\chapter{Magnetismo}
\section{Richiami di magnetismo nel vuoto}
Nel 1819, Oersted osservò che fili percorsi da corrente inducevano deviazioni in dipoli magnetici permanenti posti nelle vicinanze. Da questo dedusse che questi fili fossero sorgenti di un campo magnetico. Ampére, Biot e Savart stabilirono le basi sperimentali e le leggi che legavano il vettore induzione magnetica $\mathbf{B}$ alla corrente e le leggi di forza fra i fili percorsi da corrente.\par
La legge di Ampére, lega la corrente $I$ che percorre un elemento di circuito $d\ell$ al vettore induzione magnetica $d\mathbf{B}$ da essa generato nel punto di coordinate $\mathbf{x}$ dall'elemento considerato:
\begin{equation}
d\mathbf{B}=k I \frac{d\mathbf{\ell} \times \mathbf{x}}{|x^3|}
\label{eq:ampere1}
\end{equation}
Come la legge di Coulomb per l'eletttrostatica, anche questa va con il reciproco del quadrato della distanza. Ha senso solo come elemento di una zomma su un insieme continuo di elementi, che globalmente rappresemnta l'induzione magnetica di un circuito macroscopico.\par
Il vettore induzione maagnetica per una carica q in moto non relativistico ($v \ll c$) è:
\begin{equation}
\mathbf{B} = k q \frac{\mathbf{v}\times \mathbf{x}}{|x^3|}
\label{eq:ampere_charge}
\end{equation}
valida se si trascurano le accelerazioni. Se integriamo la (\ref{eq:ampere1}) ottreniamo risultati fisici.\par
nel Sistema Internazionale (SI) la costante di proporzionalità $k$ delle equazioni precedenti vale:
\begin{equation}
k=\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\; N\;A^{-2}\;(H\cdot m)
\label{eq:kmagn}
\end{equation}
Le dimensioni del vettore induzione magnetica le possiamo ricavare dalla \ref{eq:ampere1} e \ref{eq:kmagn}:
\begin{equation*}
[B]= N A^{-1} m^{-1}=[m l t^{-2} l^{-1} t q^{-1} ]=[m t^{-1} q^{-1}]
\end{equation*}
ricordando che le dimensioni fisiche del campo elettrico sono $[E]=[m l t^{-2} q^{-1}]$ otteniamo che il rapporto tra il campo di induzione magnetica ed il campo elettrico ha le dimensioni del reciproco di una velocità che, per le onde elettromagnetiche, vedremo essere la velocità della luce $c$.\par
Integrando la legge di Ampere \ref{eq:ampere1} per un filo rettilineo indefinito (vedi Fig. \ref{fig:ampere}):
\begin{equation}
|B|= \frac{\mu_0}{4\pi} I  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\ell \times \mathbf{x}}{|x|^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} I\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\ell x \sin \theta}{x^3}
\label{eq:filo}
\end{equation}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Ampere.eps}
\label{fig:ampere}
\caption{Filo percorso da corrente}
\end{center}
\end{figure}
ma $x\sin\theta = R$ ed $R/\ell= \tan \theta$, dunque $\ell = R\cot \theta$ e $d\ell= Rd\theta/\sin^2\theta$ e, infine,  $d\ell = x^2 d\theta/R$, dunque:
\begin{equation}
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int_{0}^{\pi} d\theta\, d\theta = \frac{\mu_0I}{2\pi R}
\label{eq:Ampere2}
\end{equation}

Abbiamo visto che un elemento di corrente produce un campo di induzione magnetica; per converso possiamo vedere qual è la forza che aglisce su un elemento di corrente in un campo di induzione magnetica:
\begin{equation}
F=I\,d\ell \times \mathbf{B}
\end{equation}
Allora se abbiamo due circuiti, la forza che agisce sul circuito 1 per effetto della corrente che circola nel circuito 2 sarà:
\begin{equation}
F_{12} = \frac{\mu_0}{2\pi}I_1 I_2 \int \frac{d\ell_1\times d\ell_2\times\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3}
\label{fig:forzaindotta}
\end{equation}
che, ricordando la proprietà del triplo prodotto vettore, si può scrivere:
\begin{equation*}
F_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}I_1 I_2\int (-d\ell_1\cdot d\ell_2)\frac{\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3} + d\ell_2 \left( d\ell_1\cdot\frac{\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3}\right)
\end{equation*}
Il secondo termine è in differenziale esatto integrato su $d\ell_1$, e , se integrato lungo una linea chiusa si annulla; dunque:
\begin{equation}
F_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}I_1 I_2\int (-d\ell_1\cdot d\ell_2)\frac{\mathbf{x}_{12}}{|\mathbf{x}_{12}|^3}
\label{eq:forzareciproca}
\end{equation}
Per due fili rettilinei separati da una disanza $d$, la \ref{eq:forzareciproca} diventa:
\begin{equation}
\frac{dF_{12}}{d\ell} = \frac{\mu_0}{2\pi}I_1 I_2\int_{-infty}^{infty} -d\ell\frac{\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|^3} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1 I_2}{d}
\label{eq:forzareciproca1}
\end{equation}