. All'istante
\(t = 0\), mandiamo un segnale dall'origine. L'evento consiste nella
ricezione di tale segnale in un punto posizionato lungo l'asse x. Nel
sistema di riferimento fermo K, tale coordinata vale

\[x = ct\]

Nel sistema \(K^{'}\), per l'invarianza appena citata, essa vale

\[x^{'} = ct^{'}\]

Sostituendo nel sistema delle trasformazioni, si ha

\[\left\{ \begin{matrix}
x^{'} = A_{11}(x - vt) \\
x = A_{11}\left( x^{'} + vt^{'} \right) \\
\end{matrix} \right.\ \ \  \Rightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix}
ct^{'} = A_{11}(ct - vt) \\
ct = A_{11}\left( ct^{'} + vt^{'} \right) \\
\end{matrix} \right.\ \ \  \Rightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix}
t^{'} = A_{11}t(1 - \beta) \\
t = A_{11}t^{'}(1 + \beta) \\
\end{matrix} \right.\ \]

Moltiplicando membro a membro le ultime due equazioni, si ricava

\[t^{'}t = A_{11}^{2}t^{'}t\left( 1 - \beta^{2} \right)\ \  \Rightarrow \ \ A_{11}^{2} = \frac{1}{1 - \beta^{2}} = \gamma^{2}\]

In definitiva, le trasformazioni di Lorentz (Hendrik Lorentz) sono le seguenti:

\begin{equation}
\begin{cases}
x^{'} = &\gamma(x - vt) \\
t^{'} = &\gamma\left( t - \frac{v}{c^{2}}x \right)   
\end{cases}
\end{equation}
con
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2}}}
\] 
\section{Composizione delle velocità}
\label{composizione-delle-velocituxe0}
Consideriamo le trasformazioni di Lorentz appena ricavate in forma
differenziale:

\begin{equation}
\begin{cases}
{dx}^{'} = \gamma(dx - vdt) \\
{dt}^{'} = \gamma\left( dt - \frac{v}{c^{2}}dx \right) 
\end{cases}
\end{equation}

Facendo rapporto membro a membro, si ha

\[v_{x}^{'} = \frac{{dx}^{'}}{{dt}^{'}} = \frac{dx - vdt}{dt - \frac{v}{c^{2}}dx}\]

In tale caso, \(v_{x}^{'}\) rappresenta la componente lungo x della
velocità di una particella nel sistema di riferimento in moto \(K^{'}\),
mentre v è la velocità relativa tra i due sistemi di riferimento K e
\(K^{'}\).

Dividendo numeratore e denominatore per l'intervallo di tempo
infinitesimo \(dt\), si ricava

\[v_{x}^{'} = \frac{\frac{dx}{dt} - v}{1 - \frac{v}{c^{2}}\frac{dx}{dt}} = \frac{v_{x} - v}{1 - \frac{v}{c^{2}}v_{x}}\]

In tale espressione, \(v_{x}\) rappresenta proprio la componente lungo x
della velocità della medesima particella nel sistema di riferimento in
quiete K. Si noti che per \(v \ll c\) si ottengono le trasformazioni di
Galileo

\[v_{x}^{'} = v_{x} - v\]

\section{Intervalli}

Un evento è descritto dalle coordinate del punto e dal tempo in cui è avvenuto.
Consideriamo i due seguenti eventi nel sistema K.
L’emissione di un segnale luminoso dal punto $\left(x_1,y_1,z_1\right)$  al tempo $t_1$.
La ricezione del segnale nel punto $\left(x_2,y_2,z_2\right)$ al tempo $t_2$.
Detta c la velocità di propagazione del segnale, allora il cammino percorso da quest’ultimo sarà pari a $c\left(t_2-t_1\right)$. D’altra parte, tale distanza percorsa è proprio pari alla distanza euclidea tra i due punti. Nel sistema K, dunque, possiamo scrivere
\begin{eqnarray*}
\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2=
c^2\left(t_2-t_1\right)^2\\
c^2\left(t_2-t_1\right)^2-\left(x_2-x_1\right)^2-\left(y_2-y_1\right)^2-\left(z_2-z_1\right)^2=0    
\end{eqnarray*}
La stessa coppia di eventi può essere osservata nel sistema K'. Siccome la velocità della luce è la stessa nei due sistemi di riferimento, allora
\[
c^2\left(t_2^\prime-t_1^\prime\right)^2
-\left(x_2^\prime-x_1^\prime\right)^2-\left(y_2^\prime-y_1^\prime\right)^2-\left(z_2^\prime-z_1^\prime\right)^2=0
\]
In generale, dati due eventi, è possibile definire la quantità
\begin{equation}
    s_{12}=\sqrt{c^2\left(t_2-t_1\right)^2-\left(x_2-x_1\right)^2-\left(y_2-y_1\right)^2{-\left(z_2-z_1\right)}^2}
    \label{eq:interval}
\end{equation}
Tale quantità viene chiamata intervallo tra i due eventi.
Segue dal principio di invarianza della velocità della luce che se un intervallo è nullo in un sistema di riferimento, esso è tale in tutti i sistemi di riferimento. Inoltre, scrivendo tale intervallo in termini infinitesimi:
\[
    ds^2=c^2 d^2-dx^2-dy^2-dz^2
\]

Come appena accennato, se ds=0 in un sistema di riferimento inerziale, si ha $ds^\prime=0$ anche in un altro sistema. Essendo $ds$ e $ds^\prime$ infinitesimi dello stesso ordine, allora, i due devono essere proporzionali: $ds= a\;ds'$.
Il coefficiente deve essere adimensionale e, al massimo, può dipendere solo dal valore assoluto della velocità relativa dei due sistemi inerziali. L’isotropia dello spazio, consente di porre tale costante pari ad 1, per cui $ds'=ds$. 
Ciò dimostra che l’intervallo appena definito è un invariante. Per semplicità, scriviamo l’intervallo tra i due eventi 1 e 2 in maniera sintetica nel sistema K: $s_{12}^2=c^2t_{12}^2-L_{12}^2$. Nel sistema $K^\prime$ tale intervallo è invariante, ovvero: $s_{12}^{\prime2}=c^2t_{12}^{\prime2}-L_{12}^{\prime2}$\par
E' chiaro che, contrariamente alla distanza euclidea, il quadrato dell'intervallo può assumere anche valori negativi. A seconda del segno possiamo definire diversi tipi di intervallo:
\begin{itemize}
\item Nel caso in cui in un sistema K' per cui i due eventi abbiano luogo nello stesso punto, allora: $L'_{12}=0$, quindi $ds'^2_{12} = c^2t_{12}^{\prime 2} \geq 0$. Quando è strettamente maggiore, l'intervallo si dice di tipo {\it tempo}, perché la componente temporale non si può annullare. Per questi eventi si può stabilire una relazione di causalità.
\item Nel caso in cui nel sistema K' si possa annullare la parte temporale ma non quella spaziale, cioé per eventi che possono avvenire allo stesso tempo ma in luoghi diversi, si parla di intervalli di tipo {\it spazio}: $ds^{\prime 2} = -L_{12}^{\prime 2} \leq 0$. 
\item I casi in cui vale l'uguaglianza sono quelli in cui con una opportuna trasformazione, gli eventi, nel sistema K' possono avvenire nello stesso luogo e tempo. Ciò può avvenire solo se il sistema K' viaggia alla velocità della luce rispetto a K e l'intervallo si dice di tipo {\it luce}.
\end{itemize}
Nel sistema di coordinate (ct, $\mathbf{x}$), gli eventi di tipo luce identificano un cono con vertice nello zero, detto cono luce. All'interno del cono gli eventi sono di tipo tempo, perché lì, $\mathbf{x}^2 > (ct)^2$, fuori dal cono, sono di tipo tempo (al contrario se si prende il riferimento in cui ct è l'asse verticale).
\section{Quadrivettori}
\label{sec:quadrivect}
L’insieme delle coordinate $\left(ct,x,y,z\right)$ di un evento può essere considerato come la n-upla delle componenti di un raggio vettore quadridimensionale. Indichiamo con $x^\mu$ le sue componenti in cui l’indice $\mu$ assume i valori da 0 a 3:
\[
x^\mu\equiv (x^0, x^1, x^2, x^3)
\]
dove abbiamo chiamato $x^0 = ct$.\par
Il quadrato dell'intervallo è la somma $s^2=\left(x^0\right)^2-\left(x^1\right)^2-\left(x^2\right)^2-\left(x^3\right)^2$. In generale, possiamo definire un vettore a 4 componenti (quadri-vettore) $A^\mu$ le cui componenti si trasformano come le coordinate del 4-raggio vettore.
\begin{equation}
    \begin{cases}A^0=\frac{A^{\prime0}+\frac{v}{c}A^{\prime1}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
    A^1=\frac{A^{\prime1}+\frac{v}{c}A^{\prime0}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
    A^2=A^{\prime2}\\
    A^3=A^{\prime3}
    \end{cases}
\end{equation}
Il modulo quadro del quadrivettore $A^\mu$ è definito in analogia con l'intervallo: $|A|^2=\left(A^0\right)^2-\left(A^1\right)^2-\left(A^2\right)^2-\left(A^3\right)^2$.\par
Più formalmente, possiamo definire due tipi di quadrivettori a partire dalle trasformazioni di coordinate. Il quadrivettore controvariante $A^\mu$, quando effettuiamo il cambio di coordinate da un sistema $K(x^\mu)$ a $K'(x'^\mu)$, può essere scritto come (si adotta la convenzione di Einstein, somma sugli indici ripetuti): 
\begin{equation}
A'^\mu=A^\nu\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}
\label{eq:quadrivec}    
\end{equation}

in cui $\Lambda^\mu_\nu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}$ sono le trasformazioni di Lorentz delle coordinate da K a K'.\par
Possiamo vedere che, presa una grandezza scalare $\phi$, il suo quadi-gradiente $\frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}$ si trasforma come: 
$\Lambda^\mu_\nu\frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}$, cioé come il duale di un vettore come \ref{eq:quadrivec}, e quindi possiamo scrivere:
\[
\frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}=A_\mu
\]
che definisce il quadrivettore covariante. O meglio, un vettore covariante si trasforma come il quadrigradiente di uno scalare.
Il prodotto $A^\mu A_\mu$ si trasforma come 
\[
A'^\mu A'_\mu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}A^\nu\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}A_\nu = \Lambda^\mu_\nu\Lambda^\nu_\mu A^\nu  A_\nu
\]
Le trasformazioni di coordinate sono l'una l'inverso dell'altra, quindi il prodotto è invariante di Lorentz, come l'intervallo.\par
Dunque abbiamo due tipi di quadrivettore -- controvariante e covariante -- il cui prodotto "scalare" è un invariante. Per analogia con il raggio vettore con cui costuriamo l'invariante intervallo, definiamo il modulo del quadrivettore questo prodotto:
\begin{eqnarray}
ds^2 = dx_\mu dx^\mu = (dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}
\label{eq:modquad}
\\ \Rightarrow
|A|^2 = A_\mu A^\mu = (A_0)^2-(A_1)^2-(A_2)^2-(A_3)^2
\end{eqnarray}
questo porta a dire che: $  A^0=A_0 \qquad A^1=-A_1\qquad A^2=-A_2\qquad A^3=-A_3$\par
La \ref{eq:modquad}, ci porta a definire una "metrica dello spazio in cui sono definiti i quadrivettori $\eta_{\mu\nu}$ -- metrica di Minkowski--  tale che si possa scrivere:
\begin{equation}
    ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=\eta^{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu
    \label{eq:ds2minkowski}
\end{equation}
Si può facilmente verificare che:
\begin{equation}
    \eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu} =
    \begin{pmatrix}
        1&0&0&0\\
        0&-1&0&0\\
        0&0&-1&0\\
        0&0&0&-1
    \end{pmatrix}
    \label{eq:minkovski}
\end{equation}

Le equazioni delle trasformazioni di Lorentz per un vettore controvariante, si possono scrivere in forma matriciale (per un boost lungo x):
\begin{equation}
    \begin{pmatrix}
        A^0\\
        A^1\\
        A^2\\
        A^3
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
        \gamma & +\gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        A'^0\\
        A'^1\\
        A'^2\\
        A'^3
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Per i vettori covarianti cambia il segno dei $\gamma\beta$.\\
La componente $A^0$ di un quadrivettore  si chiama temporale, mentre le componenti$ A^1, A^2$ e $A^3$ sono spaziali. Spesso, per indicare le componenti di  un quadrivettore, si separa la componente temporale da quelle spaziali e, quindi, si utilizzano anche le seguenti notazioni
\begin{eqnarray}
A^\mu= (A^0,\mathbf{A}) \\
A_\mu=\left(A^0,-\mathbf{A}\right)
\end{eqnarray}
Infine, secondo tale notazione, il modulo quadro del quadrivettore si scrive
\[
A_\mu A^\mu=\left(A^0\right)^2-\left|\mathbf{A}\right|^2
\]
\subsection{Tensori}
Abbiamo visto che il prodotto scalare di un quadrivettore con il suo duale è invariante; in generale il prodotto di due quadrivettori, sarà un oggetto a 16 componenti che si trasforma come il prodotto delle trasformazioni:
\[
A'^{\mu\nu}\equiv V'^\mu V'^\nu = \Lambda^{\mu}_{\sigma} V^\sigma\Lambda^{\nu}_\rho V^\rho =  \Lambda^{\mu}_{\sigma}\Lambda^{\nu}_\rho A^{\sigma\rho}
\]
Queste grandezze, prendono il nome di tensori (in questo caso di rango 2). Possono esistere nelle forme:
\begin{itemize}
    \item totalmente controvariante $A^{\mu\nu}$;
    \item totalmente covariante $A_{\mu\nu}$
    \item misto $A^{\mu}_{\nu}$
\end{itemize}
La {\bf traccia} del tensore è la somma degli elementi diagonali $Tr(A)=A^\mu_\mu=\delta^{\mu}_{\nu} A^{\mu\nu}$ che, si vede facilmente, è invariante di Lorentz. La traccia del tensore identità è: $Tr(\delta)= 4$. Abbassando o alzando gli indici di $\delta^{\mu}_{\nu}$ otteniamo il tensore metrico di Minkowski, anche esso invariante. La sua traccia è $Tr(\eta)=2$, il suo determinante è $det(\eta_{\mu\nu}) = -1$, in qualsiasi sistema di riferimento. Nel seguito, indicheremo la metrica con la $g^{\mu\nu}$ perché, quanto affermato vale per quaunque metrica in relatività, se non quando specificato.\par
L'ultimo tensore invariante è il tensore completamente antisimmetrico di Levi-Civita $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$, di rango 4. Tutte le componenti di tale tensore che presentano almeno due indici uguali sono nulle, mentre quelle non nulle sono uguali a ±1 e cambiano di segno per permutazioni dispari tra due indici (es. 1234=-2134=-1324=-1243=-4123=+1423...); in particolare, $\epsilon^{0123}=1$. Il numero di componenti indipendenti è 4!= 24 e $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}  =- 24$. Il tensore di Levi-Civita è uno pseudo-tensore perché le componenti cambiano segno se si cambia segno ad un numero dispari di coordinate. \par
Per un tensore antisimmetrico $A^{\mu\nu}$, si definisce uno pseudo-tensore duale $A^{*\mu\nu}=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\rho\sigma}$, di modo che il prodotto $A^*_{\mu\nu}A^{\mu\nu}$ è uno pseudo-scalare.
\subsection{Trasformazioni di Lorentz nello spazio 4-dimensionale}
In forma matriciale, possiamo scrivere le 4 equazioni delle trasformazioni di Lorentz:
\[
x^{\prime\mu}=\Lambda_\nu^\mu x^\nu
\]
Affinché la matrice di trasformazione $\Lambda_\nu^\mu$ conservi il prodotto scalare, deve essere
$g_{\mu\nu}x^{\prime\mu}x^{\prime\nu}=g_{\rho\sigma}x^\rho x^\sigma$
Sostituendo nelle equazioni delle trasformazioni di Lorentz, si ha
\[
    g_{\mu\nu}\Lambda_\rho^\mu\Lambda_\sigma^\nu x^\rho x^\sigma=g_{\rho\sigma}x^\rho x^\sigma\ \ \Rightarrow\ \ \left(\Lambda^T\right)_\rho^\mu g_{\mu\nu}\Lambda_\sigma^\nu x^\rho x^\sigma=g_{\rho\sigma}x^\rho x^\sigma
\]

Dal confronto, si scrive l’equazione:
\begin{equation}
    \left(\Lambda^T\right)_\rho^\mu g_{\mu\nu}\Lambda_\sigma^\nu=g_{\rho\sigma}
    \label{eq:ginv}
\end{equation}
Proviamo a verificarlo esplicitamente per un boost lungo x:
\begin{equation}
    \Lambda=\begin{pmatrix}
        \gamma & -\gamma\beta&0&0\\
        -\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\
    \end{pmatrix} =\Lambda^T
\end{equation}
\begin{equation}
    g_{\mu\nu}\Lambda_\sigma^\nu=
    \begin{pmatrix}\gamma&\mathrm{-\gamma\beta}&0&0\\\mathrm{\gamma\beta}&\mathrm{-\gamma}&0&0\\0&0&\mathrm{-1}&0\\0&0&0&\mathrm{-1}\\\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\nonumber
   {\Lambda^T}^\mu_\rho g_{\mu\nu}\Lambda_\sigma^\nu=\\
   \nonumber
   \begin{pmatrix}
        \gamma & -\gamma\beta&0&0\\
     -\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1
    \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta&0&0\\
   \gamma\beta&-\gamma&0&0\\
   0&0&-1&0\\0&0&0&-1
   \end{pmatrix}=\\
   =\begin{pmatrix}
    \gamma^2(1-\beta^2)&-\gamma^2\beta +\gamma^2\beta&0&0\\
    -\gamma^2\beta+\gamma^2\beta&-\gamma^2(1-\beta^2)&0&0\\
    0&0&-1&0\\
    0&0&0&-1
   \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
che, visto che $\gamma^2=(1-\beta^2)^{-1}$, dimostra la \ref{eq:ginv}.\par
Visto che $det(g)=det(\Lambda^T g \Lambda)=-1$ allora $det(\Lambda)^2=1$, ergo, $det\Lambda = \pm 1$. La trasformazione di Lorentz è detta propria nel caso positivo.
\section{Operatori differenziali}
Come si comporta l’operatore di derivazione rispetto alle trasformazioni di Lorentz? In generale, gli operatori di derivazione rispetto alle coordinate $x^\alpha$ vanno considerati come componenti covarianti di un operatore quadrivettoriale:
\[
\partial^\alpha=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}=\frac{\partial}{\partial x_\beta^\prime}\frac{\partial x_\beta^\prime}{\partial x_\alpha}=\partial^{\prime\beta}\partial^\alpha x_\beta^\prime=\partial^{\prime\beta}\Lambda_\beta^\alpha
\]
D’altra parte, si ha
\[
\Lambda_\alpha^\tau x^{\prime\alpha}=\Lambda_\alpha^\tau\Lambda_\beta^\alpha x^\beta=x^\tau
\]
Differenziando l’ultima uguaglianza, si ha
\[
\Lambda_\alpha^\tau dx^{\prime\alpha}=dx^\tau\ \ \Rightarrow\ \ \Lambda_\alpha^\tau=\frac{\partial x^\tau}{\partial x^{\prime\alpha}}\ \ \Rightarrow\ \ \frac{\partial}{\partial x^{\prime\alpha}}=\Lambda_\alpha^\tau\frac{\partial}{\partial x^\tau}\ \ \Rightarrow\ \ \partial_\alpha^\prime=\Lambda_\alpha^\tau\partial_\tau
\]
Quindi anche l’operatore derivata si comporta come un quadrivettore. Inoltre, se V è un generico vettore, allora la quantita $\partial_\mu V^\mu$ è uno scalare:
\begin{equation}
    \partial_\mu V^\mu=g_{\mu\nu}\partial^\mu V^\nu=\frac{\partial V^0}{\partial ct}- \nabla{\mathbf{V}}
\end{equation}
avendo definito:
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\equiv\begin{pmatrix}\frac{\partial_t}{c}\\-\mathbf{\nabla}\end{pmatrix}\\
\label{eq:quadridev}
\partial_\mu\equiv\left(\frac{\partial_t}{c},\mathbf{\nabla}\right)
\end{eqnarray}
Allora, il 4-Laplaciano coincide con il D'alambertiano:
\begin{equation}
    \partial_\mu\partial^\mu = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2 = \Box
\end{equation}
\section{Meccanica relativistica e principio di minima azione}
\label{sec:mecrec}
Per studiare il moto delle particelle materiali, partiamo dal principio di minima azione. Secondo tale principio, per ogni sistema meccanico esiste un integrale S, detto azione, che è minimo per il moto effettivo, e la cui variazione $ \delta S$ è conseguentemente nulla.
Definiamo l’integrale d’azione per una particella materiale libera, non soggetta, cioè, all’azione di forze esterne.
È opportuno notare che tale integrale non deve dipendere dalla scelta del sistema di riferimento, ovvero deve essere invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Dunque, esso non può che essere che l’integrale di uno scalare, con funzione integranda differenziale del primo ordine. Il solo scalare di questo tipo che si può formare per una particella materiale libera è proporzionale all’intervallo ds, per cui l’azione per una particella libera è data da:
\begin{equation}
S=-\alpha\int_{a}^{b} ds
\label{eq:azionelibera}    
\end{equation}
esteso ad una linea d'universo compresa stra a e b. L'integrale ha un massimo quando la linea d'universo è dritta, infatti deve valere 0 quando è lungo una linea chiusa, che è curva per definizione, mentre un orologio in quiete ha segna un tempo $t=1/c \int{ds} $ sempre maggiore di uno in moto. Se non ci fosse il segno - davanti alla costante positiva $\alpha$, l'azione non potrebbe avere un minimo. Si ricordi, inoltre, che l’azione può esprimersi anche come integrale nel tempo della lagrangiana
\[
S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt
\]
Sostituendo nella \ref{eq:azionelibera} $ds=cdt'= c dt/\gamma$, 
\[
S=-\alpha\int_{a}^{b} ds=-\alpha c \sqrt{1-\beta^2}\int_{t_1}^{t_2}{dt}
\]
da cui troviamo la lagrangiana per la particella libera $\mathcal{L}=-\alpha c \sqrt{1-\beta^2}=-\alpha\sqrt{c^2-v^2}$.
Per determinare la costante $\alpha$ calcoliamo il limite classico per $\beta \rightarrow 0$ sviluppando in serie:
\[
\mathcal{L}=-\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cong-\alpha c\left(1-\frac{v^2}{2c^2}\right)=-\alpha c+\frac{1}{2}\alpha\frac{v^2}{c}
\]
Il primo termine della lagrangiana non dipende dalla velocità della particella, per cui è una costante arbitraria. Uguagliando il termine dipendente dalla velocità con l'espressione della lagrangiana classica di particella libera $p^2/2m$, si ottiene $\alpha = mc$ e:
\begin{equation}
    \mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
    \label{eq:liberaAzione}
\end{equation}

L'impulso lo ricaviamo dall'azione derivandola rispetto alla velocità:
\begin{equation}
\mathbf{p}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{v}}=-mc^2\frac{-2\frac{\mathbf{v}}{c^2}}{2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= m\gamma\mathbf{v}
\label{eq:triimpulso}
\end{equation}
La forza agente sulla particella si ottiene come derivata temporale dell’impulso:
\[
\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\gamma\frac{d\mathbf{v}}{dt}+m\mathbf{v}\frac{d\gamma}{dt}
\]
Per forze centrali, in cui $F\perp v$,  il modulo di v è costante, quindi il II termine è nullo e 
\[
F=m\gamma\frac{d\mathbf{v}}{dt}
\]
Il caso generale è più complicato: 

Nel caso di forza parallela alla velocità:
\[
F=\frac{m}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}\frac{d\mathbf{v}}{dt}
\]
(da verificare)
L'energia si ricava dalla relazione Hamiltoniana:
\begin{equation}
    \mathcal{E} = \mathbf{p\dot q} - \mathcal{L}     = m\gamma v \cdot v + \frac{m c^2}{\gamma}=
    \gamma m\left(v^2+\frac{c^2}{\gamma^2}\right)=\gamma m\left(v^2+c^2-v^2\right)= m\gamma c^2
\label{eq:enerrel}
\end{equation}
 Dalle \ref{eq:triimpulso} e \ref{eq:enerrel}, possiamo derivare una importante relazione:
 \[
\begin{cases}
    \mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}\\
    \mathcal{E}=m\gamma c^2
\end{cases}
\Rightarrow \frac{p}{\mathcal{E}}=\frac{\beta}{c}
\]
Inoltre, la \ref{eq:enerrel} ci dice che anche per $v=0$, la una particella dotata di massa ha un energia {\it a riposo} $E_0 = m c^2$.\par
Definiamo ora il quadrivettore:
\begin{equation}
    p^\mu \equiv \left( \frac{\mathcal{E}}{c}, \mathbf{p}\right)
    \label{eq:quadriimpulso}
\end{equation}
detto quadri-impulso; il modulo quadro di questo quadrivettore è:
\begin{equation}
p^\mu p_\mu = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu=\frac{\mathcal{E}^2}{c^2} - m^2\gamma^2 v^2= m^2 c^2 \gamma^2 (1 -\beta^2 )=m^2 c^2
\label{eq:pmodquad}
\end{equation}
Per una particella o un sistema in moto, nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa,  siccome il modulo del quadrivettore è invariante, $(p^0)^2= m^2 c^2$ e quindi $p^0/c$ è la massa {\it invariante} del sistema.\par
Infine, dalla \ref{eq:pmodquad}: 
\[
\frac{\mathcal{E}^2}{c^2} = p^2 + |\mathbf{p}|^2 = m^2 c^2+|\mathbf{p}|^2 
\]
 quindi, l'energia, o meglio l'Hamiltoniana è:
 \begin{equation}
     \mathcal{H}= c\sqrt{m^2 c^2+|\mathbf{p}|^2}
 \end{equation}

\section{Rappresentazione covariante delle equazioni di Maxwell}
\label{sec:maxwellcov}
Scriviamo la prima e la quarta equazione di Maxwell in forma locale
Ricordando che $\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}\Phi-\dot{\mathbf{A}}$ e che $\mathbf{B}=\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}$ si ha:
\[
\begin{cases}
    \nabla \cdot \mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\\
    \mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t }
\end{cases}
\]
 sostituendo le espressioni per E e B:
\[
\begin{cases}
-\mathbf{\nabla}\left(\mathbf{\nabla}\Phi+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon}&\\
\mathbf{\nabla}\times\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}=\mathbf{\nabla}\left( \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{A}\right) -\mathbf{\nabla}^2 \mathbf{A} =\mu\mathbf{J}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathbf{\nabla}\Phi+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)
\end{cases}
\]
Nella prima equazione aggiungiamo e sottraiamo la quantità $\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{{\partial t}^2}$
\[
\begin{cases}
    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{{\partial t}^2}-\mathbf{\nabla}^2\Phi -
    \frac{\partial \nabla\cdot A}{\partial t}-  \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{{\partial t}^2} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\\
    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{A}}{{\partial t}^2}-\mathbf{\nabla}^2\mathbf{A}+\mathbf{\nabla}(\nabla\cdot\mathbf{A}) =\mu\mathbf{J}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{\nabla}\Phi}{\partial t }
\end{cases}
\]
Che possiamo scrivere come:
\begin{equation}
\begin{cases}
    \Box\Phi -\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla\cdot \mathbf{A} +\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{{\partial t}}\right)= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\
    \Box \mathbf{A} + \nabla\left( \nabla\cdot \mathbf{A} +\frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{{\partial t}}\right)= \mu_0\mathbf{J}
\end{cases}
\label{eq:lorentzclassic}
\end{equation}
che, se definiamo un quadrivettore:
\begin{equation}
A^\mu \equiv 
\begin{pmatrix}
    \frac{\Phi}{c}\\
    \mathbf{A}
\end{pmatrix} 
\label{eq:quadripot}
\end{equation}
possiamo scrivere in modo compatto, ricordando gli operatori di quadri-derivazione \ref{eq:quadridev} e dividendo la prima equazione per $c^2=(\epsilon_0\mu_0)^{-1}$: $\Box \Phi/c^2 - 1/c \partial_t/c (...) =\rho/(c^2 \epsilon)=\rho\mu_0$ che posso scrivere come :
$\partial_\mu\partial^\mu A^0/c - 1/c \partial^0(\partial_\nu A^\nu)=\mu_0J^0/c$ e dunque, sommando le due equazioni:
\begin{equation}
    \partial_\nu\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu\partial_\nu A^\nu = \mu_0 J^\mu
    \label{eq:dalanlorenz}
\end{equation}
dove abbiamo definito la quadricorrente: 
\begin{equation}
    J^\mu \equiv \begin{pmatrix}
    c\rho\\
    \mathbf{J}
    \end{pmatrix}
\end{equation}

L'espressione fra parentesi \ref{eq:lorentzclassic}, ovvero $\partial_\nu A^\nu$, è nulla se ci si mette nella gauge di Lorenz, sfruttando l'arbitratietà della scelta di $\mathbf{A}$ a meno di un potenziale (vedi sez.\ref{sec:MaxwellCompl}). Con questa scelta, la \ref{eq:dalanlorenz} diventa:
\begin{equation}
    \Box A^\mu =\mu_0 J^\mu
\end{equation}
Ad ogni modo, se lasciamo nell'equazione \ref{eq:dalanlorenz}, il termine nullo della condizione di Lorentz, possiamo raccogliere una derivazione e scrivere:
\begin{equation}
    \partial_\nu \left(\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu\right)=\mu_0 J^\mu \Leftrightarrow \partial_\nu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\mu
\end{equation}
che definisce il tensore antisimmetrico {\it campo elettromagnetico}
\begin{equation}
    F^{\mu\nu} = \partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu 
    \label{eq:tensEM}
\end{equation}
Possiamo verificare che: 
\[
F^{i0}=\partial^0 A^i - \partial^i A^0 = 1/c \left(\frac{\partial A^i}{\partial t}+ \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \right) = -\frac{E^i}{c}
\]
e, analogamente:
\[
F^{ij} = \partial^j A^i - \partial^i A^j = -(\nabla\times A)_k  =-B_k
\]
In definitiva:
\begin{equation}
F^{\mathrm{\mu\nu}}=\begin{pmatrix} 
0&E_x/c& E_y/c&E_z/c\\
-E_x/c& 0& -B_z& B_y\\
-E_y/c& B_z& 0 &-B_x\\
-E_z/c& -B_y& B_x& 0
\end{pmatrix}
\label{eq:fmunu-matrix}
\end{equation}
Si può verificare che la II e la III equazioni di Maxwell (paragrafo \ref{sec:MaxwellCompl}), si possono raccogliere nell'espressione:
\begin{equation}
\partial_\alpha F_{\beta\gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha}+\partial_\gamma F_{\alpha\beta}=0
\label{eq:Fcycl}
\end{equation}

\section{Particella carica in moto in un campo EM}
L’azione di una particella in moto in un campo elettromagnetico è composta di due termini: l’azione della particella libera, descritta nel paragrafo \ref{sec:mecrec}, e un termine che descrive l’interazione della particella con il campo. Quest’ultimo deve contenere sia le grandezze che caratterizzano la particella, sia quelle che caratterizzano il campo. Le proprietà della particella sono definite, per quanto concerne la sua interazione con il campo elettromagnetico, da un solo parametro, ovvero dalla carica {\it e} della particella. Le proprietà del campo sono, invece, caratterizzate dal quadripotenziale $A_\mu$, le cui componenti sono funzioni delle coordinate e del tempo. Queste grandezze compaiono nell’azione tramite un termine di interazione che deve essere invariante. Classicamente: $\mathcal{L}_{int} = T - e\Phi$, quindi affinché  $\mathcal{L}_{int} dt$ sia invariante, visto che $dt' = \gamma dt$, dovrà essere invariante $\mathcal{L}_{int}\gamma$. Ora, $\gamma = \mathcal{E}/(mc^2)$ quindi, $-e\Phi\mathcal{E}/(mc^2)=-e p^0A_0/m$ (usando la \ref{eq:quadriimpulso} e la \ref{eq:quadripot}); generalizzando, possiamo scrivere: $\mathcal{L}_{int}\gamma = -\frac{e}{m}p^\mu A_\mu=\gamma u^\mu A_\mu$
\begin{equation}
    S_{int}=-e\int_{a}^{b}{A_\mu dx^\mu}
    \label{eq:azioneIntEM}
\end{equation}
quindi, l'azione complessiva per una particella in moto nel C.E.M.è:
\[ 
S=\int_{a}^{b}\left(-mc\ ds - eA_\mu dx^\mu\right)
\]

Tenuto conto che $ds=\sqrt{(cdt)^2-(dr)^2} = cdt\sqrt{1- u^2/c^2} = mc/\gamma$ e $A_\mu dx^\mu=A_0dx^0-A_idx^i=\frac{\Phi}{c}cdt -A_i \frac{dx^i}{dt} dt$

\[
S= -\int_{t_1}^{t_2}\left( -\frac{mc^2}{\gamma}-e\Phi +e \mathbf{A}\cdot \mathbf{u}\right) dt
\]
quindi la Lagrangiana di una particella in moto in un campo elettromagnetico è:

\begin{equation}
    \mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1- u^2/c^2} - e \Phi +e \mathbf{A}\cdot \mathbf{u}
\label{eq:LagrMotoEM}
\end{equation}

L’impulso generalizzato $ \mathbf{P}$ si ottiene derivando la lagrangiana rispetto alla velocità.
\begin{equation}
\mathbf{P}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{u}}= \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}+e\mathbf{A} = \mathbf{p} + e\mathbf{A}
\label{eq:Pgener}
\end{equation}
L'Hamiltoniana, dalla relazione $\mathcal{H}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{u} - \mathcal{L}$:
\[
 \mathcal{H}=(\mathbf{p} + e\mathbf{A})\cdot \mathbf{u} -\left( -\frac{mc^2}{\gamma} -e\Phi +e \mathbf{A}\cdot \mathbf{u}\right)=\mathcal{H}_L+e\Phi
\]
dove $\mathcal{H}_L$ è la lagrangiana di particella libera \ref{eq:enerrel}, quindi:
\begin{equation}
\mathcal{H}= \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}  +e\Phi
\label{eq:HamilEM}
\end{equation}
Allora, se la relazione tra $\mathcal{H}$ e $P$ deve essere la stessa che nel caso di particella libera lega $\mathcal{H}$ e $p$
\[
\mathcal{H}_L=c\sqrt{p_L^2+m^2c^2}\Rightarrow\ \ \mathcal{H}-e\Phi=c\sqrt{\left|\mathbf{P}-e\mathbf{A}\right|^2+m^2c^2}
\]
Per velocità piccole rispetto a c, la \ref{eq:LagrMotoEM} si può scrivere
\begin{equation}
\mathcal{L}\simeq \frac{mv^2}{2}-e\Phi+ e \mathbf{A}\cdot \mathbf{v}
\label{eq:lagranEM}
\end{equation}
e, con le medesime approssimazioni, l'Hamiltoniana:
\[
\mathcal{H}\simeq e\Phi+\frac{1}{2m}\left|\mathbf{P}-e \mathbf{A}\right|^2
\]

Inoltre, applicando l’equazione di Eulero – Lagrange, a partire dalla scrittura della funzione hamiltoniana, si può ricavare l’espressione della forza di Lorentz. Infatti l’equazione di Eulero – Lagrange, come noto, è
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{v}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{x}}=\mathbf{0}
\]
tenuto conto della \ref{eq:lagranEM}, e dell'identità:
\[
\mathbf{\nabla}(A\cdot B)=(A\cdot \nabla) B+(B\cdot\nabla) A+B\times\nabla\times A+A\times\nabla\times B
\]
calcoliamo le derivate della lagrangiana:

\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{x}}=-e\mathbf{\nabla}\Phi+e\mathbf{\nabla}(A\cdot v) = -e\mathbf{\nabla}\Phi +
e \left[ (A\cdot\nabla)v +(v\cdot\nabla)A + v \times\nabla \times A + A\times\nabla\times v\right]
\]
Se v è costante, le sue derivate sono nulle:
\[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{x}} = -e\mathbf{\nabla}\Phi +
e\left[(v\cdot\nabla)A + v \times\nabla \times A\right] = -e\mathbf{\nabla}\Phi+ e(v\cdot\nabla) A+ ev\times B
\]
In cui riconosciamo la forza di Lorenz: $ev\times B$.
Il primo termine è
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{v}}=\frac{d}{dt}\left(\mathbf{p}_\mathbf{L}+e\mathbf{A}\right)
\]
Uguagliando i due membri:
\[
\frac{d\mathbf{p}_{L}}{dt}=-e\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-e\mathbf{\nabla}\Phi+e (\mathbf{v}\cdot\mathbf{\nabla}) A+e\mathbf{v}\times B
\]
e scrivendo la derivata totale temporale come:
$\frac{d\mathbf{A}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}+(v\cdot\nabla) A$ otteniamo:
\[
\mathbf{F}=-e\left(\frac{d\mathbf{A}}{dt}+\mathbf{\nabla}\Phi\right)+ e \mathbf{v}\times\mathbf{B} = -e\mathbf{E} + e\mathbf{v}\times\mathbf{B}
\]
Che è la forza totale che agisce su una particella carica in moto con velocità costante in presenza di campi elettrici e magnetici.

Alla stessa conclusione si giunge dal principio di minima azione:

\[
\delta S=\delta\int_{a}^{b}\left(-mcds-eA_\mu dx^\mu\right)=-\int_{a}^{b}\left(mc\;\delta ds+eA_\mu\;\delta dx^\mu+e\delta A_\mu dx^\mu\right)=0
\]
visto che $ds= (dx_\mu dx^\mu)^{1/2}$ allora 
$\delta\;ds=1/2 ds^{-1} \cdot 2 x^\mu \delta dx^\mu$:
\[
\delta S=-\int_{a}^{b}{\left(mc\frac{dx_\mu\delta dx^\mu}{ds}+eA_\mu\delta dx^\mu+e\delta A_\mu dx^\mu\right)=0}
\]
Definita la velocità $u^\mu = \frac{dx^mu}{ds} $,
\[
\delta S=\int_{a}^{b}{\left(mc u_\mu\delta dx^\mu +eA_\mu\delta dx^\mu+e\delta A_\mu dx^\mu\right)=0}
\]
Ora possiamo integrare per parti i primi due termini, tenendo conto che $\delta dx_\mu=d\delta x_\mu$:
\[
\delta S=-mcu_\mu\delta x^\mu+\int_{a}^{b}{mc\delta x^\mu du_\mu}-eA_\mu\delta x^\mu+\int_{a}^{b}{e\delta x^\mu dA_\mu}-\int_{a}^{b}{e\delta A_\mu dx^\mu}=0
\]
Raccogliendo i termini integrali e quelli integrati:

\[
\delta S=\int_{a}^{b}\left(mc\delta x^\mu du_\mu+e\delta x^\mu dA_\mu-e\delta A_\mu dx^\mu\right)-\left(mcu_\mu + eA_\mu\right)\delta x^\mu|_a^b = 0
\]
Il secondo termine di quest'ultima espressione è nullo, perché la variazione è fatta cpn le coordinate fisse agli estremi, quindi $\delta x^\mu|_a^b = 0$, quindi:
\[
\delta S=\int_{a}^{b}\left(mc\delta x^\mu du_\mu+e\delta x^\mu dA_\mu-e\delta A_\mu dx^\mu\right)
\]
Tenuto conto che: 
\[
\delta A_\mu=\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\delta x^\nu \qquad dA_\mu=\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}dx^\nu 
\]
\[
\delta S=\int_{a}^{b}{\left[mc\; du_\mu+e\left(\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}-\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}\right)dx^\nu\right]\delta x^\mu}=0
\]
dove, nella somma fra parentesi, abbiamo potuto scambiare gli indici $\mu$ e $\nu$, perché sono saturati, e riconosciamo il tensore campo elettromagnetico: $F_{\mu\nu}$. Infine, espandendo $du_\mu=\frac{du_\mu}{ds} ds$ e $dx^\mu=u^\mu ds$ e tenendo conto dell'arbitrarietà degli estremi di integrazione:
\[
mc\frac{du_\mu}{ds}-e\left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\right)u^\nu=0
\]
ovvero:
\begin{equation}
    mc\frac{du_\mu}{ds} = e F_{\mu\nu} u^\nu
    \label{eq:motoincampo}
\end{equation}
che è l'equazione del moto di una particella di massa $m$ e carica $e$ in un campo E.M., in forma 4-dimensionale.
\section{Trasformazioni di Lorentz del campo EM}
Il tensore campo E.M., si trasforma con la regola generale per i tensori come:
\[
F^{\prime\mu\nu}=\Lambda_\rho^\mu\Lambda_\sigma^\nu F^{\rho\sigma}
\]
Specializziamo la trasformazione per un esempio pratico, come un boost lungo $x_3$. Quindi, per esteso:
\begin{equation}
    \Lambda = 
    \begin{pmatrix}
        \gamma & 0& 0& -\gamma \beta\\
        0&1&0&0\\
        0&0&1&0\\
        -\gamma\beta &0&0 &\gamma
    \end{pmatrix}
\end{equation}
Prendiamo gli indici 0 e 1, dalla \ref{eq:fmunu-matrix}: $F^{01}=E_x/c$, allora, la trasformazione è: 
\[
F^{\prime 01}=E'_x/c = \Lambda_\rho^0\Lambda_\sigma^1 F^{\rho\sigma}
\]
Dobbiamo esplicitare la somma con $\rho$ e $\sigma$ che vanno da 0 a 3:
\begin{equation}
E'_x/c =\Lambda_\rho^0\Lambda_\sigma^1F^{\rho\sigma}=\Lambda_0^0\Lambda_1^1F^{01}+\Lambda_3^0\Lambda_1^1F^{31}=\gamma\left(E_x/c- \beta B_y\right)
\end{equation}
Analogamente per le altre due componenti, si ottiene:
\begin{eqnarray}
E_y^\prime/c=\Lambda_\rho^0\Lambda_\sigma^2F^{\rho\sigma}=\Lambda_0^0\Lambda_2^2F^{02}+\Lambda_3^0\Lambda_2^2F^{32}=\gamma\left(E_y/c+\beta B_x\right)    \\
E_z^\prime/c=\Lambda_\rho^0\Lambda_\sigma^3F^{\rho\sigma}=\Lambda_0^0\Lambda_3^3F^{03}=\Lambda_0^0\Lambda_3^3F^{03}+\Lambda_3^0\Lambda_0^3F^{30}=E_z/c
\end{eqnarray}

In generale, si può dimostrare che, scomponendo i vettori dei due campi lungo la direzione parallela a quella della velocità v ed ortogonale a quest’ultima, si ha
\begin{eqnarray}
    \mathbf{E}_{\prime\prime}^\prime=\mathbf{E}_{\prime\prime}&\mathbf{E}_\bot^\prime=\gamma\left(\mathbf{E}_\bot+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)\\
    \mathbf{B}_{\prime\prime}^\prime=\mathbf{B}_{\prime\prime}&\mathbf{B}_\bot^\prime=\gamma\left(\mathbf{B}_\bot+\frac{\mathbf{v}}{c^2}\times\mathbf{E}\right)
\end{eqnarray} 
dove risulta chiaro che il campo magnetico trasverso può essere prodotto da una particella carica (che genera il campo) in moto anche in assenza di un campo magnetico iniziale.
