\chapter{Teoria della Relatività Generale}
\label{principii-di-teoria-della-relativituxe0-generale}

La Teoria della Relatività Generale fu formulata da Einstein nel 1916.
Essa si basa sul principio di equivalenza della gravitazione e quello di
inerzia (nella relazione tra campo gravitazionale e geometria dello
spazio -- tempo) e sul principio di covarianza generale.

Il linguaggio della Teoria della Relatività è quello dell'analisi tensoriale e della geometria differenziale.

I punti cardine di tale teoria sono i seguenti.

\begin{enumerate}
\item
  La teoria Newtoniana non è più adatta a descrivere il campo gravitazionale.
\item
  Abbiamo necessità dei tensori per descrivere il campo gravitazionale.
  Inoltre è necessario introdurre i concetti di varietà, metrica,
  connessioni affini e altri enti geometrici.
\item
  Definire il ruolo del principio di equivalenza in tale trattazione.
\end{enumerate}


\section{Campo gravitazionale in meccanica non relativistica}\label{campo-gravitazionale-in-meccanica-non-relativistica}
La teoria newtoniana della gravità venne pubblicata nel 1685. I capisaldi di tale teoria, come noto, sono:

\begin{enumerate}
\item
  La legge di Newton

\[\mathbf{F} = m_{I}\mathbf{a}\]

dove \(m_{I}\) rappresenta la massa inerziale.

\item
  La legge di gravità di Newton
\end{enumerate}

\[\mathbf{F}_{\mathbf{G}} = m_{G}\mathbf{g}\]

In tale relazione, \(m_{G}\) rappresenta la massa gravitazionale, mentre
l'accelerazione gravitazionale è data dalla legge di gravitazione
universale

\begin{equation}
\mathbf{g} = - \frac{G\sum_{i}^{}{M_{Gi}\left( \mathbf{r -}\mathbf{r}_{\mathbf{i}} \right)}}{\left| \mathbf{r -}\mathbf{r}_{\mathbf{i}} \right|^{3}}
\label{eq:NewtonGrav}
\end{equation}
Se la forza cui è soggetto il corpo è la stessa, allora possiamo
scrivere

\[
m_{I}\mathbf{a =}m_{G}\mathbf{g}\ \  \Rightarrow \ \ \ \mathbf{a} = \left( \frac{m_{G}}{m_{I}} \right)\mathbf{g}
\]
I campi gravitazionali sono caratterizzati dal fatto che tutti i corpi, indipendentemente dalla massa, si muovono allo stesso modo, a parità di condizioni iniziali. La forza di gravità, dunque, si distingue da tutte le altre forze, ad esempio quella elettromagnetica, che può agire o meno su una particella in funzione del suo rapporto carica/massa. 
Tale proprietà esclusiva dei campi gravitazionali permette di stabilire un'analogia tra il moto dei corpi in un campo gravitazionale e il moto dei corpi che non si trovano in un campo esterno, ma che sono riferiti
ad un sistema di riferimento non inerziale. In altri termini, un sistema di riferimento non inerziale è equivalente ad un campo gravitazionale.
Tale affermazione porta al cosiddetto principio di equivalenza. Tale principio esiste in due forme:
\begin{itemize}
    \item {\bf forma forte} afferma che, in un campo gravitazionale qualsiasi, è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento, nell'intorno di ogni punto, dove gli effetti dell'accelerazione dovuti al campo gravitazionale sono nulli; 
    \item {\bf forma debole} afferma solo l'equivalenza della massa inerziale e la massa gravitazionale, ovvero si riferisce solo ai corpi in moto libero
\end{itemize}

Di fatto, tutti gli esperimenti condotti sinora confermano tale principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.

Consideriamo, per esempio, il moto di una particella non relativistica che procede di moto rettilineo uniformemente accelerato, ad esempio in caduta libera. Per il principio di equivalenza, tale particella può essere immaginata in un sistema di riferimento uniformemente accelerato, per cui le equazioni
del moto si scrivono

\[
m_{I}\frac{d^{2}\mathbf{x}}{{dt}^{2}} = \mathbf{F}_{\mathbf{tot}} = m_{G}\mathbf{g} + \sum_{k}^{}\mathbf{F}_{\mathbf{k}}
\]

Lo stesso sistema, ora, lo guardiamo da un ascensore in caduta libera nello stesso campo gravitazionale, per cui il cambio di coordinate da effettuarsi è il seguente:

\[
\begin{cases}
\mathbf{x}^{'} = \mathbf{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}t^{2} \\
t^{'} = t \\
\end{cases}
\]

La nuova equazione del moto è la seguente:
\[
m_{I}\left( \frac{d^{2}\mathbf{x}^{\mathbf{'}}}{{dt}^{2}} + \mathbf{g} \right) = m_{G}\mathbf{g} + \sum_{k}^{}\mathbf{F}_{\mathbf{k}}
\]

Nell'ipotesi in cui massa inerziale e gravitazionale coincidano, allora:
\[
m_{I} = m_{G}\ \  \Rightarrow \ \ m_{I}\frac{d^{2}\mathbf{x}^{\mathbf{'}}}{{dt}^{2}} = \sum_{k}^{}\mathbf{F}_{\mathbf{k}}
\]

Come ci si aspettava, l'osservatore nell'ascensore in caduta libera nel campo non risente degli effetti del campo stesso.

Tuttavia, mentre il principio di equivalenza va bene localmente, nel caso di sistemi non inerziali vi è una sostanziale differenza per quanto riguarda il comportamento all'infinito. Infatti, ad una distanza
infinita dai corpi che lo generano, il campo gravitazionale reale tende a zero, mentre i campi equivalenti ai sistemi non inerziali crescono
illimitatamente all'infinito o, al più, tendono ad un valore asintotico finito non necessariamente nullo. Si pensi, ad esempio, al caso delle forze centrifughe che nascono da un sistema di riferimento rotante, e che tendono all'infinito al crescere della distanza dall'asse di rotazione.
\section{Campo gravitazionale in meccanica
relativistica}\label{campo-gravitazionale-in-meccanica-relativistica}

La proprietà fondamentale dei campi gravitazionali, e cioè che tutti i corpi si muovono in essi nello stesso modo, resta valida anche in meccanica relativistica. Rimane, di conseguenza, anche l'analogia tra i
campi gravitazionali e i sistemi di riferimento non inerziali
In un sistema di riferimento inerziale di coordinate cartesiane, l'intervallo infinitesimo è determinato dalla solita relazione

\[{ds}^{2} = c^{2}{dt}^{2} - {dx}^{2} - {dy}^{2} - {dz}^{2}\]

Nel passaggio ad un sistema di riferimento non inerziale, \({ds}^{2}\)
non è più esprimibile tramite i quadrati dei differenziali delle coordinate. Per esempio, se si passa ad un sistema di coordinate in rotazione uniforme, detta $\Omega$ la velocità angolare di rotazione diretta
lungo l'asse z, si ha:
\[
\begin{pmatrix}
    t\\
    x\\
    y\\
    z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & \cos{\Omega t} & -\sin{\Omega t} & 0 \\
    0 & \sin{\Omega t} & \cos{\Omega t} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
    t'\\
    x'\\
    y'\\
    z'
\end{pmatrix}
%\begin{cases}
%    x = x^{'}\cos{\Omega t} -x' - y^{'}\sin{\Omega t} \\
%    y = x^{'}\sin{\Omega t} + y^{'}\cos{\Omega t} \\
%    z = z^{'} \\
%\end{cases}
\]
considerando i differenziali per dx e dy:
\[
\begin{cases}
    dx=dx' \cos{\Omega t} -x'\Omega\sin{\Omega t}dt -dy'\sin{\Omega t} -\Omega y'\cos{\Omega t}dt\\
    dy = dx'\sin{\Omega t} +x'\Omega \cos{\Omega t} +dy'\cos{\Omega t} -y'\Omega \sin{\Omega t}dt
\end{cases}
\]
per t piccoli, $\sin{\Omega t} =\Omega t\;\Omega t dt=O(2)=0$, $\cos{\Omega t} =1$
quindi, 
\[
\begin{cases}
    dx=dx' -dy'\Omega t -\Omega y'dt\\
    dy = dx'\Omega t +x'\Omega dt+ dy' 
\end{cases}
\]
sicché, detta $\mathbf{\hat\Omega}$ la matrice di rotazione differenziale e $\eta$ la metrica di Minkowski:
\begin{eqnarray*}
    ds^2=\sum_{iklm=0}^3 \eta_{ik}\mathbf{\hat\Omega}^k_l\mathbf{\hat\Omega}^i_m dx^l dx^m=\\
    =[c^2 - \Omega^2(x'^2 +y'^2)] dt^2 - dz'^2 +\Omega y' dx' dt - \Omega x' dy' dt
\end{eqnarray*}
che, come si vede, qualunque sia la trasformazione del tempo, contiene termini non diagonali, e dunque suggeisce una metrica generica $g_{\mu\nu}$ che, in questo caso è $\mathbf{\hat\Omega}^T \eta \mathbf{\hat\Omega}$.\\
Dato il principio di equivalenza, risulta logico affermare che l'informazione sull'accelerazione, o sul campo gravitazionale è tutta contenuta nel tensore metrico $g_{\mu\nu}$.
Osserviamo, ancora, che un campo gravitazionale reale non può essere eliminato ovunque con alcuna trasformazione delle coordinate. In altri termini, non esiste alcuna trasformazione di coordinate che, in presenza del campo gravitazionale reale, possa rendere il tensore metrico \(g_{\mu\nu}\) di forma galileiana \(\eta_{\mu\nu}\) contemporaneamente in tutto lo spazio-tempo.\\
\'E attribuito ad Einstein un esperimento mentale (Gedankenexperiment): vogliamo misurare il rapporto tra la circonferenza C ed il raggio R di una giostra in rotazione molto veloce con un righello lungo $\ell_0$.
Il raggio è sempre perpendicolare al moto, quindi non risente di effetti relativistici e la sua lunghezza risulta la stessa che in quiete. Per misurare la circonferenza, il righello è sempre parallelo alla velocità, quindi subirà una contrazione tale che $ \ell= \ell_0\sqrt{1-\beta^2}$. Dunque, la lunghezza della circonferenzam misurata con il righello, sarà maggiore che nella giostra in quiete e dunque il rapporto $C/R\neq 2\pi$, sicché lo spazio è curvo (è iperbolico in questo caso). 
\section{Moto libero in un sistema di riferimento qualsiasi}
\label{sec:geodetica}
Per una particella di massa m in moto libero: $F=0=ma$, quindi, in 4 dimensioni:
\[
    \frac{dx^\mu}{dt^2}=0
\]
trasformiamo le coordinate in un sistema $x'^\mu$ dipendente da $x^\mu$:
\[
    \frac{dx^{2\mu}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial  x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\alpha}{\partial t}
    \right] =\frac{d^2x'^\alpha}{dt^2}\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}+\frac{dx'^\alpha}{dt}\frac{d^2x^\mu}{dx'^\alpha d x'^\beta}\frac{dx'^\beta}{dt}=0
\]
Moltiplicando tutto per $\partial_\mu x'^\gamma$:
\[
\frac{d^2x'^\alpha}{dt^2}\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\mu}+\frac{dx'^\alpha}{dt}\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2x^\mu}{\partial x'^\alpha\partial t}=\frac{d^2x'^\alpha}{dt^2}\delta_\alpha^\gamma+\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2x^\mu}{\partial x'^\alpha\partial x'^\beta}\frac{dx'^\alpha}{dt}\frac{dx'^\beta}{dt}
\]
essendo $\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\mu} =\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x'^\alpha}=\delta^\gamma_\alpha$. Dunque, raccogliendo i termini con le derivate prime rispetto a t:
\begin{equation}
    \frac{d^2x'^\gamma}{dt^2}+\left[\frac{\partial x'^\gamma}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2x^\mu}{\partial x'^\alpha\partial x'^\beta}\right]\frac{dx'^\alpha}{dt}\frac{dx'^\beta}{dt}=0
    \label{eq:geodetica_t}
\end{equation}
che descrve il moto libero in uno spazio curvo, ovvero lungo una geodetica dello spazio considerato.
L'espressione fra parentesi quadre, prende il  nome di connessione affine e viene indicata con il simbolo di Christoffel $\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$. Va notato che, il ragionamento svolto fin qui con le derivate temporali, può essere effettuato minimizzando l'azione di particella libera $S=\frac{1}{c}\int{ds}$ lungo una curva nello spazio-tempo caratterizzata da un parametro $\mathcal{\sigma}$, dunque la generica geodetica che è la curva che minimizza l'azione in uno spazio curvo è:
\begin{equation}
    \frac{d^2x'^\gamma}{d\mathcal{\sigma}^2}+\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}\frac{dx'^\alpha}{d\mathcal{\sigma}}\frac{dx'^\beta}{d\mathcal{\sigma}}=0
    \label{eq:geodetica}
\end{equation}
Le $\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$, rappresentano il campo gravitazionale e la \ref{eq:geodetica_t} è l'equivalente di $a + GM/R^2=0$ di Newton.
\section{Intervalli temporali e distanze}
Vogliamo  determinare, a partire da valori misurati delle grandezze in un sistema di riferimento $x^0,x^1,x^2,x^3$, le distanze e gli intervalli di tempo reali. Sia $\tau$ il tempo reale e consideriamo due eventi infinitamente vicini, ma che avvengono nello stesso punto dello spazio. L’intervallo tra questi due eventi sicuramente può essere espresso come:
\[
{\rm ds}^2=c^2{d\tau}^2=g_{\mu\nu}{\rm dx}^\mu{\rm dx}^\nu
\]
Ponendo nell’ultima espressione ${\rm dx}^1={\rm dx}^2={\rm dx}^3=0$, allora si ricava il tempo proprio come:
\[
{\rm ds}^2=c^2{d\tau}^2=g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2\ \ \Rightarrow\ \ d\tau=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}}{\rm dx}^0\ \ \Rightarrow\ \ \tau=\frac{1}{c}\int{\sqrt{g_{00}}{\rm dx}^0}
\]
Questa è l’espressione del tempo reale (o proprio) in funzione della coordinata $x^0$. Si osservi che, dovendo essere sempre positivo e reale il tempo proprio, si ha: $g_{00}>0$. Tale condizione è strettamente necessaria, quindi, per la corrispondenza tra un campo gravitazionale reale al tensore metrico $g_{\mu\nu}$ di uno spazio – tempo reale. A tale scopo, gioca un ruolo decisivo, inoltre, anche la scelta della giusta segnatura.\par
Per quanto riguarda, invece, l’elemento dL di distanza spaziale, ricordiamo che in relatività ristretta è possibile definire tale lunghezza come l’intervallo tra due eventi infinitamente vicini che si verifichino nello stesso istante. In relatività generale, non è possibile porre banalmente $dx^0=0$ nell’espressione del ds, in quanto, come visto, il tempo proprio in un campo è legato alla coordinata stessa da una relazione che cambia punto per punto. Allora, per determinare dL, si procede come segue. Supponiamo che un segnale luminoso venga emesso da un punto B dello spazio (di coordinate $x^\alpha+{\rm dx}^\alpha)$mverso un punto infinitamente vicino A (di coordinate $ x^\alpha)$ e riflesso immediatamente lungo lo stesso cammino, così come si vede nella Fig. \ref{fig:dist_GR}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{GRmedia/image14.png}
    \caption{Schema della misura della distanza}
    \label{fig:dist_GR}
\end{figure}
Il tempo (misurato nel punto B) necessario perché avvenga l’intero processo è evidentemente il doppio del rapporto tra la distanza tra i due punti e c, ovvero $\frac{2L}{c}$.
Scriviamo, ora, l’intervallo mettendo in evidenza le coordinate spaziali e la coordinata temporale:
\[
{\rm ds}^2=g_{mn}{\rm dx}^m{\rm dx}^n+2g_{0m}{\rm dx}^0{\rm dx}^m+g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2
\]
In tale scrittura, gli indici assumono valori da 1, 2 e 3 (in tal modo è stata esplicitata la coordinata temporale $x^0$. L’intervallo tra due eventi corrispondenti alla partenza e all’arrivo del segnale da un punto all’altro è nullo, per cui 
\begin{align*}
    {\rm ds}^2=0\ \ \Rightarrow\ \ g_{mn}{\rm dx}^m{\rm dx}^n+2g_{0m}{\rm dx}^0{\rm dx}^m+g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2=0\\
g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2+2g_{0m}{\rm dx}^m{\rm dx}^0+g_{mn}{\rm dx}^m{\rm dx}^n=0
\end{align*}
quindi:
\begin{equation}    
{\rm dx}^{0\left(1;2\right)}=\frac{-g_{0m}{\rm dx}^m\pm\sqrt{\left(g_{0m}g_{0n}-g_{mn}g_{00}\right){\rm dx}^m{\rm dx}^n}}{g_{00}}
\label{eq:dist_GR}
\end{equation}
Le due soluzioni temporali corrispondono alla propagazione del segnale nelle due direzioni. Se $x^0$ è l’istante d’arrivo del segnale in A, allora gli istanti della sua partenza in B e del suo ritorno in B saranno rispettivamente quelli col segno negativo e positivo. Quindi l’intervallo di tempo totale tra l’emissione ed il ritorno vale la differenza dei tempi, ovvero:
\begin{equation}
    {\rm dx}^{0\left(2\right)}-{\rm dx}^{0\left(1\right)}=\frac{2\sqrt{\left(g_{0m}g_{0n}-g_{mn}g_{00}\right){\rm dx}^m{\rm dx}^n}}{g_{00}}
\end{equation}

L’intervallo di tempo reale, ovvero il tempo proprio, si ottiene, come visto, moltiplicando per il fattore $\frac{\sqrt{g_{00}}}{c}$:
\begin{eqnarray}
\nonumber
d\tau=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}}{\rm dx}^0&= \\
\nonumber
&=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}}\frac{2\sqrt{\left(g_{0m}g_{0n}-g_{mn}g_{00}\right)}}{g_{00}}=\\
&=\frac{2}{c}\frac{\sqrt{\left(g_{0m}g_{0n}-g_{mn}g_{00}\right)}}{\sqrt{g_{00}}}
 \label{eq:dtau_GR}   
\end{eqnarray}
Siccome $L=c d\tau/2$, sostituendo la \ref{eq:dtau_GR}, otteniamo:
\begin{align*}
dL=\frac{cd\tau}{2}=&\frac{\sqrt{\left(g_{0m}g_{0n}-g_{mn}g_{00}\right){\rm dx}^m{\rm dx}^n}}{\sqrt{g_{00}}}=\\
&= \sqrt{\left(\frac{g_{0m}g_{0n}}{g_{00}}-g_{mn}\right){\rm dx}^m{\rm dx}^n}
\end{align*}
e quindi:
\begin{equation}
    {\rm dL}^2=\left(\frac{g_{0m}g_{0n}}{g_{00}}-g_{mn}\right){\rm dx}^m{\rm dx}^n=\gamma_{mn}{\rm dx}^m{\rm dx}^n
    \label{eq:dLGR}
\end{equation}
in cui $\gamma_{mn}$ è il tensore metrico tridimensionale che definisce la metrica, ovvero le proprietà geometriche dello spazio. Bisogna, però, tenere presente che, in generale, le $g_{mn}$ dipendono da $x^0$, per cui anche la metrica spaziale varia nel tempo. Per tale ragione, ha senso integrare l’espressione di dL solo in caso di indipendenza dei tensori dal tempo, ovvero per campi statici.\par

Passiamo, ora, alla definizione della nozione di simultaneità in relatività generale. Vediamo, quindi, se è possibile sincronizzare gli orologi che si trovano in punti differenti dello spazio.
Una tale sincronizzazione deve evidentemente essere realizzata con uno scambio di segnali luminosi tra due punti.
Consideriamo nuovamente la propagazione, come appena visto, di un segnale da un punto A ad un punto B infinitamente vicini. Consideriamo simultaneo con A l’indicazione dell’orologio in B tra l’istante di partenza e quello di ritorno del segnale, ovvero
\[
x^0+dx^0=x^0+\frac{{\rm dx}^{0\left(2\right)}+{\rm dx}^{0\left(1\right)}}{2}=x^0-\frac{g_{0m}}{g_{00}}{\rm dx}^m
\]
Tale relazione permette di sincronizzare gli orologi in qualsiasi volume infinitesimo dello spazio. È possibile, dunque, sincronizzare gli orologi lungo una qualsiasi linea non chiusa. Lungo un contorno chiuso, invece, tale sincronizzazione è impossibile, in quanto, nel descrivere il contorno e ritornando al punto di partenza, si ottiene per $\Delta x^0$ un valore diverso da zero.
Si noti che, mentre in relatività ristretta lo scorrere del tempo è diverso per gli orologi in moto relativo tra loro, in relatività generale il tempo scorre diversamente anche nei punti dello spazio di uno stesso sistema di riferimento.

\section{Moto di una particella in un campo gravitazionale}
Nel caso limite di velocità piccole, le equazioni relativistiche del moto di una particella in un campo gravitazionale devono ridursi alle rispettive equazioni non relativistiche. Bisogna, inoltre, tener presente che, se le velocità si suppongono piccole, segue anche la condizione di campo gravitazionale debole. In caso contrario, infatti, la particella che in esso si trova acquisirebbe una grande velocità. Scriviamo, in tali ipotesi, la lagrangiana nella forma
\[
    \mathcal{L}=-mc^2+\frac{1}{2}mv^2-m\varphi
\]
Tale espressione assicura che la lagrangiana non relativistica in assenza di campo
\[
    \mathcal{L}=-mc^2+\frac{1}{2}mv^2
\]
sia esattamente quella alla quale si riduce la lagrangiana relativistica nel caso di piccole velocità:
\[
    \mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}
\]
L’azione non relativistica S per una particella in un campo gravitazionale assume, dunque, la forma
\[
S=\int\mathcal{L}dt=-mc\int\left(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\varphi}{c}\right)dt=-mc\int ds
\]
Dal confronto si ricava:

\[
ds=\left(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\varphi}{c}\right)dt\ \ \Rightarrow\ \ ds^2=\left(c^2+\frac{v^4}
{4c^2}+\frac{\varphi^2}{c^2}-v^2-\frac{v^2\varphi}{c^2}+2\varphi\right)dt^2
\]
e, trascurando i termini in $1/c^2$:
\[
ds^2\approx\left(c^2-v^2+2\varphi\right)dt^2=\left(c^2+2\varphi\right)dt^2-dr^2
\]
D'altra parte $ds^2=g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2+g_{mn}{\rm dx}^m{\rm dx}^n+2g_{0m}{\rm dx}^0{\rm dx}^m$, che, con la stessa approssimazione possiamo scrivere come $ds^2  g_{00}\left({\rm dx}^0\right)^2-dr^2$. Confrontato con quanto scritto sopra, dà:
\[
g_{00}=\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right)
\]
Il potenziale Newtoniano è: 
\[
\varphi=-\frac{GM}{r}
\]
quindi, per campi deboli e velocità non relativistiche:
\begin{equation}
    g_{00}=\left(1+\frac{2}{c^2}\frac{GM}{r^2}\right)
    \label{eq:g00Newton}
\end{equation}
\subsection{Campo gravitazionale costante: il problema del GPS}
Un campo gravitazionale è detto costante se è possibile scegliere un sistema di riferimento tale che tutte le componenti del tensore metrico non dipendano dalla coordinata temporale $x^0$, che viene, quindi, chiamata tempo universale.
La scelta del tempo universale non è univoca. Ad esempio, quando si aggiunge ad $x^0$ una funzione arbitraria delle coordinate spaziali, anche in tal caso tutte le componenti del tensore metrico non contengono la coordinata $x^0$. Inoltre è anche evidente che il tempo universale può essere definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria, rendendo altrettanto arbitraria la sua scelta dell’unità di misura.
È necessaria, per generare un campo gravitazionale costante, la presenza di un solo corpo, in quanto la mutua attrazione gravitazionale tra più corpi genera un moto, incompatibile con l’ipotesi di campo costante.
Se il corpo che crea il campo è immobile, tale campo è detto statico, poiché tutte le componenti $g_{0\alpha}$ del tensore metrico sono nulle e le due direzioni del tempo sono equivalenti.
La condizione di immobilità del corpo è sufficiente, ma non necessaria per la costanza del campo. Di fatto sono tali anche i campi generati da un corpo a simmetria assiale che ruoti uniformemente attorno al proprio asse di simmetria. In tal caso, però, i due sensi del tempo non son più equivalenti, in quanto, invertendo il tempo, cambia anche il segno della velocità angolare di rotazione del corpo. Tale proprietà è caratteristica dei campo stazionari.
Il significato del tempo universale in un campo gravitazionale costante è che l’intervallo di tale tempo tra due eventi in un punto coincide con quello tra qualsiasi altri due eventi in ogni altro punto dello spazio, rispettivamente simultanei con i primi due aventi. Detto ciò, è possibile integrare analiticamente l’espressione del tempo proprio in funzione del tempo universale:
\begin{equation}
    \tau=\frac{1}{c}\int{\sqrt{g_{00}}{\rm dx}^0}\ \ \Rightarrow\ \ \tau=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}}x^0
\end{equation}
Per campi deboli e velocità non relativistiche, dove vale la \ref{eq:g00Newton}, possiamo sviluppare la radice in termini di $\varphi/c^2$: 
\[
\sqrt{g_{00}}=\sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}}\approx1+\frac{\varphi}{c^2}\ \ \Rightarrow\ \ \tau=\frac{1}{c}\left(1+\frac{\varphi}{c^2}\right)x^0
\]
Quindi il tempo proprio trascorre più lentamente quanto più è piccolo il potenziale gravitazionale nel punto dello spazio, ovvero quanto più è grande il suo valore assoluto (il potenziale in questione è negativo).
Per avere un’idea dell’ordine di grandezza delle correzioni da applicare agli orologi sui satelliti GPS, che orbitano a 20000 km dalla superficie, a causa della diversa intensità del potenziale rispetto a terra
La differenza di tempo proprio è
\[
\Delta\tau=-G\frac{M}{rc^2}
\]
quindi l’orologio a terra segnerà un tempo
\[
t_1=t\left(1-\ G\frac{M}{r_1c^2}\right) 
\]
mentre, quello su satellite:
\[
t_2=t\left(1-\ G\frac{M}{{(r}_1+R)c^2}\right) 
\]
In conclusione
\[
\frac{t_2-t_1}{t}=-G\frac{M}{c^2}\left(\frac{1}{{(r}_1+R)}\ -\frac{1}{r_1}\right)=G\frac{M}{c^2r_1}\frac{R}{{(r}_1+R)}
\]
I valori da usare sono:
\begin{align*}
G&=6.67\cdot{10}^{-11}kg^{-1}m^{-3}s^{-2} &\\
M&=5.97\cdot{10}^{24}kg & c&=3\cdot{10}^8m\cdot s^{-1}&\\
r_1&=6.3\cdot{10}^6m;& R&=2\cdot{10}^7&
\end{align*}
Risulta $t_2-t_1 =5.34.\cdot 10^{-10}$ s/s, che moltiplicati per 86400 s/giorno, porterebbero ad un errore di $+46\mu s$ ogni giorno degli orologi sui satelliti rispetto a quelli, identici, a terra. 

D’altra parte, il satellite viaggia a 11400 km/h rispetto al suolo. Dunque, se l’orologio sul satellite segna $t_2=t$ , l’orologio al suolo segna $t_1=\frac{t}{\sqrt{1-\beta^2}}\ =\ \gamma t$    ove
\[
\beta=\frac{v}{c}=\left(11400\;km/h/3600\;s/h\right)/3\cdot{10}^5\;km/s=1.33\cdot{10}^{-5}
\]
Quindi:
\[
\frac{t_2-t_1}{t}=1-\gamma=1-\ \frac{1}{\sqrt{1-\left(1.33\cdot{10}^{-5}\right)^2}}=-8.9\cdot{10}^{-11}\ s/s
\]
Questi, moltiplicati per 86400 s/giorno, danno: $-7\mu s$ al giorno. L’errore totale degli orologi si satellite rispetto a quelli a terra è: $\Delta t= 46-7=39 \frac{\mu s}{giorno}$, che corrisponderebbero ad un errore cumulato sulla misura della posizione di 11.7km

\section{Derivata covariante}
Se consideriamo un vettore $\mathbf{V}$ espresso in termini di componenti $V^\alpha$ per i rispettivi versori $\hat e_{(\alpha)}$: $\mathbf{V}^\alpha\hat e_{(\alpha)}$, la sua derivata rispetto ad una coordinata è ancora un vettore?
\[
\frac{d\mathbf{V}}{dx^\beta} = \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}\hat e_{(\alpha)}+V^\alpha \frac{\partial \hat e_{(\alpha)}}{\partial x^\beta}
\]
Il primo pezzo è un vettore perché è una combinazione lineare di vettori della base; il secondo vediamo come si trasforma. Possiamo sempre trovare un sistema locale in cui le coordinate $\hat e_{(\alpha')}$ siano costanti, dunque:
\begin{eqnarray*}
    \hat e_{(\alpha)}=\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \hat e_{(\alpha')} \Rightarrow\\
    \frac{\partial \hat e_{(\alpha)}}{\partial x^\beta} =
    \left(\frac{\partial\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} }{\partial x^\beta}\right)\hat e_{(\alpha')}
\end{eqnarray*}
Dunque anche il secondo membro è una combinazione lineare di versori della base, pertanto è un vettore.
Se chiamiamo
\begin{equation}
   \frac{\partial \hat e_{(\alpha)}}{\partial x^\beta}   =\Gamma^\mu_{\alpha\beta}  \hat e_{(\mu)}
\end{equation}
allora;
\begin{equation}
   \frac{\partial V}{\partial x^\beta} = \left[
    \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta} \hat e_{(\alpha)}+ \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\hat e_{(\mu)} V^\alpha
   \right]
\label{eq:DerCov_V}
\end{equation}
scambiando gli indici saturati al II addendo:
\[
\frac{\partial V}{\partial x^\beta} = \left[
    \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} V^\mu
   \right]\hat e_{(\alpha)}
\]
definisce una derivazione {\it covariante}:
\begin{eqnarray}
   D_\beta V^\alpha = (\partial_\beta V^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\beta} V^\mu)
\label{eq:DevCov}    
\end{eqnarray}
Un altro modo per arrivare alla derivazione covariante è il seguente. \par
Consideriamo lo scalare $\phi$; la sua derivata rispetto ad un parametro $s$ è anch'essa uno scalare:
\[
\psi=\frac{d\phi}{ds}=\frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^\mu}{\partial s}
\]
cioé un invariante per tutte le curve di parametro $s$ passanti per un punto del continuo $x^\mu$.
Il primo termine si trasforma come un tensore covariante $\frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}=V_\mu$.
Se $\psi$ è uno scalare, anche la sua derivata rispetto al parametro lo sarà:
\[
\chi=\frac{d \psi}{d s}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\frac{\partial x^\mu}{\partial s}\frac{\partial x^\nu}{\partial s}+\frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2x^\mu}{\partial s^2}
\]
Se assumiamo che il trasporto sia lungo la geodetica, vale la \ref{eq:geodetica} quindi:
\[
\frac{d^2x'^\mu}{ds^2}=-\mathrm{\Gamma}_{\alpha\beta}^\mu\frac{dx'^\alpha}{ds}\frac{dx'^\beta}{ds}
\]
ed infine, sostituendo e rinominando gli indici saturati:
\begin{eqnarray}
    \nonumber
    \chi=\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^\alpha\partial x^\beta}-\mathrm{\Gamma}_{\alpha\beta}^\mu\frac{\partial\phi}{\partial x^\mu}\right)\frac{d x^\alpha}{d s}\frac{d x^\beta}{d s}\\
    =\left(\frac{\partial}{\partial x^\alpha}V_\beta - \mathrm{\Gamma}_{\alpha\beta}^\mu V_\mu\right)\frac{d x^\alpha}{d s}\frac{d x^\beta}{d s}
    \label{eq:dcov_cov}
\end{eqnarray}
\subsection{Relazione tra simboli di Christoffel e tensore metrico}

Mostriamo ora che la derivata covariante del tensore metrico è nulla. Infatti $DA^\mu = g_{\mu\nu}(DA^\nu)$ ma anche $A^\mu = g_{\mu\nu}A^\nu$ quindi $DA^\mu=Dg_{\mu\nu}A^\nu = D(g_{\mu\nu})A^\nu +g_{\mu\nu}DA^\nu$ che è compatibile con la precedente solo se $D(g_{\mu\nu}) = 0$ c.v.d.
Sviluppiamo la derivata covariante di un tensore, ricordando che un tensore si comorta come il prodotto di due vettori:
\[
D_\sigma A^{\mu\nu}\leftrightarrow D_\sigma A^\mu B^\nu =(D_\sigma A^\mu)B^\nu +A^\mu(D_\sigma B^\nu)
\]
dunque  per un tensore covariante in cui la $\Gamma$ ha un segno $-$ (vedi \ref{eq:dcov_cov})::
\[
D_\sigma A_{\mu\nu}=\frac{\partial A_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-\Gamma_{\mu\sigma}^\tau A_{\tau\nu}-\Gamma_{\nu\sigma}^\tau A_{\mu\tau}
\]
Se $A_{\mu\nu}\equiv g_{\mu\nu}$,la derivata covariante è nulla. Quindi, permutando gli indici, possiamo scrivere 
\begin{eqnarray}
    \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}=\textcolor{green}{\Gamma_{\mu\sigma}^\tau g_{\tau\nu}}+\textcolor{red}{\Gamma_{\nu\sigma}^\tau g_{\mu\tau}}\label{arr:uno}\\
    \frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}=\Gamma_{\mu\nu}^\tau g_{\tau\sigma}+\textcolor{green}{\Gamma_{\mu\sigma}^\tau g_{\nu\tau}}
   \label{arr:due} \\
    \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu}=\textcolor{red}{ \Gamma_{\nu\sigma}^\tau g_{\tau\mu}}+\Gamma_{\mu\nu}^\tau g_{\sigma\tau}
     \label{arr:tre}
\end{eqnarray}
Facendo (\ref{arr:uno}) - (\ref{arr:due}) +(\ref{arr:tre}), otteniamo:
\[
\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-\frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}+\frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu}=2\Gamma_{\nu\sigma}^\tau g_{\mu\tau} 
\]
Ed, infine:
\begin{equation}
    \Gamma_{\nu\sigma}^\tau =\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\left(\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-\frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}+\frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu}\right)
    \label{eq:Gamma_vs_g}
\end{equation}
Come ci si aspettava, le connessioni affini sono funzioni delle derivate prime del tensore metrico.

\section{Curvatura e tensore di Riemann}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Curvatura.png}
    \caption{Trasporto parallelo lungo un percorso chiuso}
    \label{fig:curvarura}
\end{figure}
Ricordiamo che, se $x^\mu=x^\mu\left(s\right)$ è l’equazione parametrica di una curva (s è la lunghezza dell’arco misurata a partire da un punto dato), allora $u^\mu=\frac{dx^\mu}{ds}$ è il vettore tangente alla curva. Se la curva considerata è una geodetica, allora lungo tale curva si ha $Du^\mu=0$.\
È fondamentale intuire che, in uno spazio curvo, il trasporto parallelo da un punto ad un altro porta a risultati differenti se viene effettuato lungo percorsi differenti. In particolare, trasportando il vettore parallelamente a sé stesso lungo un contorno chiuso, il vettore finale non coincide con quello iniziale. Per spiegare tale circostanza, consideriamo la figura \ref{fig:curvarura}.
In essa è rappresentato uno spazio curvo bidimensionale, ovvero una qualsiasi superficie curva. Tale superficie è delimitata dalle 3 linee geodetiche. Trasportiamo parallelamente il vettore 1 lungo il contorno formato da queste curve. Dopo il trasporto lungo la curva AB, il vettore 1, mantenendo sempre costante l’angolo rispetto alla curva stessa, diventa 2 in B. Allo stesso modo trasportiamo il vettore 2 da B a C, trasformandosi in 3. Infine lo stesso da C ritornando al punto di partenza A, diventando il vettore $1^\prime$, non coincidente col vettore 1.
Stabiliamo, ora, la formula che determini la variazione di un vettore nel suo trasporto parallelo lungo una curva infinitesima chiusa. Tale variazione può esprimersi come:
\[
\Delta A_\mu = \oint{\delta A_\mu}
\]
dove, seguendo [Landau teoria dei campi]  $DA_\mu=dA_\mu-\delta A_\mu \Rightarrow \delta A^\mu =(\partial_\nu-D_\nu )A_\mu dx^\nu=\Gamma^\sigma_{\mu\nu} A_\sigma dx^\nu$
prendendolo lungo la linea chiusa formata dai tre segmenti.
\[
\delta A_\mu=\Gamma_{\mu\nu}^\sigma A_\sigma dx^\nu \Rightarrow
\Delta A_\mu = \oint{\Gamma_{\mu\nu}^\sigma A_\sigma dx^\nu}
\]

Tenendo presente che la superficie delimitata dalla linea chiusa $\Delta f$ è considerata una grandezza infinitesima, applicandoil teorema di Stokes generalizzato, secondo cui (visto che la superficie racchiusa dalla curva $df^{\mu\nu}$ è antisimmetrica, come si può vedere percorrendola in senso inverso)
\begin{equation}
\oint{A_\mu dx^\mu}=\int{\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}df^{\mu\nu}}=\frac{1}{2}\int{\left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}\right)df^{\mu\nu}}
\label{eq:stokes_gen}
\end{equation}

possiamo scrivere:
\begin{eqnarray*}
\Delta A_\mu = \oint{\Gamma_{\mu\nu}^\sigma A_\sigma{\rm dx}^\nu}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial \left(\Gamma_{\mu\nu}^\sigma A_\sigma\right)}{\partial  x^\lambda}-\frac{\partial \left(\Gamma_{\mu\lambda}^\sigma A_\sigma\right)}{\partial  x^\nu}\right]\Delta f^{\lambda \nu}=\\
= \frac{1}{2}\left[\frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^\sigma}{\partial x^\lambda}A_\sigma-\frac{\partial \Gamma_{\mu\lambda}^\sigma}{\partial x^\nu}A_\sigma+\Gamma_{\mu\nu}^\sigma\frac{\partial A_\sigma}{\partial x^\lambda}-\Gamma_{\mu\lambda}^\sigma\frac{\partial A_\sigma}{\partial x^\nu}\right]\Delta f^{\lambda \nu}
\end{eqnarray*}

Per semplificare tale scrittura, si può fare un’approssimazione. In particolare, si può considerare che le componenti del vettore $A_\sigma$ nei punti interni al contorno infinitesimo siano determinate unicamente dai loro valori sul contorno infinitesimo. Ciò vuol dire considerare solo termini del primo ordine (ipotesi di linearità), per cui vale la relazione:
\[
\frac{\partial A_\sigma}{\partial x^\lambda}=\Gamma_{\sigma\lambda}^\alpha A_\alpha
\]
Sostituendo nelle relazioni precedenti, si ottiene

\begin{eqnarray}
    \nonumber
\Delta A_\mu=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^\sigma}{\partial x^\lambda}A_\sigma-\frac{\partial\Gamma_{\mu\lambda}^\sigma}{\partial x^\nu}A_\sigma+\Gamma_{\mu\nu}^\sigma\Gamma_{\sigma\lambda}^\alpha A_\alpha-\Gamma_{\mu\lambda}^\sigma\Gamma_{\sigma\nu}^\alpha A_\alpha\right]\Delta f^{\lambda \nu}=\\
\end{eqnarray}

La quantità fra parentesi -- $R^\sigma_{\mu\nu\lambda} $  -- prende il nome di {\bf Tensore di Riemann} o tensore di curvatura, perché, si può mostrare che in 3 dimensioni è proporzionale alla curvatura della superficie. \\

Se passiamo dal tensore misto $R^\sigma_{\mu\nu\lambda} $ al tensore covariante $R_{\mu\nu\rho\sigma}=g_{\mu\lambda}R^\lambda_{\nu\rho\sigma}$, è possibile scrivere un'espressione per quest'ultimo in funzione delle connessioni e delle loro espressioni in termini del tensore metrico:
\begin{equation}
    R_{\mu\nu\rho\sigma} = \left(\partial_\nu\partial_\rho g_{\mu\sigma} + \partial_\mu\partial_\sigma g_{\nu\rho} -\partial_\nu\partial_\sigma g_{\mu\rho} - \partial_\mu\partial_\rho g_{\nu\sigma}\right) + g_{\xi\eta} (\Gamma^\xi_{\nu\rho}\Gamma^\eta_{\mu\sigma}- \Gamma^\xi_{\nu\sigma}\Gamma^\eta_{\mu\rho} )
    \label{eq:Riemann_cov}
\end{equation}
Poniamoci in un sistema di riferimento localmente inerziale; lì le vale l'equazione geodetica \ref{eq:geodetica} e l'accelerazione è nulla, il che implica che sono nulle le connessioni affini. Dunque la \ref{eq:Riemann_cov} diventa:
\begin{equation}
    R_{\mu\nu\rho\sigma} = \left(\partial_\nu\partial_\rho g_{\mu\sigma} + \partial_\mu\partial_\sigma g_{\nu\rho} -\partial_\nu\partial_\sigma g_{\mu\rho} - \partial_\mu\partial_\rho g_{\nu\sigma}\right) 
    \label{eq:Riemann_iner}
\end{equation}

\subsection{Proprietà del tensore di Riemann}
Evidentemente, è un tensore antisimmetrico per lo scambio di indici dispari: 
\begin{eqnarray}
R_{\mu\nu\rho\sigma} = R_{\rho\sigma\mu\nu} =\\ 
= - R_{\nu\mu\rho\sigma} = - R_{\mu\nu\sigma\rho} 
    \label{eq:riemannsymm}
\end{eqnarray}
da cui si ricava la proprietà ciclica per lo scambio di tre posti:
\begin{equation}
    R_{\mu\nu\rho\sigma}+R_{\mu\sigma\nu\rho}+R_{\mu\rho\sigma\nu} = 0
    \label{eq:cyclicRiemann}
\end{equation}
Dalla proprietà di antisimmetria rispetto allo scambio di indici attigui, deriva che la contrazione di indici attigui da risultato nullo. Infatti 
\[
g^{\mu\nu}R_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(R_{\mu\nu\rho\sigma}+R_{\nu\mu\rho\sigma})=0
\]
quindi ha senso contrarre indici alternati.

Infine, si possono dimostrare le identità di Bianchi:
\begin{equation}
    R_{\lambda\mu\nu\rho;\sigma} +R_{\lambda\mu\sigma\nu;\rho}+ R_{\lambda\mu\rho\sigma;\nu} = 0
    \label{eq:idBianchi}
\end{equation}
Infatti, in un sistema localmente inerziale, derivando la \ref{eq:Riemann_iner}, otteniamo:
\[
 R_{\lambda\mu\nu\rho,\sigma}=\partial_\sigma R_{\lambda\mu\nu\rho} =  \left(
\partial_\sigma\partial_\nu\partial_\mu g_{\lambda\rho} - \partial_\sigma\partial_\rho\partial_\mu g_{\lambda\nu} +\partial_\sigma\partial_\rho\partial_\lambda g_{\mu\nu} - \partial_\sigma\partial_\nu\partial_\lambda g_{\mu\rho}
\right) 
\]
Lo schema degli indici è $R_{1234,5}=g[(14,235) -(13,245)+(23, 145) - (24,135)]$ dunque, per i tre termini della \ref{eq:idBianchi}:

\begin{eqnarray*}
    \left[ 
    \lambda\mu\nu\rho,\sigma = 
    \right] & \textcolor{green}{(\lambda\rho,\mu\nu\sigma)}-\textcolor{red}{(\lambda\nu,\mu\rho\sigma)}+(\mu\nu,\lambda\rho\sigma)-\textcolor{blue}{(\mu\rho,\lambda\nu\sigma)}+\\
\left[ \lambda\mu\sigma\nu,\rho = \right] & \textcolor{red}{(\lambda\nu,\mu\sigma\rho)}-\textcolor{cyan}{(\lambda\sigma,\mu\nu\rho)}+\textcolor{orange}{(\mu\sigma,\lambda\nu\rho)}-(\mu\nu,\lambda\sigma\rho)+\\
\left[\lambda\mu\rho\sigma,\nu = \right] & \textcolor{cyan}{(\lambda\sigma, \mu\rho\nu)}-\textcolor{green}{(\lambda\rho,\mu\sigma\nu)}+ \textcolor{blue}{(\mu\rho, \lambda\sigma\nu)}-\textcolor{orange}{(\mu\sigma, \lambda\rho\nu)} = 0
\end{eqnarray*}

Per contrazione, possiamo costruire un tensore di rango 2 -- il tensore di Ricci -- ma solo contraendo gli indici pari o dispari, perché il tensore di Riemann è antisimmetrico per lo scambio di indici adiacenti:
\begin{equation}
R_{\mu\nu}=g^{\sigma\rho}R_{\rho\mu\sigma\nu}=R_{\mu\sigma\nu}^\sigma
\label{eq:tensRicci}
\end{equation}
Con la definizione \ref{eq:Riemann_cov}:
\begin{equation}
    R_{\mu\nu}=\partial_\lambda{\ \Gamma}_{\mu\nu}^\lambda-\partial_\nu{\ \Gamma}_{\mu\lambda}^\lambda+{\ \Gamma}_{\mu\nu}^\lambda{\ \Gamma}_{\lambda\alpha}^\alpha-\Gamma_{\mu\lambda}^\alpha\Gamma_{\alpha\nu}^\lambda
    \label{eq:Riccidevel}
\end{equation}
 simmetrico per lo scambio di indici. Lo scalare di Ricci corrispondente si ottiene effettuando una nuova contrazione.
 \begin{equation}
R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
\label{eq:scalRicci}
 \end{equation}

\section{Il tensore Energia-impulso}
\label{sec:Ten-im}
\subsection{Variazioni dell'azione ed equazioni di Eulero-Lagrange}
L’azione del campo è definita dall’integrale sul 4-volume di una funzione $\mathcal{L}$, tale che
\[
S=\frac{1}{c}\int\mathcal{L}\left(q,\partial_\mu q\right)\;d^4x
\]
La funzione $\mathcal{L}$ è la densità di Lagrangiana. Il principio di minima azione impone che la variazione di S sia nulla. Dunque, nell’ipotesi realistica in cui la variazione commuti con l’integrale:
\begin{eqnarray*}
\delta S=\frac{1}{c}\int\delta\mathcal{L}\left(q,\partial_\mu q\right)\;d^4x =\\
=\frac{1}{c}\int{\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\right)\delta q+}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\right)\delta\partial_\mu q\;d^4x
\end{eqnarray*}
Il secondo termine dell’integrando può essere scritto come: 
\[
\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\delta q\ \right)\ -\delta q\ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\right)
\]
sostituendo: 
\begin{eqnarray*}
\delta S=\frac{1}{c}\int{\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\ -{\ \partial}_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\right)\right)\delta q+}\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\delta q\ \right)d^4x\ =0
\end{eqnarray*}
Il secondo termine dell’integrando, è la divergenza di un quadri-vettore, che, dopo l’applicazione del teorema di Gauss, svanisce nell’integrazione su tutto lo spazio. Il termine rimanente, ci fornisce le equazioni di Eulero-Lagrange
\begin{equation}
     \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} = 0
     \label{eq:eulero-lagrange}
\end{equation}
\subsection{Il tensore energia-impulso dal teorema di Noether}
Consideriamo la variazone indotta da un cambiamento di coordinate: $x'^\mu=x^\mu+\delta x^\mu$, dunque: 
\begin{equation}
    \delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}(q,\partial_\mu q)}{\partial x_\mu}\delta x_\mu = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x_\mu}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\nu q}\frac{\partial\partial_\nu q}{\partial x_\mu}\right]\delta x_\mu
    \label{eq:varS_trasl}
\end{equation}
Sostituiamo nel primo termine la \ref{eq:eulero-lagrange}  
\[
\delta \mathcal{L}= \left[ \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu q}\right)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\nu q}\frac{\partial^2 q}{\partial x_\mu\partial x_\nu}\right]\delta x_\mu = \partial_\nu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\nu q}\partial_\mu q\right)\delta x_\mu
\]
d'altra parte 
\[
\delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_\mu}\delta x_\mu =(\delta^\mu_\nu \partial_\nu \mathcal{L})\delta x_\mu 
\]
sottraendo membro a membro le ultime due equazioni:
\begin{equation}
    \partial_\nu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\nu q}\partial_\mu q- \delta_\mu^\nu \mathcal{L}\right) =0
    \label{eq:cons_ener}
\end{equation}
Quindi c'è una quantità conservata
\begin{equation}
    T_\mu^\nu =\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\nu q}\partial_\mu q- \delta_\mu^\nu \mathcal{L}
    \label{eq:tens_ener_inp}
\end{equation}
che, vedremo, è il tensore energia-impulso.
Infatti, consideriamo l'integrale sull'ipersuperficie a $x^0$ costante di $T_\mu^\nu$ (quindi fissato uno degli indici a 0)
\[
\int{T_\mu^0 dS^\mu}
\]
Dalla conservazione del tensore deriva che, separando la parte spaziale e temporale:
\begin{equation}
    \partial_0 \int{T_0^0\;dV} = \int{\partial_m T_0^m\;dV} = \int{ T_0^m\; dS_m} 
\label{eq:tzerozero_cons}
\end{equation}
Ora, 
\[ 
T_0^0\ = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_0 q}\partial_0 q- \delta_0^0 \mathcal{L} = p\dot q - \mathcal{L} =\mathcal{E} 
\]
Quindi, la \ref{eq:tzerozero_cons} ci dice che la variazione dell'energia nel volume è pari al flusso di $T_0^m$ attraverso la superficie che racchiude il volume.
Analogamente all'equazione di continuità $\partial_t q = - \partial_i J^i$, possiamo associare a q, $T^0_0$ e a $J \leftrightarrow T_0^i$ e dunque 
\begin{equation}
    P^i = \int{T_0^i\;dV}
\end{equation}
Le altre combinazioni, possono essere scritte, sempre a partire da $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$, che può essere (anti-)simmetrizzata come 
\begin{equation}
    \partial_\rho\left(x^\mu T^{\nu\rho} -x^\nu T^{\mu\rho}\right)
\label{eq:def_momentum}    
\end{equation} 
infatti: $\partial_\rho(x^\mu T^{\nu\rho})=\delta_\rho^\mu T^{\nu\rho}+x^\mu\partial_\rho T^{\mu\rho}$, il secondo termine  (e il IV) è 0 per la conservazione del tensore energia-impulso, il primo si annulla con il terzo.
La \ref{eq:def_momentum}, definisce un'altra quantità conservata, che è il momento generalizzato:

\begin{eqnarray}
\nonumber
    M^{\mu\nu}=&\int{\left(x^\mu T^{\nu\rho} -x^\nu T^{\mu\rho}\right) dS_\rho}=\int{\left(x^\mu P^\nu - x^\nu P^\mu \right) dV}=\\
   & =\int{ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} x_\rho P_\sigma \;dV}
\label{eq:def_mom}
\end{eqnarray}

\section{Le equazioni del campo gravitazionale}

Consideriamo una particella in moto non relativistico $\left(\frac{dx}{dt}\ll c\Rightarrow x^i\ll x^0\right)$ in un campo debole e stazionario (i.e. ${\partial_tx}^i=0)$. Le equazioni geodetiche 
\[
\frac{\partial^2x^\mu}{{\partial\tau}^2}=-\Gamma_{\alpha\beta}^\mu\frac{\partial x^\alpha}{\partial\tau}\frac{\partial x^\beta}{\partial\tau}
\]
si riducono a 
\[
\frac{\partial^2x^\mu}{{\partial\tau}^2}=-\Gamma_{00}^\mu\left(\frac{\partial x^0}{\partial\tau}\right)^2
\]
Dall’espressione che definisce le $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ come funzione delle derivate del tensore metrico:

\[
\Gamma_{\nu\sigma}^\mu=\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\left(\frac{\partial g_{\tau\nu}}{\partial x^\sigma}-\frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\tau}+\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x^\nu}\right)
\]

troviamo che 

\[
\Gamma_{00}^\mu=\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\left(\frac{\partial g_{\tau0}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\tau}+\frac{\partial g_{0\tau}}{\partial x^0}\right)=\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\left(2\frac{\partial g_{\tau0}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\tau}\right)
\]
e, vista la stazionarietà del campo,  $\partial _0g_{\tau0}=0$, dunque:
\begin{equation}
\Gamma_{00}^\mu=-\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\tau}    
\end{equation}
L’approssimazione di campo debole si ottiene ponendo $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu};\left|h_{\mu\nu}\right|\ll 1$.  Per trovare il duale di $h_{\mu\nu}$ ricordiamo che $g_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}=\delta_\nu^\sigma$, e che gli indici di $h_{\mu\nu}$ si muovono con le $\eta_{\mu\nu}$ dunque: 
${(\eta}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu})(\eta^{\mu\sigma}-h^{\mu\sigma})=\delta_\nu^\sigma+O(h^2)$, sicché:  $g^{\mu\sigma}=\left(\eta^{\mu\sigma}-h^{\mu\sigma}\right)$. 
In quest’approssimazione: 
\begin{equation}
    \Gamma_{00}^\mu=-\frac{1}{2}\eta^{\mu\tau}\frac{\partial h_{00}}{\partial x^\tau}
\end{equation}
e quindi l’equazione geodetica diventa:
\begin{equation}
\frac{\partial^2x^\mu}{{\partial\tau}^2}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\tau}\frac{\partial h_{00}}{\partial x^\tau}\left(\frac{\partial x^0}{\partial\tau}\right)^2
\label{eq:geodetica-debole} 
\end{equation}
La geodetica può essere scomposta nella parte spaziale e temporale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial^2x^i}{{\partial\tau}^2}\ =-\frac{1}{2}\nabla h_{00}\left(\frac{\partial x^0}{\partial\tau}\right)^2\\ 
\frac{\partial^2x^0}{{\partial\tau}^2}\ =\frac{1}{2}\partial_0 h_{00}\left(\frac{\partial x^0}{\partial\tau}\right)^2
\end{cases}
\label{eq:grad_h00}
\end{equation}
Assumendo che il campo sia stazionario, $\partial_0 h_{00}=0$, quindi la seconda equazione è nulla (e  può essere scritta come $v/c=0$, che è una delle ipotesi). Nella prima possiamo assumere: $\frac{\partial x^0}{\partial\tau} = 1 $
quindi
\begin{equation}
\frac{\partial^2x^i}{{\partial\tau}^2} =-\frac{1}{2}\nabla h_{00}
\label{eq:h00}
\end{equation}
Ricordando che per un potenziale Newtoniano $ \Phi$ vale l’equazione di Poisson: 
\[
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
\]
e che $F=-\nabla U\Rightarrow \frac{\partial^2x^i}{\partial t^2}=-\nabla\Phi$, assieme alla \ref{eq:h00}:
\[
-\frac{1}{2}\nabla h_{00}=\frac{\partial^2x^i}{{c^2\partial t}^2} \Rightarrow h_{00}=2\frac{\Phi}{c^2}
\]
e quindi
\[
g_{00}=1+\frac{2\Phi}{c^2}
\]
sicché:
\[
\nabla^2 g_{00} = \frac{2}{c^2}\nabla^2\Phi 
\]
e, considerato che $T_{00}=\rho c^2$, assieme all'equazione di Poisson, troviamo:
\begin{equation}
    \nabla^2 g_{00} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{00}
\end{equation}
Quindi, per le equazioni di campo ci si aspetta qualcosa del tipo
\[
G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
\]
Dobbiamo fare qualche ipotesi sul tensore $G_{\mu\nu}$:
\begin{enumerate}
    \item 	Deve trasformarsi come un tensore
	\item deve essere lineare nelle derivate seconde e nei prodotti di due derivate prime della metrica
	\item deve essere simmetrico come $T_{\mu\nu}$
	\item Deve conservare $T_{\mu\nu}\; i.e. T_{\mu\nu;\nu}=0$
	\item Si deve ridurre a $G_{00}=\nabla^2 g_{00}$ in approssimazione di campo debole\label{item:G00}
\end{enumerate}
Dobbiamo dunque costruire un tensore di rango 2, che leghi il tensore energia-impulso alla curvatura e la cui divergenza covariante sia nulla. Per fare ciò, abbiamo a disposizione due tensori: il tensore di Ricci $R_{\mu\nu}$ e lo scalare di Ricci moltiplicato per la metrica $g_{\mu\nu}R$. In generale potremo scirvere una combinazione lineare dei due:
\[
 G_{\mu\nu}=C_1 R_{\mu\nu} + C_2 g_{\mu\nu}R
\]
in cui le costanti possono essere determinate dalle 5 ipotesi di cui sopra. Applichiamo la conservazione dell'energia (ipotesi 4) $D_\nu G_{\mu\nu} = 0$ tenendo conto dell'identità di Bianchi:
\begin{equation}
    R_{\lambda\mu\nu\rho;\sigma}+R_{\lambda\mu\sigma\nu;\rho}+R_{\lambda\mu\rho\sigma;\nu}=0
    \label{eq:bianchirel}
\end{equation}
Contraiamo la \ref{eq:bianchirel} sul primo e III indice del primo termine, ricordando le simmetrie del tensore di Riemann:
\begin{align*}
g^{\lambda\nu}\left(R_{\lambda\mu\nu\rho;\sigma}+R_{\lambda\mu\sigma\nu;\rho}+R_{\lambda\mu\rho\sigma;\nu}
\right) =\\
=g^{\lambda\nu}\left(R_{\lambda\mu\nu\rho;\sigma}-R_{\lambda\mu\nu\sigma;\rho}+R_{\lambda\mu\rho\sigma;\nu}
\right)=\\
= R_{\mu\rho;\sigma}-R_{\mu\sigma;\rho}+R^\nu_{\mu\rho\sigma;\nu} =0
\end{align*}
contraendo anche gli altri due indici:
\[
g^{\mu\rho}\left(R_{\mu\rho;\sigma}-R_{\mu\sigma;\rho}+R^\nu_{\mu\rho\sigma;\nu} \right)=R_{;\sigma}-R^\rho_{\sigma;\rho} -R^\nu_{\sigma;\nu}=0
\]
dove il segno - all'ultimo termine viene dall'aver scambiato $\rho$ con $\sigma$ per non contrarre indici attigui del tensore di Riemann (che fa 0).
In definitiva, siccome $R^\nu_\sigma = g_{\mu\sigma} R^{\mu\nu}$ e $R_{;\sigma} = R_{;\nu}g_\sigma^\nu=g^{\mu\nu}g_{\mu\sigma}R_{;\sigma}$, :
\begin{equation}
    R_{;\sigma} = 2R^\nu_{\sigma;\nu}\Leftrightarrow
    \left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R\right)_{;\nu} =0
\end{equation}
che ci dice che $c_2 = 1/2 \; c_1$ e dunque:
\begin{equation}
    G^{\mu\nu}=c_1\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R\right)
    \label{eq:quasiEinstein}
\end{equation}

Rimane da determinare la costante $c_1$ che possiamo determinare imponendo la condizione \ref{item:G00} in campo debole, ovvero quando  $|{T}_{ij}|\ll|T_{00}|\ \Rightarrow\left|G_{ij}\right|\ll\left|G_{00}\right|$.
Se poniamo quindi $\left|G_{ij}\right|\approx 0$ , ciò implica $R_{ij}\simeq\frac{1}{2}g_{ij}R$.
Siccome
\begin{equation}
R=g_{\mu\nu}R^{\mu\nu}=g_{00}R^{00}+g_{ij}R^{ij}
\label{eq:rintermedio}
\end{equation}
essendo in regime di campo debole $g_{ij}=\eta_{ij}  \Rightarrow R_{ij}=\frac{1}{2}\eta_{ij}R$. D'altra parte dalla \ref{eq:rintermedio}:
\[
R=\eta_{00}R^{00}+\eta_{ij}\left(\frac{1}{2}\eta^{ij}R\right)
\]
ora: $\eta_{ij}\eta^{ij}= 3$, quindi: $R(1-3/2)=R^{00}$ ed in fine:
\begin{equation}
    R=-2R^{00}
\end{equation}
e l'equazione di campo per la componente 00 diventa:
\begin{equation}
    G^{00}=2c_1 R^{00}
    \label{eq:campo00}
\end{equation}

Cominciamo con lo scrivere $R_{00}=g^{\mu\nu}R_{\mu0\nu0}$ e riscriviamo la \ref{eq:Riemann_iner}:
\[
R_{\lambda\mu\nu\sigma}=\partial_\mu\partial_\nu g_{\lambda\sigma}-\partial_\nu\partial_\lambda g_{\mu\sigma}-\partial_\sigma\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\lambda\partial_\sigma g_{\mu\nu}
\]
In un campo stazionario, in cui le derivate temporali si annullano, ponendo $\mu\ =\sigma=0$, rimane:
\[
R_{\lambda0\nu0}=-\partial_\lambda\partial_\nu g_{00}
\]
e quindi:
\[g^{\mu\nu}R_{\mu0\nu0}=R_{00}=-\partial^\nu\partial_\nu g_{00}
\]
o, anche, al primo ordine:
\[
R_{00}=\left(\partial_\lambda{\ \Gamma}_{00}^\lambda-\partial_0{\ \Gamma}_{0\lambda}^\lambda\right)
\]
di nuovo, siccome $\partial_0 = 0$ nel caso stazionario, rimane:
\[
R_{00}= \partial_\lambda{\ \Gamma}_{00}^\lambda
\]
Nel limite di campo debole:
\[
 \Gamma_{00}^\mu=-\frac{1}{2}\eta^{\mu\tau}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\tau}
\]
quindi:
\[
R_{00}=-\partial_\lambda\frac{1}{2}\eta^{\lambda\tau}\partial_\tau g_{00}=-\frac{1}{2}\partial_\lambda\partial^\lambda g_{00}
\]
espandendo la quadridivergenza: 
$\partial_\lambda\partial^\lambda=\partial_0^2 - \nabla^2$, risulta:
\[
R_{00}=\frac{1}{2}\nabla^2 g_{00}
\]
Quindi, dalla \ref{eq:quasiEinstein} per $\mu=\nu=0$ si ha:
\[
G^{00} = c_1\left(R^{00} -\frac{1}{2}g^{00}R\right)=2c_1R^{00} = 2c_1\frac{1}{2}\nabla^2 g_{00}
\]
avendo tenuto conto della \ref{eq:campo00}. Quindi perché la condizione \ref{item:G00} sia soddisfatta deve essere $c_1 = 1$ ed in definitiva, l'equazione del campo gravitazionale (equazioni di Einstein) è:
\begin{equation}
    \boxed{
        \left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right)=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
       }
       \label{eq:eqEinstein} 
\end{equation}
La forma alternativa, può essere scritta moltiplicando a sinistra per $g^{\mu\nu}$:
\[
R-\frac{1}{2}{g^{\mu\nu}g}_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}
\]
Ma ${g^{\mu\nu}g}_{\mu\nu}=4$  dunque: $-R=\frac{8\pi G}{c^4}T$ e, sostituendo nelle equazioni di Einstein, 
\begin{equation}
    \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)=R_{\mu\nu}
    \label{eq:altEinstein}
\end{equation}
Le equazioni di Einstein NON sono lineari, quindi non vale il principio di sovrapposizione per i campi gravitazionali, che può essere invocato solo per campi deboli in una teoria linearizzata. Nel vuoto $T_{\mu\nu}=0$ quindi  $R_{\mu\nu}=0.$ Questo non vuol dire in alcun modo che lo spazio-tempo nel vuoto  sia piatto, perché sia piatto c’è bisogno della condizione più forte: $R_{\mu\nu\rho}^\lambda=0$.
\section{Equazioni linearizzate}
Consideriamo il caso in cui il tensore metrico differisca poco dal tensore piatto:
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}
\label{eq:gperturb}
\end{equation}
con $|h_{\mu\nu}|\ll 1$. 
Il tensore metrico è invariante per trasformazioni generiche del tipo $x^\mu\rightarrow x'^\mu(x)$ e la sua trasformazione è
\[
    g_{\mu\nu}\rightarrow g'_{\mu\nu}(x')=\frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu}g_{\rho\sigma}
\]
Se specializziamo la trasformazione in $x'^\mu=x^\mu+\xi^\mu(x)$, i.e.
$x^\mu=x'^\mu-\xi^\mu(x)$, allora:
\begin{eqnarray*}
      g'_{\mu\nu} =& (\delta^{\rho}_{\mu}-\partial_\mu \xi^\rho)(\delta^{\sigma}_{\nu}-\partial_\nu \xi^\sigma)g_{\rho\sigma} = \\
    & = (\delta^{\rho}_{\mu}\delta^{\sigma}_{\nu} -\delta^{\sigma}_{\nu} \partial_\mu \xi^\rho+ \delta^{\rho}_{\mu}\partial_\nu \xi^\sigma)(\eta_{\rho\sigma}+h_{\rho\sigma}) = (\eta_{\mu\nu}+ h'_{\mu\nu})
\end{eqnarray*}

Quindi, 
\begin{equation}
    h'_{\mu\nu}  = h_{\mu\nu} - (\partial_\mu\xi_\nu - \partial_\nu\xi_\mu)
\end{equation}

Possiamo calcolare il tensore di Ricci al primo odrine in h date le relazioni:
\[
R_{\mu\nu\lambda}^\sigma = \left(\partial_\lambda\Gamma^\sigma_{\mu\nu} -\partial_\nu\Gamma^\sigma_{\mu\lambda}\right)
+(\Gamma^\sigma_{\alpha\lambda}\Gamma^\alpha_{\mu\nu}- \Gamma^\sigma_{\mu\alpha}\Gamma^\alpha_{\nu\lambda} )
\]
\[
R_{\mu\rho}=R_{\mu\rho\sigma}^\sigma
\]
e la \ref{eq:Gamma_vs_g}
\[
    \Gamma_{\nu\sigma}^\tau =\frac{1}{2}g^{\mu\tau}\left(\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-\frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}+\frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu}\right)
\]
che al primo ordine diventa:
\[
    \Gamma_{\nu\sigma}^\tau =\frac{1}{2}\eta^{\mu\tau}\left(\frac{\partial h_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-\frac{\partial h_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}+\frac{\partial h_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu}\right)
\]

\'E evidente che i termini prodotti delle $\Gamma$, sono all'ordine $O(h^2)$, quindi rimane solo:
\begin{equation}
    R_{\mu\nu} =  \left(\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu} -\partial_\nu\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}\right)
\end{equation}
Sviluppiamo le derivate:
\begin{align*}
\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\partial_\lambda\left[ \frac{1}{2} \eta^{\lambda\rho}(\partial_\mu h_{\nu\rho} + \partial_\nu h_{\mu\rho} -\partial_\rho h_{\mu\nu})\right] =\\
=\frac{1}{2} \left( \partial_\mu \partial_\lambda h^\lambda_\nu + \partial_\nu \partial_\lambda h^\lambda_\mu  - \Box h_{\mu\nu} \right).
\end{align*}
similmente: 
$\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}= \frac{1}{2} \eta^{\lambda\rho}(\partial_\mu h_{\lambda\rho} + \partial_\lambda h_{\mu\rho} -\partial_\rho h_{\mu\lambda})$

\[
\partial_\nu \Gamma^\lambda_{\mu\lambda} = \frac{1}{2} \left( \partial_\nu \partial_\lambda h^\lambda_\mu + \partial_\nu \partial_\mu h - \partial_\nu \partial_\rho h_{\mu}^{\rho} \right).
\]
e, sostituendo: il tensore di Ricci al primo ordine è
\begin{equation}
 R^{(0)}_{\mu\nu}= \frac{1}{2}\left[\partial_\nu\partial_\lambda h^\lambda_\mu +\partial_\mu \partial_\lambda h^\lambda_\nu - \Box h_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu h
    \right]
    \label{eq:ricci_0}
\end{equation}
Possiamo usare la libertà di scegliere un sistema di coordinate per semplificare l'ultima espressione. La scelta più conveniente, è la cosiddetta gauge di Lorentz che realizza la condizione:
\begin{equation}
    g^{\mu\nu}\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = 0
    \label{eq:lorentz_Gamma}
\end{equation}
che è l'analogo della condizione di Lorentz per il potenziale vettore nel campo elettromagnetico ($\partial_\mu A^\mu =0$)
La \ref{eq:lorentz_Gamma}, al primo ordine diventa:
\begin{align*}
 \eta^{\mu\nu}\left[\frac{1}{2}(\partial_\mu h_{\rho\nu}-\partial_\nu h_{\rho\mu} -\partial_\rho h_{\mu\nu})\eta^{\lambda\rho}
 \right] = \\
 =\frac{1}{2}(\partial^\nu h^\lambda_\nu +\partial^\mu h^\lambda_\mu -\partial^\lambda h^\mu_{\mu})
\end{align*}
I primi due termini sono uguali, dunque, la condizione di Lorentz è equivalente all'espressione:
\begin{equation}
 \partial^\mu  h^\lambda_\mu -\frac{1}{2}\partial^\lambda h^\mu_\mu =  \partial^\mu\left( h^\lambda_\mu -\frac{1}{2}\eta^\lambda_\mu h\right)=0 
\end{equation}
che annulla i termini oltre il d'Alambertiano nella \ref{eq:ricci_0}.
Dunque, la \ref{eq:altEinstein}, diventa:
\begin{equation}
    \Box \bar h_{\mu\nu} =-\frac{16\pi G}{c^4} \bar T_{\mu\nu}
    \label{eq:GW1}
\end{equation}
dove $\bar T_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T$ e $\bar h_{\mu\nu}= h_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}h$ è la perturbazione alla metrica che realizza la condizione di Lorentz.
L'eq \ref{eq:GW1}, è l'analoga della  \ref{eq:propag_A} per il campo elettromagnetico e si può risolvere con la tecnica della funzione di Green (cap. 9 ); il risultato è un potenziale ritardato:
\begin{equation}
\bar h_{\mu\nu}(x, t) = \frac{4G}{c^4}\int{\frac{\bar T_{\mu\nu}(\mathbf{x'},t-(\mathbf{x}-\mathbf{x'})/c)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}\qquad d^3 x}
\label{eq:potret_h}
\end{equation}
La conservazione dell'energia, ovvero del tensore energia-impulso, $\partial_\mu T^\mu_\nu=0$ implica $\partial_\mu \bar T^\mu_\nu=\frac{1}{2}\partial_\nu \bar T$, conseguentemente, per una sorgente contenuta in un volume finito, l'integrale \ref{eq:potret_h} soddisfa le condizioni armoniche di Lorentz. Alla \ref{eq:potret_h}, si può aggiungere una qualsiasi soluzione dell'equazione omogenea:
\[
\Box \bar h_{\mu\nu} =0
\]
che rappresenta la propagazione del campo prodotto dalla sorgente nello spazio con velocità pari a quella della luce.

\subsection{Onde gravitazionali - approssimazione di onda piana}
Se consideriamo la trasformata di Fourier di $h_{\mu\nu}$:
\[
h_{\mu\nu}(x) = \int{A_{\mu\nu}e^{ik_\alpha x^\alpha} dx}
\]
in cui $A_{\mu\nu}$ è un tensore di polarizzazione simmetrico;
l'equazione delle onde diventa:
\[
\eta_{\mu\nu}\partial_\mu\partial^\nu A_{\mu\nu}e^{ik_\alpha x^\alpha} = -\eta_{\mu\nu} k^\mu k^\nu A_{\mu\nu}e^{ik_\alpha x^\alpha}=0
\]
che ci dice che $k_\mu k^\mu=0$ (che è la nota relazione di dispersione $\omega= c k$).\par
La condizione di Lorentz $\partial_\mu h^{\mu\nu} = 0$, si traduce in:
\[
k_\alpha\delta^\alpha_\mu h^{\mu\nu} = 0 \Leftrightarrow k_\mu A^{\mu\nu} = 0
\]
Ci dice che il vettore numero d'onda è ortogonale al piano di polarizzazione (traverso) corrisponde a 4 condizioni (quindi, il numero di paramtri indipendenti, da 10 passa a 6). Per un'onda progressiva  che si propaga lungo x, $h_\mu^\nu (t-x/c)$. Per esteso possiamo scrivere:
\[
\partial_\mu h_\nu^\mu = 
\partial_0 h^{\nu}_{0}+ \partial_x h_{\nu}^{x} = 0
\]
, ma per un potenziale ritardato $\partial_x/c = -\partial_t$, quindi:
$\partial_t(\bar h^t_\nu - \bar h^x_\nu)=0 $, che può essere integrata e si possono porre a 0 le costanti di integrazione.

\begin{eqnarray}
\nonumber
    \bar h^{t}_t= \bar h^x_t &  \bar h^t_x= h_x^x\\
    \bar h^t_y = \bar h^x_y & \bar h^t_z= \bar h^x_z
    \label{eq:cond_h}
\end{eqnarray}
Possiamo ancora sfruttare la possibilità di cambiare il riferimento:
$x'^\mu=x^\mu+\xi^\mu$ purché $\eta_{\mu\nu} \partial^\mu\partial^\nu x'^\lambda =\Box x^\lambda = 0 $ per imporre un'altra condizione. Sfruttiamo le 4 $\xi^\mu$ per porre: $h_x^t=h_y^t=h_z^t=\bar h^y_y+\bar h^z_z=0$  che, insieme alle \ref{eq:cond_h} danno:
\[
\bar h^t_x= h_x^x=0 \qquad \bar h^{t}_t= \bar h^x_t=\bar h^T_x=0
\]
ed infine: $h^{t}_t+h^{x}_x+h^{y}_y+h^{z}_z=0$. Queste condizioni implicano che in questa gauge (Traceless-Transverse -- TT ) $\bar h^\mu_\mu = \eta^\mu_\nu(h^\nu_\mu- 1/2 \eta^\nu_\mu h) = h-4/2 h = -h$
Quindi $\bar h^\mu_\nu= h^\mu_\nu$ nella gauge TT.

Alla fine, gli unici due parametri che rimangono liberi sono $\bar h^y_y$ e $\bar h^y_z$ che, con la condizione di traccia nulla, forniscono l'espressione di 
\begin{equation}
    \bar h^\mu_\nu = \begin{pmatrix}
        0 &0 &0 &0\\
        0 &0 &0 &0\\
        0 &0 &h^y_y &h^y_z\\
        0 &0 &h^y_z & -h^y_y
    \end{pmatrix}   
    \label{eq:hbar}
\end{equation}
\subsection{Effetto delle onde gravitazionali}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{GWanello.png}
    \caption{Effetto di un onda gravitazionale trasversa du un anello di particelle poste nel piano ortogonale alla direzione di propagazione}
    \label{fig:GWanello}
\end{figure}
Consideriamo un onda incidente su un anello circolare di masse nel piano yz (Fig.\ref{fig:GWanello}):
\begin{equation}
\begin{cases}
h_{yy}=-h_{zz}=A_+ e^{i\omega(t -x/c)}\\
h_{yz}=-h_{zy}=A_\times e^{i\omega(t -x/c)}\\
    
\end{cases}
\end{equation}

la distanza fra due punti posti a y=0 e $y=\ell$ sull'asse y è:
\[
 \ell' = \int_0^\ell{|g_{\mu\nu}|^{1/2}dy}=\int_0^\ell{|1+ h_{yy}|^{1/2} dy}\sim \ell+1/2 h_{yy} \ell
\]
cioé $\Delta\ell/\ell=h_{yy}/2$ o $\ell' =\ell(1+h_{yy}/2$\par
Se consideriamo le particelle sugli assi y e z, e $A_\times =0\; A_+\in\Re$, then, if at t=0 $\omega(t-x/c)=\pi/2 \Rightarrow h_{yy}=0$, dopo un tempo t>0, con l'aiuto della \ref{eq:hbar}: 
\[
\begin{cases}
y(t)=y(0)(1+\frac{1}{2}A_+e^{i\omega (t-x/c)})\\
z(T)=z(0)(1-\frac{1}{2}A_+e^{i\omega (t-x/c)})
\end{cases}
\]
quindi l'anello si espande lungo y e si contrae lungo z.\par
Nel caso in cui la polarizzazione è $A_+=0; A_\times\neq 0$:
\[
\begin{cases}
y(t)=y(0)+1/2h_{yz}z(0)=y(0)+1/2A_\times e^{i\omega(t-x/c)}z(0)\\
z(t)=y(0)-1/2h_{yz}z(0)
\end{cases}
\]
cioé, quando l'esponente è $\pi/2$: 
\[
\begin{cases}
y(T/4)=y(0) +\frac{1}{2}A_\times z(0)\\
z(T/4)= y(0) - \frac{1}{2}A_\times z(0)
\end{cases}
\]
che è equivalente al caso precedente ruotato di $\pi/4$.

\section{Cenni sulla produzione di onde gravitazionali}

Partiamo dall'equazione di campo linearizzata:
\begin{equation}
\left(\partial_\mu\partial^\mu\right)h^{\nu\sigma}=\frac{8\pi G}{c^4}T^{\nu\sigma}
\label{eq:fieldLin}
\end{equation}
e la conservazione dell'energia-impulso:
\[
\partial_\nu T^{\nu\sigma}=0\Rightarrow\frac{1}{c}\partial_tT^{0\sigma}+\partial_iT^{\sigma i}=0
\]
In primis, 
\[
\int{\partial_0T^{0\nu }d^3x}=-\int{\partial_i T^{i\nu} d^3x}=\int_S{T^{i\nu}dS_i}
\]
L'integrale sulla superficie va a 0 e quindi:
\begin{equation}
\partial_0 \int{T^{0\nu }d^3x}  =0 \Rightarrow \int{T^{0\nu }d^3x} = const.
\end{equation}
Che rappresenta la conservazione del 4-impulso: $\dot P^\nu= 0$ e corrisponde alla conservazione della massa/energia (componente 0) e della quantità di moto.
Poiché ci interessa solo la variazione temporale, possiamo porre la costante a 0 e ottenere:
\[
\int{T^{0\nu}d^3x} = 0 
\]
d'altra parte, per la \ref{eq:potret_h}::
\begin{equation}
\bar h^{0\nu} = \frac{4G}{c^4}\int{\bar T^{0\nu}d^3x} 
\label{eq:pis0}
\end{equation}
quindi:
\begin{equation}
    \bar h^{0\nu} =0;
\end{equation}
Ora prendiamo la parte spaziale della legge di conservazione, moltiplicata per $x^k$
\[
\partial_t\int{T^{0j}x^kd^3x}=-\int{\partial_iT^{ij}x^kd^3x}
\]
Riscriviamo il II membro come:
\[
-\left(\int{\partial_i\left(T^{ij}x^k\right)d^3x}\ -\int{T^{ij}\partial_ix^kd^3x} \right)
\]
Il primo addendo va a 0 nell'integrazione, quindi:
\[
\partial_t\int{T^{0j}x^kd^3x} = -\int{T^{ij}\partial_ix^kd^3x}
\]
Ovvero, per la componente 0:
\begin{equation}
    \dot d^k =\int{T^{0k}d^3x}=0
\end{equation}
dove
\[
d^k=\int{T^{00}x^k d^3x}
\]
è il momento di dipolo .
Prendendo la componente 0 della conservazione di T, moltiplicata per $x^j x^k$:
\[
\frac{1}{c}\partial_t\int{T^{00}x^jx^kd^3x=-\int{\partial_i T^{i0}x^jx^kd^3x}=-\left[\int{\partial_i{(T}^{i0}x^jx^k)d^3x-\int{T^{i0}\partial_i{(x^jx}^k)\ d^3x}}\right]}
\]
Ancora, il termine di divergenza svanisce e rimane:
\[
\int{T^{i0}\frac{1}{2}(\delta_i^jx^k+\delta_i^kx^j)\ d^3x}=\int{T^{j0}x^k\ d^3x}
\]
dove si è simmetrizzato sulla derivata di $ x^j x^k$.
Infine, derivando ancora ambo i  membri rispetto al tempo:
\begin{equation}
\frac{1}{c}\partial_t\partial^t\int{T^{00}x^jx ^k d^3 x}=2\partial_t\int{T^{0j}x^k d^3x}=2\int{T^{kj}d^3x}
\label{eq:defq}
\end{equation}

Quindi, definendo il  momento di quadrupolo:
\begin{equation}
    q^{jk}=\frac{1}{c}\int{T^{00}x^jx^kd^3x}
\end{equation}
possiamo riscrivere dall'equazione \ref{eq:defq}
\[
\int{T^{jk}d^3x}=\frac{1}{2}{\ddot{q}}^{jk}
\]
E l'equazione d'onda diventa:
\begin{equation}
\Box h^{\tau\sigma}= \frac{4\pi G}{c^4}\ddot q^{\tau\sigma}   
\label{eq:radiationGW}
\end{equation}
La soluzione è la stessa trovata per le onde elettromagnetiche con le funzioni di Green:
\begin{equation}
    \bar h^{\mu\nu}\left(x,t\right)=\frac{4G}{c^4}\int{\frac{T^{\mu\nu}\left(t-\left(x-x^\prime\right)/c\right)}{\left|x-x^\prime\right|}d^3x^\prime}
\end{equation}
Se guardiamo la radiazione da lontano rispetto alle dimensioni del radiatore ($|x-x'| \ll x$), allora:
\[
\bar h^{\mu\nu}\left(x,t\right)=\frac{4G}{c^4x}\int{T^{\mu\nu}\left(t-x/c\right)d^3x^\prime}
\]
e, quindi per la parte spaziale:
\begin{equation}
 \bar{h}^{ij}\left(x,t\right)=\frac{2G}{c^4x}{\ddot{q}}^{ij}
\label{eq:ddotqpol}   
\end{equation}

Dunque, il dipolo non entra nella produzione di onde gravitazionali, che, invece sono causate dall'accelerazione del quadrupolo di massa, con un fattore di accoppiamento che vale:
\[
\frac{2G}{c^4}=\frac{2\cdot 6.67\cdot 10^{-11}}{(3\cdot 10^8)^4} = 1.64 \cdot 10^{-44}
\]
Dunque, la produzione è altamente inefficiente per oggetti poco massicci e/o poco accelerati.
\subsection{Esempi di produzione di GW}

In generale, nella \ref{eq:ddotqpol} dobbiamo tener conto che per la gauge TT, la variazione della metrica è a traccia nulla, quindi possiamo scrivere 
\[
\bar q^{ik}=\int{ \rho(x-t/c) [x^ix^k -\alpha \delta^{ik} q] d^3 x}
\]
affinché la traccia sia nulla
\[
\delta_{ik}\bar h^{ik}\propto \bar q_i^i=\delta_{ik} \left[ x^ix^k -\alpha \delta^{ik} q\right] =0
\]

$\delta_{ik}\delta^{ik}=3$ quindi $0=\bar q_i^i=q_i^i-3\alpha q_i^i$ ovvero $\alpha=1/3$
Quindi possiamo scrivere:
\begin{equation}
    \bar q^{ik} =\ \int{ \rho(x-t/c) \left[x^ix^k -\frac{1}{3} \delta^{ik} q\right] d^3 x}
\end{equation}

Consideriamo due sfere compatte di ugual massa che ruotano attorno al comune centro di massa con velocità angolare $\omega_{orb}$ attorno all'asse $x_3$, le coordinate di una sfera a distanza $r_0$ dal c.d.m. $x_1$ e $x_2$ sono:
\[
\begin{cases}
    x_1=r_0 \cos(\omega_{orb} t)\\
    x_2 = r_0 \sin(\omega_{orb} t)
\end{cases}
\]
Dunque, considerato che le sfere sono identiche,per l'emissione di GW possiamo scrivere:
\[
\begin{cases}
    Q^{11}=2M r_0^2 \left(\cos^2(2\omega_{orb} t)-\frac{1}{3}\right)\\
    Q^{22}=2M r_0^2 \left(\sin^2(2\omega_{orb} t)-\frac{1}{3}\right)\\
    Q^{2 1}=Q^{12}= M r_0 \cos(2\omega_{orb} t)\sin(2\omega_{orb} t)\\
    Q^{33} = -\frac{1}{3}M r_0^2 (x^3)^2
\end{cases}
\]
L'ultimo termine non varia nel tempo, quindi scompare con la derivata e non c'è emissione di onde gravitazionali. L'ampiezza dell'onda in un punto a distanza $R$ dall'osservatore sull'asse z è:

\[
\begin{cases}
    \bar h^{xx}=-\bar h^{yy}=\frac{8G}{Rc^4}Mr_0^2\omega_{orb}^2\cos(2\omega_{orb} t)\\
    \bar h^{xy}=-\bar h^{yx}= -\frac{8G}{Rc^4}Mr_0^2\omega_{orb}^2\sin{(2\omega_{orb} t)}
\end{cases}
\]
Se troviamo la frequenza di orbitale con la gravità Newtoniana e usiamo i dati di una tipica tella di neutroni:
\[
GM^2/r_0^2 = M\omega_{orb}^2 r_0
\]
con $r_0=20 km$, $M=1.4 M_\odot=3\cdot 10^{30} kg$, introducendo il raggio di Schwarzschild della sfera $r_s=2GM/c^2=4.5km$ otteniamo una frequenza orbitale $f_{orb}=317Hz$ e,a meno di qualche fattore 4, ad una distanza di $R=15Mpc=15\cdot 3.26\cdot 10^6ly=15\cdot 3.26 \cdot 10^6 \cdot 3.15\cdot 10^7 \cdot 3\cdot 10^8=4.5\cdot 10^{23}m$:
\[ 
|h|=\frac{r_{s1} r_{s2}}{Rr_0}\simeq 10^{-21} m/m
\]
Prendiamo come riferimento il raggio classico del protone $\sim 1 fm=10^{-15} m$, lo spostamento indotto su una distanza di 1 km  è $10^{-3}$ volte il raggio del protone!