\chapter{Elementi di Campi}
\label{chap:campi}
\section{Definizioni}
\label{sec:campi_def}
Una quantità fisica che assuma un valore ben definito n ogni punto dello spazio, definisce un {\em campo} di questa quantità. Per esempio, la temperatura dell'aria sulla superficie terrestre, varia con continuità da punto a punto, ma in ogni punto in un determinato istante assume un valore ben determinato (per es. da una misura a quell'istante), definisce il campo termico al momento della misura.
Se la quantità considerata è uno scalare, come, appunto, la temperatura o la pressione, definisce un campo scalare, se vettoriale, come la velocità, una forza, definisce un campo vettoriale.\par
\subsection{Campo Scalare}
\label{subs:campo_scal}
Un campo scalare è definito da una funzione $U(x, y, z)$ del punto determinato dalle coordinate $x, y, z$. In corpo riscaldato, la temperatura varia da punto a punto e si può definire il campo termico nel volume o sulla superficie del corpo. Se consideriamo un punto $M$ e tracciamo una linea orientata $\ell$ , attraverso il punto $M$, preso un altro punto $M'$ sulla medesima retta, possiamo considerare la derivata del campo rispetto alla direzione $\ell$, come limite del rapporto incrementale:
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial \ell} =\lim_{MM'\rightarrow 0} \frac{U(M') - U(M)}{\bar{MM'}}
\label{eq:der_dir}
\end{equation}
In ciascun punto si possono definire infinite derivate in tutte le direzioni, ma queste possono tutte essere espresse in termini delle derivate rispetto alle direzioni di $x, y, z$:
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial \ell} = \frac{\partial U}{\partial x}cos(\ell ,x) + \frac{\partial U}{\partial y} cos(\ell, y)+\frac{\partial U}{\partial z} cos(\ell, z)
\label{eq:der_cos_dir}
\end{equation}
Se la linea $\ell$, invece di essere una retta è una curva $s$ che attraversa il punto M, la (\ref{eq:der_cos_dir}) continua ad essere valida, pur di considerare i coseni, come i coseni direttori della tangente alla curva $s$ nel punto $M$nella direzione di $M'$:
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial \ell} = \frac{\partial U}{\partial x}\frac{d x}{d s} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{d y}{d s}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{d z}{d s}
\label{eq:der_cos_dir1}
\end{equation}
\subsubsection{Superfici di livello}
Consideriamo le superfici caratterizzate dalla proprietà che in ciascun loro punto, il campo scalare $U(M)$ ha lo stesso valore costante $C$. Queste sono la famiglia di superfici di livello $U(M)=C$ definite dalla costante $C$. Per es.nel caso del corpo riscaldato, le superfici di uguale temperatura.
Sia $S$ la superficie di livello che passa attraverso il punto $M$ (Fig.\ref{Fig:SupLev}).
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{SupLev.eps}
\end{center}
\caption{Definizione delle direzioni su una superficie di livello attraverso il punto M}
\label{Fig:SupLev}
\end{figure}
 Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso $M$, la normale alla superficie $\overrightarrow n$, e le direzioni $\overrightarrow t_1$ e $\overrightarrow t_2$, sul piano tangente. Siccome $U(M)$ è costante lungo tutti i punti di S:
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial t_1} =\frac{\partial U}{\partial t_2}= 0
\end{equation}
e dunque, presa una qualsiasi direzione $\ell$, vista la (\ref{eq:der_cos_dir1}), sarà:
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial \ell} = \frac{\partial U}{\partial n}\frac{d \overrightarrow n}{ d\ell}
\label{eq:pre_grad}
\end{equation}
\subsubsection{Gradiente di un campo scalare}
Se consideriamo un vettore di modulo $\frac{\partial U}{\partial n} $ nella direzione $\overrightarrow n$, normale alla superficie di livello, la cui proiezione in una direzione $\ell$ dà la derivata di $U$ rispetto ad $\ell$ questo definisce il {\em gradiente} del campo scalare $U$:
\begin{equation}
\frac{\partial U(M)}{\partial \ell} = grad_{\ell}\, U(M)
\end{equation}
dove $grad_{\ell} U(M)$ è la proiezione del gradiente di $U$ lungo $\ell$, nel punto $M$. Viste le (\ref{eq:der_cos_dir}) e (\ref{eq:pre_grad}), possiamo scrivere:
\begin{equation}
\frac{\partial U(M)}{\partial \ell} = \overrightarrow \nabla U(M) \cdot \overrightarrow \ell
\label{eq:grad_nabla}
\end{equation}
in cui abbiamo introdotto l'operatore vettoriale $\overrightarrow \nabla$ ({\em nabla} dal greco \begin{otherlanguage*}{greek}nabla\end{otherlanguage*}, arpa), tale che $\overrightarrow \nabla U\equiv grad \, U(M)$. In coordinate cartesiane:
\begin{displaymath}
 \overrightarrow \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{\mathbf i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{\mathbf j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{\mathbf k}
\end{displaymath}
La direzione del gradiente di $U$ è sempre quella della normale alla superficie di livello nel verso un cui in cui il campo è crescente.
\subsubsection{Un esempio di uso del gradiente: il flusso di calore}
Se i punti di un corpo hanno temperature differenti, il calore tenderà a a passare da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore. La quantità di calore che attraversa un elemento di superficie $dS$ nell'unità di tempo $dt$, sarà proporzionale a $dS$, $dt$, e alla derivata della temperatura nella direzione $\mathbf{n}$ normale a $dS$:
\begin{equation}
dQ=k\, dS\, dT \left| \frac{\partial T}{\partial \mathbf{n}} \right|
\label{eq:flusso_calore}
\end{equation}
in cui, il coefficiente di proporzionalità $k$ è la conducibiltà termica. Il modulo è necessario perché, se utilizziamo la definizione di gradiente, questa porta ad un segno negativo, perché il flusso di calore va nella direzione delle temperature decrescenti, mentre il gradiente di T, va nella direzione opposta per definizione. Dunque, la (\ref{eq:flusso_calore}) si può scrivere:
\begin{equation}
dQ=k\,\left|\overrightarrow \nabla T \cdot \mathbf{n}\right|\, dS \, dt 
\label{eq:flusso_nabla}
\end{equation}
\subsection{Campi vettoriali}
\label{subs:campi_vett}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tubovett.eps}
\end{center}
\caption{Linea del campo vettoriale e tubo vettoriale}
\label{Fig:tubovett}
\end{figure}

Consideriamo ora un campo vettoriale: ovvero un vettore $A(M)$ il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto $M$ dello spazio occupato dal campo.
Definiamo una linea del campo vettoriale, la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo $A(M)$ in quel punto. Si può mostrare che la linea di campo ha equazione:
\begin{equation}
\frac{dx}{A_x}=\frac{dy}{A_y}=\frac{dz}{A_z}
\end{equation}
Se $A_x, A_y, A_z$ sono continue e con derivate continue, per ogni punto $M$ passa ua ed una sola linea di campo vettoriale. Se tracciamo le linee di campo attravrso tutti i punti di una superficie $S$, il loro insieme forma un {\em tubo vettoriale} (Fig.\ref{Fig:tubovett}).
Per esempio, un tubo di flusso è l'insieme dei vettori densità $\times$ velocità di un fluido attraverso una superficie.
\subsection{Formule integrali utili}
\subsubsection{Formula di Ostrogradskij}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Ostro.eps}
\end{center}
\caption{Definizione delle variabili per la formula di Ostrogradskij}
\label{Fig:ostrograd}
\end{figure}
Consideriamo una funzione R(x,y,z) continua e con le derivate continue in un dominio $V$ limitato dalla superficie $S$, e consideriamo l'integrale su $dV$ della funzione $\frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z}$.
\begin{align}
\nonumber
\int_V \frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z} dV =& \int_{\sigma_{xy}} d\sigma_{xy}\int\frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z} dz=\\
\nonumber
&=\int_{\sigma_{xy}} \left[R(x,y,z_2) -R(x,y, z_1)\right] d\sigma_{xy}=\\
&= \int R(x,y,z)\,cos(n, z) dS
\end{align}
Analogamente posso procedere per l'integrazione di altre due funzioni $P(x,y,z)$ e $Q(x,y,z)$ rispettivamente lungo $x$ e $y$ e ottenere la {\em Formula di Ostrogradskij}
\begin{align}
\nonumber
\int_V & \left(\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z}\right) dV= \\
&=\int_S \left[P(x,y,z)\, cos(n, x) + Q(x,y,z)\, cos(n,y), + R(x,y,z) cos(n, z)\right] dS
\label{eq:ostrog}
\end{align}
\subsubsection{Divergenza di un campo vettoriale}
Se applichiamo la (\ref{eq:ostrog}) alle $A_x, A_y, A_z$, otteniamo:
\begin{align}
\nonumber
\int_V &\left( \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}+ \frac{\partial A_z}{\partial z}\right) dV =\\
\nonumber
&\int_S \left[A_x \,cos (n, x)+ A_y\, cos(n, y)+ A_z \,cos(n, z)\right] dS= \\
&\int_S \overrightarrow A \cdot {\mathbf n}\, dS
\label{eq:div1}
\end{align}
Il primo membro della (\ref{eq:div1}) è l'integrale sul volume della {\em divergenza} del vettore $\overrightarrow A$, che risulta uguale al flusso del vettore A attraverso la superficie S che racchiude il volume:
\begin{equation}
\int_V div \, \overrightarrow A\,dV = \Phi_S(A) =\int_S \overrightarrow A \cdot {\mathbf n}\, dS
\label{eq:Ostrograd}
\end{equation}
avendo definito:
\begin{equation}
\boxed{div \, \overrightarrow A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}+ \frac{\partial A_z}{\partial z}=\overrightarrow\nabla\cdot \overrightarrow A}
\end{equation}
\subsection{Potenziale e Rotore del campo vettoriale}
Consideriamo un campo di forze $\mathbf{F}$, il lavoro compiuto dal campo o sul campo è 
\[
L=\int{\mathbf{F}(x,y,z)\cdot dr}
\]
dove $dr$ è lo spostamento infinitesimo. Quando il lavoro non dipende dal percorso ma solo dai punti iniziali e finali $A$ e $B$, allora il campo è {\it conservativo} possiamo scrivere
\begin{equation}
L=\int_A^B{\mathbf{F}(x,y,z)\cdot dr}= U(A)-U(B) = -\Delta U
\label{eq:pot}
\end{equation}

dove U è una funzione scalare del punto, che prende il nome di {
\it potenziale} del campo $\mathbf{F}$.
Scrivendo F per componenti
\[
F_x dx +F_y dy+ F_z dz = -dU
\]
quindi:
\begin{equation}
F= -\nabla U
\label{eq:fnablau}
\end{equation}
Vista la \ref{eq:pot}, l'integrale lungo una curva chiusa è nullo, quindi
\[
\oint{\mathbf{F}\cdot dr} = 0
\]

Riscrivendo pae componenti la \ref{eq:fnablau}:
\[
\mathbf{F}=-\sum_i{\frac{\partial U}{\partial x_i}\hat{e}_i}
\]
possiamo dire $F_i=-\frac{\partial U}{\partial x_i}$. Se $F\in C^1$ e $U\in C^2$ allora possiamo uguagliare:
\[
\frac{\partial^2 U}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 U}{\partial x_j\partial x_i}
\]
ovvero 
\[
\frac{\partial F_j}{\partial x_i}-\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\epsilon_{ijk}\nabla_iF_j=0
\]
Il secondo membro altro non è che la componente k della espressione:
\begin{equation}
    \nabla\times \mathbf{F}=rot(\mathbf{F})
\end{equation}
dove abbiamo definito il rotore di F.  \par
Dunque, per le forze conservative, il rotore è nullo, e, pertanto si dicono irrotazionali.
In generale (Smirnov II), dato un contorno chiuso che delimita una superficie $\sigma$, e data una funzione $P(x,y)\in C^2$:
\[
\iint{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}d\sigma}=\int_A^B{dx \int_{y_1}^{y_2}{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dy}} = \int_A^B{[P(x,y_2)-P(x, y_1)]dx }
\]
dove $y_1(x), y_2(x)$ sono le porzioni inferiore (I) e superiore (II) del contorno limitato in  x=A e x=B. Sicché: il primo addendo è
\[
 \int_A^B{P(x,y_2)dx} = -\int_{B (II)}^A {P(x,y) dx}
\]
e, analogamente, il II addendo e l'integrale da A a B. In definitiva:
\[
\iint{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}d\sigma} = -\oint_\ell {P(x,y)dx}
\]
Possiamo fare lo stesso ragionamento per una funzione $Q(x,y)$:
\[
\iint{\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}d\sigma}= \int_\alpha^\beta[{Q(x_2, y) - Q(x_1, y)]dy} = \int_\ell {Q(x,y) dy}
\]
Dunque, sommando:
\[
\iint_\sigma {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma} = \int_\ell {Pdx + Q dy}
\]
In 3 dimensioni possiamo introdurre un'altra funzione R e ripetere il tutto in z. All'integrale di volume, applichiamo la formula di Ostrogradskij \ref{eq:Ostrograd}, dunque:
\begin{align}
    \nonumber
        \int_l{P dx + Q dy+R dz} = & \\
    \nonumber 
    & = \iint\left[\left(\frac{\partial R}{\partial y}- \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\cos(n,x) + \right.\\
    \nonumber
     & + \left(\frac{\partial P}{\partial z}- \frac{\partial R}{\partial x} \right) \cos(n,y) \\
     \nonumber
    & + \left.\left(\frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right)\cos(n,z)\right] dS=\\  
    \
    &=\iint_S{\nabla\times (P,Q,R)\cdot \mathbf{n}\;dS}
\end{align}