\section{Oscillazioni di un reticolo cristallino monodimensionale}
Fin'ora abbiamo considerato i solidi come dei continui omogenei. Nei materiali cristallini, possiamo considerare gli atomi che compongono i cristalli, in posizioni che formano un reticolo periodico: il {\em reticolo cristallino}. Gli atomi che compongono il reticolo cristallino si attraggono reciprocamente con una forza che dipende dal tipo di cristallo considerato (ionico, covalente, molecolare, etc...) e, se spostati dalla posizione di equilibrio, tendono a ritornarci, oscillando. In prima approssimazione possiamo considerare che l'attrazione fra gli atomi del cristallo sia solo fra i primi vicini, trascurando l'attrazione con gli atomi a distanze maggiori di un passo reticolare.\par
\subsection{Reticoli di Bravais}
Un concetto fondamentale nella descrizione dei cristalli è quello del reticolo di Bravais che specifica la matrice periodica in cui sono organizzate le unità ripetute del cristallo. Queste unità, possono essere composte da uno o più atomi o molecole, il reticolo di Bravais descrive solo la geometria della strutura periodica sottostante.\par
Un reticolo di Bravais tridimansionale può essere descritto da tutti i punti che abbiano un vettore di posizione:
\begin{equation}
\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a_1} +n_2 \mathbf{a_2} + n_3 \mathbf{a_3} 
\label{eq:bravais_1}
\end{equation}
dove $\mathbf{a_i}$ sono tre vettori non complanari detti i vettori {\em primitivi} del reticolo e $n_i$ tre numeri interi. È importante che, non solo l'arrangiamento ma anche l'orientazione di un reticolo di Bravais deve apparire lo stesso da qualunque punto del reticolo. Per esempio, un reticolo bidimensionale a nido d'ape (esagonale) non è un reticolo di Bravais, perché appare lo stesso se visto da punti adiacenti solo se si ruota di $180\^o$.\par
Un volume di spazio che, traslato lungo tutti i vettori primitivi in un reticolo di Bravais, riempie tutto lo spazio senza sovrapposizioni o buchi, è detto {\em cella primitiva} del reticolo. La scelta della cella primitiva non è univoca, ma questa deve contenere esattamente un punto reticolare. Pertanro se $n$ è la densità di punti, qualunque sia la scelta, il volume della cella sarà $1/n$.
Un cristallo fisico può essere descritto dando il suo reticolo di Bravais e la disposizione degli atomi (molecole, ioni...) nella cella primitiva. Questo insieme è noto come la {\em struttura cristallina} e consiste della medesima unità, detta {\em base}, ripetuta in tutti i punti del reticolo di Bravais. Per esempio, il reticolo bidimensionale esagonale, pur non essendo in sé un reticolo di Bravais monoatomico, può essere considerato un reticolo di Bravais con una base composta da due punti (vedi Fig\ref{fig:bravaisbase}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bravaisbase.eps}
\caption{Il reticolo esagonale visto come reticolo con una base di due punti}
\label{fig:bravaisbase}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Oscillazioni in un reticolo monodimensionale monoatomico}
Consideriamo, ora un reticolo cristallino monodimensionale. Gli ioni, di massa M, sono in equilibrio in posizioni: $\mathbf{R} = n \mathbf{a}$. Se lo ione in posizione $n\mathbf{a}$ si sposta di $\mathbf{u}(n\mathbf{a})$, possiamo considerare che questo ione sia attratto dagli atomi in posizione $(n-1)\mathbf{a}$ e $(n+1)\mathbf{a}$ con una forza che è proporzionale alla distanza (se anche non è così, lo si consideri come uno sviluppo in serie al primo ordine). Se chiamiamo $K$, la costante elastica che lega gli atomi fra loro (la costante di proporzionalità fra la forza e la distanza reciproca, che, se gli atomi sono tutti uguali sarà la stessa per qualunque coppia), allora, possiamo scrivere l'equazione di Newton per l'atomo in posizione $n\mathbf{a}$:
\begin{align}
\nonumber
M\mathbf{\ddot u}(n\mathbf{a}) =& -K\left\{\mathbf{u}((n+1)\mathbf{a})-\mathbf{u}(n\mathbf{a})-\left[\mathbf{u}(n\mathbf{a})-\mathbf{u}((n-1)\mathbf{a})\right] \right\} \\
&= -K \left\{\mathbf{u}((n-1)\mathbf{a}) - 2\mathbf{u}(n\mathbf{a}) + \mathbf{u}((n+1)\mathbf{a})\right\}
\label{eq:oscpart}
\end{align}
Cerchiamo soluzioni del tipo:
\begin{equation}
\mathbf{u}(n\mathbf{a}) = e^{i( k n a - \omega t)}
\label{eq:solper}
\end{equation}
e imponiamo le condizioni periodiche (di Born Von Neumann):
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbf{u}((N+1)\mathbf{a}) = \mathbf{u}(\mathbf{a})\\
\mathbf{u}(0) = \mathbf{u}(N\mathbf{a})
\end{array}
\right.
\label{eq:vonneumann}
\end{equation}
La seconda delle (\ref{eq:vonneumann}) applicate alle \ref{eq:solper} per t = 0, implica: 
$$\mathbf{u}(N\mathbf{a}) = e^{i k N a} = \mathbf{u}(0) = 1$$
che è verificata solo per $kNa= 2n\pi$, e dunque $k = \frac{2\pi}{a}\frac{n}{N}$.\par
Sostituendo la (\ref{eq:solper}) nella (\ref{eq:oscpart}), otteniamo:
\begin{equation}
-M\omega^2e^{i( k n a - \omega t)} = -K\left[e^{ika} -2 + e^{-ik n a}\right] e^{i( k n a - \omega t)} =
-e^{i( k n a - \omega t)} 2K\left[1 - cos(ka)\right]
\end{equation}
Da cui si ricava la relazione di dispersione:
\begin{equation}
\omega = \sqrt{\frac{2K}{M}\left(1 - cos(ka)\right)} = 2\sqrt{\frac{K}{M} sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}
\label{eq:dispmono}
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{reldispmono.eps}
\caption{Relazione di dispersione per un reticolo monodimensionale monoatomico}
\label{fig:reldispmopno}
\end{center}
\end{figure}
Come si vede in Fig.\ref{fig:reldispmopno}, la relazione fra $\omega$ e il numero d'onda, in questo caso non è lineare come nel caso dell'equazione delle onde. Rimane la definizione di velocità di propagazione delle oscillazioni nel mezzo, che, in questo tipo di circostanze dipenderà dalla frequenza della perturbazione:
\begin{equation}
c(\omega)=\frac{\partial \omega}{\partial k}\equiv \nabla_k \omega
\label{eq:def_velsound}
\end{equation}
Nel caso di reticoli tridimensionali, la velocità del suono potrà essere diversa nelle diverse direzioni.
\subsection{Oscillazioni in un reticolo monodimensionale con una base}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{ReticoloBi.eps}
\caption{Catena monodimensionale di atomi identici connessi da costanti elastiche alternate}
\label{fig:ReticoloBi}
\end{center}
\end{figure}
Consideriamo adesso una reticolo di Bravais monodimensionale con una base composta da due atomi per cella primitiva, con posizioni di equilibrio $na$ e $na + d$ (vedi Fig.\ref{fig:ReticoloBi}). Consideriamo gli atomi identici ma sia $d\leq a/2$, in modo che non ci sia sovrapposizione. Gli atomi a distanza $d$ l'uno dall'altro risentiranno di un'attrazione maggiore rispetto a quelli che distano $a-d$ dal vicino. Pertanto, potremo considerare due costanti elastiche: $K$ e $G$ con $K>G$ e due spostamenti per ogni cella primitiva: lo spostamento dalla posizione di equilibrio dell'atomo in posizione $na$: $\mathbf{u_1}(na)$, e lo spostamento di quello in posizione $na+d$: $\mathbf{u_2}(na)$. Scrivendo le equazioni di Newton per questi due atomi, otteniamo:
\begin{eqnarray}
\nonumber
M\mathbf{\ddot u_1}(na) = -K\left[\mathbf{u_1}(na) - \mathbf{u_2}(na)\right] -G \left[ \mathbf{u_1}(na) - \mathbf{u_2}([n - 1]a)\right]\\
M\mathbf{\ddot u_2}(na) = -K\left[\mathbf{u_2}(na) - \mathbf{u_1}(na)\right] -G \left[ \mathbf{u_2}(na) - \mathbf{u_1}([n + 1]a)\right]
\label{eq:sist_retbi}
\end{eqnarray}
Se cerchiamo soluzioni oscillanti del tipo:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\mathbf{u_1}(na) = \epsilon_1 e^{i(kna - \omega t)}
\mathbf{u_2}(na) = \epsilon_2 e^{i(kna - \omega t)}
\end{eqnarray}
Sostituendo nelle (\ref{eq:sist_retbi}), e cancellando i fattori comuni, otteniamo un sistema lineare del primo ordine nelle variabili $\epsilon_1$ e $\epsilon_2$:
\begin{eqnarray}
\nonumber
[M\omega^2 - (K + G)]\epsilon_1 + \left( K + Ge^{-ika}\right)\epsilon_2 = 0\\
\left( K + Ge^{ika}\right)\epsilon_1 +[M\omega^2 - (K + G)]\epsilon_2 = 0
\label{eq:sist_relb2}
\end{eqnarray}
che avrà soluzione se si annulla il determinante dei coefficienti:
\begin{equation}
[M\omega^2 - (K + G)]^2 - \left[K^2 + G^2 +KG(e^{ika} + e^{-ika})\right] = 0
\label{eq:omega2_det}
\end{equation}
che è un'equazione di secondo grado in $\omega^2$ che ha soluzione per:
\begin{displaymath}
\omega^2 - \frac{K + G}{M} = \pm \frac{1}{M} \sqrt{K^2 + G^2 + 2KG cos(ka)}
\end{displaymath}
e dunque, la relazione di dispersione sarà:
\begin{equation}
\omega^2= \frac{K + G}{M}  \pm \frac{1}{M} \sqrt{K^2 + G^2 + 2KG cos(ka)}
\label{eq:reldispbi}
\end{equation}
che ci dice che per ciascuno degli N valori di $k$ ci sono due possibili valori per $\omega$, che ci porta a 2N possibili modi di vibrazione, come è giusto per un sistema con 2n gradi di libertà. Le due curve di $\omega(k)$ sono note come {\em branche} della relazione di dispersione e sono mostrate in Fig-\ref{fig:reldispbi}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{reldispbi.eps}
\caption{Relazione di dispersione per un reticolo monodimensionale con una base di due atomi. La branca inferiore è detta branca acustica ed ha la stessa struttura di quella della catena monoatomica. La branca superiore è detta branca ottica}
\label{fig:reldispbi}
\end{center}
\end{figure}
