\chapter{La distribuzione di Maxwell-Boltzmann}
\section{La distribuzione delle velocità in una dimensione}
L'equazione che descrive la pressione di un fluido in funzione della profondità in un riferimento in cui l'asse z punta in alto è:
\begin{equation}
\frac{dP}{dz}= -\rho g
\label{eq:stevino}
\end{equation}
Dall'equazione di stato dei gas perfetti $P=nRT/V$ e $V=M/\rho$, dunque:

\begin{equation}
P=\frac{nRT\rho}{M} 
\Rightarrow \rho=\frac{MP}{nRT}
\label{eq:pressdens}
\end{equation}

Ora, se M è la massa di una mole $M=N_a m$ dove m è la massa della molecola di gas e $N_a$ il numero di Avogadro. Detta $R/N_a= k_B$ la costante di Boltzmann, la \eqref{eq:stevino} diventa: 
\begin{equation}
\frac{dP}{P} = -\frac{mgz}{k_B T}
\label{eq:barometrica}
\end{equation}
da cui:
\begin{equation}
P(z)=P(0) e^{-\frac{mgz}{k_B T}}
\label{eq:baro}
\end{equation}
Adesso, $mgz$ è l'energia potenziale di una particella di  massa m all'altezza z. Visto che dalla \eqref{eq:pressdens}, $P(z)\propto\rho(z)$, e $\rho$ altro non è che il numero di particelle per unità di volume e le particelle che arrivano a z hanno una velocità tale che $1/2 mv^2 = mgz$:
\begin{equation}
n(v_z)=n(0)e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}}
\label{eq:nz}
\end{equation}
L'eq. \eqref{eq:nz} definisce la funzione di distribuzione delle velocità f(v) che ci dà la frazione di particelle con velocità compresa tra v e v+dv:
\begin{equation}
    dn/n(0)=f(v)dv=f_0 e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}} dv
    \label{eq:fvmono1}
\end{equation}
La costante $f_0$ si calcola imponendo che integrando su tutte le velocità, la frazione sia uguale ad 1:
\begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty} f_0 e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}} dv =1
\end{equation}
che è l'integrale di una funzione di distribuzione di Gauss, che vale $\sqrt{\pi}$, a patto di eseguire il cambio di variabili: $\xi^2 = m/2k_BT v^2$, dunque:
\begin{equation*}
    f_0 =\sqrt{\frac{m}{2\pi k_B T}}
\end{equation*}
Quindi la distribzione delle velocità lungo z si scrive:
\begin{equation}
    f(v_z) =\sqrt{\frac{m}{2\pi k_B T}} e^{-\frac{mv_z^2}{2k_B T}}
    \label{eq:distrv_mono}
\end{equation}
\section{La distribuzione delle velocità in tre dimensioni}
La velocità di una particella che si muove nello spazio tridimensionale è tale che:
$$v^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2$$

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{coord.jpg}
    \caption{Definizione degli angoli in coordinate sferiche}
    \label{fig:coord_sphere}
\end{figure}

dunque, la frazione di particelle con modulo della velocità compreso tra v e v+dv è (essendo le probabilità lungo i tre assi indipendenti) il prodotto delle funzioni di distribuzione delle velocità lungo ciascun asse:
\begin{equation}
    f(v) d^3 v =\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_B T}} dv_x dv_y dv_z
    \label{eq:tri}
\end{equation}
Passando in coordinate sferiche :
\begin{equation}
dv_x dv_y dv_z  = v^2 sin(\theta)dv d\phi d\theta
\label{eq:diffsphere}
\end{equation}
Dunque la \eqref{eq:tri} diventa:
\begin{equation}
    f(v) d^3 v =\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}} v^2 sin{\theta}dv d\phi d\theta
    \label{eq:tri_sph}
\end{equation}
Dunque integrando sugli angoli:
\begin{equation}
    f(v) dv =\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}} v^2 dv \left[\int_{0}^{\pi}{sin{\theta}\;d\theta} \int_{0}^{2\pi}{d\phi} \right]
    \label{eq:tri_int1}
\end{equation}
ed, in definitiva:
\begin{equation}
    f(v) =\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}} 4\pi v^2 \;e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}}  
    \label{eq:maxwell_bmn}
\end{equation}
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Maxwell_bzmnn.jpg}
    \caption{Grafico della funzione di distribuzione di Boltzmann del modulo della velocità per l'ossigeno molecolare a T=300K}
    \label{fig:mxwll_bzmnn}
\end{figure}
\section{Velocità più probabile e velocità quadratica media}
Dalla \eqref{eq:maxwell_bmn}, possiamo ricavare la velocità più probabile derivando la \eqref{eq:maxwell_bmn} e ponendo la derivata a zero. Ponendo $A = 4\pi\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}}$
\begin{equation}
    \frac{df(v)}{dv} = A \left[\left(-\frac{m}{2k_B T}\right) 2v^3 + 2 v\right] e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}}  = 0
\end{equation}
dunque
\begin{equation*}
 \frac{m}{2k_B T} v^2 = 1
\end{equation*}
Quindi la velocità più probabile è
\begin{equation}
     v_p=\sqrt{\frac{2k_B T}{m}}
    \label{eq:vprob}
\end{equation}

La velocità media può essere calcolata come:
\begin{equation}
   \left\langle v \right\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}vf\left(v\right)dv}{\int_{-\infty}^{\infty}f\left(v\right)dv}=\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^\frac{3}{2}4\pi\;\int_{-\infty}^{\infty}{v^2e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}vdv}
    \label{eq:vmed_int}
\end{equation}
dove si è fatto uso della proprietà che l'integrale su tutto lo spazio della funzione di distribuzione fa 1.
L'integrale nella \eqref{eq:vmed_int}è del tipo:
\begin{equation}
   A\int_{0}^{\infty} v^2 e^{-\beta v^2} \frac{dv^2}{2} = \frac{A}{2\beta^2}\int_{0}^{\infty} w e^{-w} dw
\end{equation}
Integando per parti, con $e^{-w} dw$ fattore differenziale, si ha:
\begin{equation}
\frac{A}{2\beta^2} \left[(w e^{-w})_0^\infty - e^{-w}| _0^\infty \right] = \frac{A}{2\beta^2} 
\end{equation}
con  $\beta = \frac{m}{2k_BT}$ $A=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}=4\pi \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^{3/2}$ e, dunque:
\begin{equation}
   \left\langle v \right\rangle = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}}
\label{eq:vmed}
\end{equation}
\section{Velocità quadratica media}
La velocità quadratica media è il momento secondo della distribuzione di Maxwell Boltzmann: $E(v^2)$
\begin{equation}
    \langle v^2 \rangle=\int_{0}^{\infty}v^2f\left(v\right)dv= \left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^\frac{3}{2}4\pi\;\int_{0}^{\infty}{v^4e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}dv}
    \label{eq:vquad_int}
\end{equation}
Per risolvere qust'integrale, potremmo procedere per parti come nel caso precedente, scindendo $v^4dv$  in $v^2 \; v^2 dv=v^2\cdot d(v^3)/3$, oppure, più facilmente fare ricorso alla funzione $\Gamma$ di Eulero.
\subsection{La funzione $\Gamma$ di Eulero}
E' definita dall'equazione:
\begin{equation}
    \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt
    \label{eq:Gamma}
\end{equation}
Si prova facilmente che 
\begin{equation}
    \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
    \label{eq:propgamma}
\end{equation}, e che $\Gamma(1)= 1$, dunque, per $z\equiv n \in \mathbb{N}$, $\Gamma(n+1)=n!$.\par
L'integrale di Gauss, può essere espresso in termini di questa funzione:
\begin{equation*}
 \begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}
\end{equation*}
quindi $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.\par
\par
Per quanto detto, l'integrale nella definizione della velocità quadratica media \eqref{eq:vquad_int}:
\begin{equation*}
    \int_{0}^{\infty}{v^3e^{-\beta v^2} v dv}
\end{equation*}
con la sostituzione $\beta v^2 = t$ e quindi $v dv=\frac{1}{2\beta} dt$ e $v^3=\left(\frac{t}{\beta}\right)^{3/2}$, diventa:
\begin{equation*}
    \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\beta}\right)^{5/2}\Gamma\left( \frac{5}{2} \right)
\end{equation*}
quindi 
\begin{equation*}
  \langle v^2 \rangle = \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^
  {\frac{3}{2}} 2\pi\cdot \left(\frac{1}{\beta}\right)^{\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2} + 1 \right) =\pi^{-3/2}\left(\frac{1}{\beta}\right) \frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2} \right)\cdot 2{\pi}
\end{equation*}
dove abbiamo applicato la proprietà \eqref{eq:propgamma} della funzione $\Gamma$. Per la stessa proprietà $\Gamma(3/2)=1/2\Gamma(1/2)= \sqrt{\pi}/2$, quindi: 
\begin{equation}
 \langle v^2 \rangle = 2\pi^{-3/2}\sqrt{\pi}\cdot\left(\frac{1}{\beta}\right)\frac{3}{4}\pi= \frac{3 k_B T}{m}
 \label{eq:vquadmed}
 \end{equation}
 La \eqref{eq:vquadmed} dà lo stesso valore che si trova con l'equipartizione dell'energia e la teoria cinetica dei gas.\par
 I momenti di ordine superiore, possono essere trovati facendo uso della proprietà:
 \begin{equation}
      \int _{-\infty }^{+\infty }\zeta ^{n}e^{-\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2}}\;\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)
        \label{eq:gamma_n}
 \end{equation}
da cui risulta:
\begin{equation}
      \langle v^{n}\rangle ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\;\left({\frac {2k_B T}{m}}\right)^{n/2}\;\Gamma \left({\frac {n+3}{2}}\right)
      \label{eq:momento_n}
\end{equation}
 \section{Distribuzione dell'energia}
La frazione di particelle con energia compresa tra E e E+dE è uguale a quella delle particelle con velocità compresa tra v e v+dv:
\begin{equation}
    f(E)dE=f(v)dv \Rightarrow f(E)=f(v)\frac{dv}{dE}
\end{equation}
Siccome $E=1/2 mv^2$, allora $dE=mvdV$,  $v=\sqrt{2E/m}$, dunque: $dv/dE=1/(mv)=1/m \sqrt{m/2E}=\sqrt{1/2mE}$. 
La distribuzione dell'energia cinetica, dunque è:
\begin{equation}
\begin{aligned}
    f(E)dE=&\left( \frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}} 4\pi \;e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}} v^2 \cdot\sqrt{\frac{1}{2mE}}dE=\\
    =&2e^{-\frac{E}{ k_B T}}\sqrt{\frac{E}{\pi k_B T}}\frac{dE}{k_B T} 
\end{aligned}
\end{equation}
