\chapter{Serie e trasformate di Fourier}
\label{chap:Fourier}
\section{Serie di Fourier}
\subsection{Definizioni}
\label{sec:Fourier_defin}
Abbiamo visto nel par. \ref{sec:CordaFourier}, che la risoluzione del problema della corda vibrante, conduce ad una soluzione che è la somma di seni e coseni moltiplicati per opportuni coefficienti:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\alpha_n cos\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)+\beta_n sin\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)\right]sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\end{equation}
In generale, diremo che una funzione della variabile $x$, $f(x)$, definita nell'intervallo $-\pi<x<\pi$, è sviluppabile in serie di Fourier, se converge la somma:
\begin{equation}
f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos(n x)+b_n sin(n x)\right]
\label{eq:def_FourierSeries}
\end{equation}
Il termine $a_0/2$ \`e il valor medio della funzione, e si pu\`o ricavare integrando la (\ref{eq:def_FourierSeries}) ad ambo i membri fra $-\pi$ e $\pi$.
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx
\end{equation}
Avendo tenuto conto che gli integrali di seno e coseno, su un numero intero di periodi, sono nulli.
I parametri $a_n$ e $b_n$ si possono ricavare moltiplicando ambo i membri della (\ref{eq:def_FourierSeries}) rispattivamente per $cos(m x)$ e $sin(m x)$ ed integrando:
\begin{eqnarray}
a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx) dx\\
b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(mx) dx
\label{eq:coeffFourier}
\end{eqnarray}
avendo considerato che l'integrale del seno e coseno al quadrato, su un numero intero di periodi, è $1/2$ e l'integrale dei prodotti misti si annulla.\\
Se la $f(x)$ è definita in un intervallo $c-d<x<c+d$, allora sarà:
\begin{align}
f(x)=&\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right)+b_n sin\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right)\right]\\
a_n=&\frac{1}{d}\int_{c-d}^{c+d}f(x)cos\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right) dx\\
b_n=&\frac{1}{d}\int_{c-d}^{c+d}f(x)sin\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right) dx
\label{eq:coeff_gen}
\end{align}
Considerato che la somma (\ref{eq:def_FourierSeries}) è composta da termini pari e termini dispari, è chiaro che se la funzione è pari($f(x)=f(-x)$), i coefficienti dei termini dispari saranno tutti nulli (come si può vedere anche direttamente dalle definizioni (\ref{eq:coeffFourier})), e viceversa, per le funzioni dispari ($f(x)=-f(-x)$), sarà una somma di soli seni.\\
Abbiamo già visto in \ref{sec:CordaFourier}, che la serie di Fourier può essere espressa come somma bilatera attraverso l'uso di una unica variabile complessa, usando la definizione di seno e coseno in termini di esponenziali complesse:
\begin{eqnarray}
cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\
sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\label{eq:sin_cos_exp}
\end{eqnarray}
\begin{align}
\nonumber
f(x)=&\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos(n x)+b_n sin(n x)\right]=\\
\nonumber
&=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right) +b_n \left(\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right)\right]=\\
\nonumber
&=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{inx}+\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-inx}\right]=\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
\end{align}

\begin{equation}
c_n=\begin{cases} 
\frac{1}{2}(a_n-ib_n) & n \ge 1\\
\frac{a_0}{2} & n=0\\
\frac{1}{2}(a_n+ib_n) & n < 0
\end{cases}
\end{equation}

\subsection{Esempio: la onda quadra}
Come esempio di sviluppo in serie di Fourier consideriamo la funzione onda quadra
\begin{displaymath}
f(x)=
\begin{cases}
  -1 & -1 < x < 0\\
  1  & 0<x<1
\end{cases}
\end{displaymath}
Questa funzione è dispari, dunque sarà composta da una serie di soli seni. Dalla definizione (\ref{eq:coeff_gen}):
\begin{align*}
  b_n= &2 \int_{0}^1 sin(\pi n x)dx\\
      &=2 \left[-\frac{1}{n \pi}cos(n \pi x)\right]_0^1=\\
      &=-\frac{2}{n \pi}\left[(-1)^n + 1 \right]=\\
      &=\begin{cases}
          \frac{4}{n \pi} & n=2m\\
          0 & n=2m+1
        \end{cases}      
\end{align*}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{onda_quadra.eps}
\caption{Risultato dello sviluppo in serie di Fourier relativo all'onda quadra. In blu la curva relativa ai primi 3 termini, in rosso quella con 10 termini}
\label{fig:quadra}
\end{center}
\end{figure}
In Fig.\ref{fig:quadra} è mostrato il risultato dello sviluppo in serie per i primi 3 e 10 termini diversi da 0. Si può notare - in particolare nella curva a 10 termini - che l'ampiezza dell'oscillazione vicino allo "spigolo" dell'onda quadra è maggiore di quella nella parte piatta. Questo fenomeno è una caratteristica generale delle rappresentazioni di funzioni discontinue in serie di Fourier troncate ad un numero finito di termini, e prende il nome di {\em fenomeno di Gibbs}. Più in generale, data una funzione periodica differenziabile che presenta un punto di discontinuità di altezza $a$, la serie di Fourier troncata presenta una soprelevazione di circa $0.089490a$ ad ogni estremità. Ovvero la funzione che deriva dalla serie di Fourier troncata presenta una discontinuità del 18\% più grande della funzione originale.

\subsection{Condizioni per la convergenza}
Una condizione ovvia per la convergenza della serie di Fourier è che tutti i suoi coefficienti siano finiti. Questo si traduce nella {\em condizione di Dirichlet:
Condizione necessaria per la convergenza della serie che rappresenta la funzione periodica f(x) è che la funzione sia assolutamente integrabile su un periodo T}, ovvero che:
\begin{equation}
\int_T \left| f(x) \right| dx <\infty
\label{eq:cond_dirichlet}
\end{equation}
Infatti, dalla definizione dei coefficienti della serie espressa in forma bilatera (complessa), risulta:
\begin{align*}
|a_k|\le & \left|\frac{1}{T}\int_{T}f(x) e^{ikx}dx\right|=\\
=& \frac{1}{T}\int_{T}|f(x) e^{ikx}dx|=\\
=& \frac{1}{T}\int_{T}|f(x)|dx
\end{align*}
essendo 1 il modulo dell'esponenziale complesso. Quindi, se la (\ref{eq:cond_dirichlet}) è verificata, per un qualsiasi periodo T finito, sarà anche verificata la: $|a_k| < \infty$.\\
Una funzione che viola la condizione di Dirichlet è $f(x)=\frac{1}{x}$ per $0<x<1$.\\
Un'altra condizione di convergenza è che: {\em in qualsiasi intervallo finito della variabile indipendente, ci siano un numero finito di massimi e minimi durante un singolo periodo della funzione}.\\
Un esempio di funzione che rispetta la condizione di Dirichlet ma non quest'ultima condizione è:
\begin{displaymath}
f(x)=sin\left(\frac{2\pi}{x}\right)
\end{displaymath}
che è di periodo 1, si puo verificare che è  assolutamente integrabile:
\begin{displaymath}
\int_0^1 |f(x)|dx <1
\end{displaymath}
ma ha un numero infinito di massimi e minimi che si addensano verso $x=0$.\\
Ultima condizione è che {\em in qualsiasi intervallo finito della variabile indipendente, ci siano un numero finito di discontinuità e che ciascuna di queste sia finita}.
\section{Trasformate di Fourier}
Consideriamo una funzione qualsiasi f(x) non periodica definita in un intervallo della $x: |x|<T$ e nulla altrove. Questa può essere resa periodica considerando copie identiche della funzione centrate ad intervalli $T_0>T$ sull'asse delle $x$. 
Se scriviamo la serie di Fourier di $f(x)$ in forma complessa, esprimendo per esteso i coefficienti:
\begin{equation}
f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}f(x)e^{-ik \omega_0 x}dx\right]e^{ik\omega_0 x}
\end{equation}
Siccome $f(x)=0$ per $|x|>T_0/2$, l'integrale può essere esteso all'intervallo $[-\infty, \infty]$,  e definire l'inviluppo di $T_0 a_k$ la funzione:
\begin{equation}
X(k\omega_0)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ik\omega_0 x}dx
\label{eq:coeff_trasf}
\end{equation}
così che i coefficienti dello sviluppo di Fourier possano essere scritti come:
\begin{displaymath}
a_k=\frac{1}{T_0}X(k\omega_0)
\end{displaymath}
Considerato che: $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$ è la frequenza della funzione,possiamo scivere la serie:
\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)\omega_0e^{ik\omega_0 x}
\label{eq:serie_to_trasf}
\end{equation}
Quando $T_0\rightarrow\infty$, $\omega_0\rightarrow 0$ e la somma tende ad un integrale, di modo che le (\ref{eq:serie_to_trasf}) e (\ref{eq:coeff_trasf}) diventano:
\begin{eqnarray}
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega x}d\omega\\
\label{eq:antitrasf_fourier}
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
\label{eq:trasf_fourier}
\end{eqnarray}
L'eq. (\ref{eq:trasf_fourier}) è la {\em trasformata di Fourier} della funzione $f(x)$, mentre la (\ref{eq:antitrasf_fourier}) è l'{\em antitrasformata di Fourier} della funzione $X(\omega)$.
\subsection{Esempi di Trasformata di Fourier}
Come primo esempio di funzione di cui calcolare la trasformata prendiamo il caso in cui:
$$ f(x)=\delta(x)$$
la trasformata sarà:
$$ X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-i\omega x}dx=1 $$
essendo la $\delta(x)$ sempre nulla tranne che per $x=0$ dove vale 1.\par
Prendiamo ora la funzione impulso quadrato:
\begin{displaymath}
f(x)=
  \begin{cases}
    1 & |x|<T_1;\\
    0 & |x|>T_1
  \end{cases}
\end{displaymath}
\begin{align}
\nonumber
X(\omega)=&\int_{-T_1}^{T_1}e^{-i\omega x}dx = -\frac{1}{i\omega}\left[e^{-i\omega T_1}- e^{i\omega T_1}\right]=\\
\nonumber
&= 2\frac{sin(\omega T_1)}{\omega}
\end{align}
Al contrario, troviamo adesso la funzione $f(x)$ la cui trasformata sia un gradino nel piano delle frequenze:
\begin{displaymath}
X(\omega)=
  \begin{cases}
    1 & |\omega|<W;\\
    0 & |\omega|>W
  \end{cases}
\end{displaymath}
L'antitrasformata ci dà:
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} e^{i\omega x}d\omega=\frac{sin (Wx)}{\pi x}
\end{displaymath}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{sinc.eps}
\caption{Risultato dell'antitrasformata di Fourier della funzione impulso, per W=3}
\label{fig:sinc0}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Proprietà delle trasformate di Fourier}
 Enunciamo, senza dimostrazione alcune delle proprietà delle trasformate di Fourier:\\
 \begin{itemize}
 \item {\bf La trasformata di Fourier è lineare}:
  \begin{equation}
  af_1(x)+bf_2(x) \rightarrow aF_1(\omega)+bF_2(\omega)
  \end{equation}
 \item {\bf Simmetria della trasformata}: se $f(x)$ è una funzione di $x$ a valori reali allora 
 \begin{equation} F(-\omega)=\bar F(\omega)
 \end{equation}
 \item {\bf Proprietà di shift}: 
 \begin{equation}
 f(x-x_0)\rightarrow e^{-i\omega x_0}F(\omega)
 \label{eq:shift}
 \end{equation}
 \item  {\bf differenziazione e integrazione}: 
 \begin{eqnarray}
 \frac{f(x)}{dx}\rightarrow i\omega F(\omega)\\
 \int f(x)dx \rightarrow \frac{1}{i\omega}F(\omega)+ \pi F(0)\delta(\omega)
 \end{eqnarray}
 \item {\bf Proprietà di scala}:
 \begin{equation}
 f(ax)\rightarrow\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)
 \end{equation}
 \item {\bf Relazione di chiusura}: è l'analogo della relazione di chiusura esistente fra due vettori ortonormali:
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega(x-x')}d\omega=\delta(x-x')
\end{equation}
(che riflette il fatto che le $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega x}$ formano una base ortonormale in uno spazio funzionale)
\end{itemize}
Legata a quest'ultima proprietà, è la relazione di Parseval, che dimostriamo:
\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2 d\omega}
\end{equation}

\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx=& \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f^*(x) dx=\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F^*(\omega)e^{-i\omega x}d\omega \right] dx\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F^*(\omega)\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]d\omega=\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F^*(\omega)F(\omega) d\omega
\end{align*}

\subsubsection{Prodotto di convoluzione}
Si definisce {\em prodotto di convoluzione} (folding) di due funzioni $f(x)$ e $h(x)$, l'integrale:
\begin{equation}
y(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)h(x-\xi)d\xi
\label{eq:convol}
\end{equation}
Quando le funzioni sono nel dominio del tempo, la $h(t-\tau)$ è la {\em risposta all'impulso} e $f(\tau)$ è la sollecitazione.\par
La trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione è il prodotto ordinario delle trasformate di Fourier delle funzioni. Infatti:
\begin{align*}
Y(\omega)= &\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)h(x-\xi)d\xi\right]e^{-i\omega x}dx=\\
=&\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(x-\xi)e^{-i\omega x}dx\right] d\xi
\end{align*}
Sfruttando la proprietà di shift (\ref{eq:shift}), 
$$\int_{-\infty}^{\infty}h(x-\xi)e^{i\omega x}dx= H(\omega)e^{-i\omega\xi}$$
dunque:
$$Y(\omega)=H(\omega)\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi=H(\omega)X(\omega)$$
$H(\omega)$ prende il nome di {\em Risposta in Frequenza} del sistema.
\subsubsection{Spettro di una funzione}
Si definisce spettro di frequenza di una funzione, l'andamento delle ampiezze dei coefficienti di Fourier in funzione delle frequenze, o, nel continuo, l'andamento della trasformata di Fourier.\par
Spesso, si fa riferimento alla {\em densità di potenza spettrale} (Power Spectral Density - PSD)
che è una quantità reale e deriva dalla funzione di autocorrelazione. Questa funzione deriva dall'esigenza di voler stimare la distribuzione della potenza di un segnale alle varie frequenze, basndosi su un insieme finito di dati. La correlazione fra due segnali continui $x(t)$ e $y(t)$ è il prodotto di convoluzione:
\begin{equation}
R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y(t+\tau) d\tau
\label{eq:correl}
\end{equation}
che da un idea della simiglianza dei segnali. Se x ed y sono lo stesso segnale, si ottiene la funzione di {\em autocorrelazione} $R_{xx}(\tau)$ che è massima per $\tau=0$ ove esprime il valore dell'energia del segnale. Lo spettro di potenza è legato all'autocorrelazione dalla trasformata di Fourier:
\begin{equation}
S_{xx}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
\end{equation}
da cui si può ricavare la autocorrelazione antitrasformando. Come si è detto la funzione di autocorrelazione, per ritardo nullo esprime l'energia del segnale:
\begin{equation}
R_{xx}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_{xx}(\omega)d\omega
\label{eq:power_spectrum}
\end{equation}
La densità di potenza spettrale PSD è definita dall'integrando di (\ref{eq:power_spectrum})
\begin{equation}
PSD(\omega)=\frac{S_{xx}(\omega)}{2\pi}
\label{eq:psd}
\end{equation}
\subsection{Campionamento}
Il campionamento di un segnale continuo consiste nel considerare la serie dei valori che questo segnale assume ad intervalli di tempo discreti. Per semplicità assumeremo che gli intervalli di tempo considerati siano istantanei ed equispaziati con un periodo $T$. In questa ipotesi, campionare equivale a considerare la somma:
\begin{equation}
x_p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t)\delta (x-kT)
\label{eq:sampling}
\end{equation}

Applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri, otteniamo:
\begin{equation}
X_p(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\left( x(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (x-kT)\right)e^{-i\omega t}dt
\label{eq:trasf_sampl}
\end{equation}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Pettine.eps}
\caption{Treno di impulsi periodici e la sua trasformata di Fourier}
\label{fig:pettine}
\end{center}
\end{figure}
La somma di funzioni delta di Dirac centrate in punti equispaziati (Fig.\ref{fig:pettine}) è una funzione periodica pari, e dunque può essere sviluppata in serie di Fourier i cui coefficienti sono:
\begin{equation}
c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-ik\omega t}dt=\frac{1}{T}
\end{equation}
e dunque:
\begin{equation}
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (x-kT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{ik\omega_s t}
\label{eq:serie_delta}
\end{equation}
ove $\omega_s=\frac{2\pi}{T}$.\\
Sostituendo la (\ref{eq:serie_delta}) al posto della sommma nella (\ref{eq:trasf_sampl}), otteniamo:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X_p(\omega) &=& \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta (x-kT)e^{-i\omega t} =\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-i(\omega-k\omega_s) t}\right) dt=\\
\nonumber
&=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i(\omega-k\omega_s) t} dt\right)=\\
&=& \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega - k\omega_s)
\end{eqnarray}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Nyquist.eps}
\caption{Effetto del campionamento di un segnale limitato in banda sullo spettro delle frequenze, per $\omega_s > 2\omega_M$ e per $\omega_s < 2\omega_M$ }
\label{fig:nyquist}
\end{center}
\end{figure}
In definitiva, la trasformata di Fourier $X_p(\omega)$ di un segnale campionato, è la somma di repliche della trasformata di Fourier del segnale continuo $X(\omega)$, centrate in multipli della frequenza di campionamento $\omega_s$ scalate di un fattore $1/T$ (vedi Fig.\ref{fig:pettine}).\par
Se $X(\omega)$ è limitato in banda, ovvero se è diverso da zero solo per un certo intervallo di frequenze che per semplicità scegliamo simmetricamente tra $-\omega_M$ e $\omega_M$, allora le repliche non si sovrapporranno solo se $\omega_M < (\omega_s - \omega_M) $ cioè, se $\omega_s > 2\omega_M$. In caso contrario, nella trasformata di Fourier del segnale campionato, saranno presenti delle frequenze che non appartegono al segnale ma alle sue repliche (Fig. \ref{fig:nyquist}). Quanto mostrato è il teorema del campionamento:\\
{\em Dato un segnale $x(t)$ limitato in banda, la cui trasformata di Fourier $X(\omega)=0$ per $|\omega|>\omega_M$, il segnale è univocamente determinato dai suoi campioni $x_p(kT_s)$ se la frequenza di campionamento è maggiore di 2 volte la frequenza massima del segnale: $\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}>2\omega_M$ e considerando lo spettro contenuto nella banda di frequenze $|\omega_c| <=\frac{\omega_s}{2}$.} La frequenza $\omega_s=2\omega_M$ è la {\em Frequanza di Nyquist} per il segnale considerato.
\subsubsection{Aliasing di campionamento}
Consideriamo di voler campionare un segnale sinusoidale:
\begin{displaymath}
x(t)=cos (\omega_0 t)
\end{displaymath}
Il suo spettro è composto da due sole linee, centrate a $\pm\omega_0$. Se campioniamo il segnale con una frequenza di campionamento $\omega_s<2\omega_0$ otteniamo lo spettro in Fig. \ref{fig:alias1}.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{alias1.eps}
\caption{Effetto del campionamento di un segnale sinusoidale, per $\omega_s < 2\omega_M$. La frequenza $\omega_s - \omega_0$ è minore di $\omega_0$}
\label{fig:alias1}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{allias.png}
    \caption{Esempio di aliasing da campionamento, i punti sono a frequenza minore del segnale e identificano una funzione di frequenza pari alla differenza tra quella di campionamento e quella del segnale}
    \label{fig:sample_alias}
\end{figure}

Se consideriamo solo le frequenze entro $\omega_s/2$, sopravvivono solo $\omega_s - \omega_0$, dunque:
\begin{displaymath}
x_p(t)=cos\left[(\omega_s - \omega_0)t\right]\neq x(t)
\end{displaymath}
In altre parole, il segnale campionato rappresenta un segnale con una frequenza minore di quella del segnale originale (alias di campionamento). Se, invece, la frequenza di campionamento è maggiore della frequenza di Nyquist, applicando il taglio a $\omega_s/2$ le frequenze originali sopravvivono al taglio, mentre quelle delle repliche vengono tagliate.