\chapter{Oscillazioni e Onde}

\section{Il problema}
\label{sec:prob}
Consideriamo una corda ideale, di dimensione trasversale trascurabile e densità $\rho$. La corda, in condizioni di riposo giace sull'asse delle ascisse del piano $Oxy$ ed è soggetta ad una tensione $T$. Se applichiamo una forza $F$ parallelamente all'asse $y$, la corda si deformer\`a in una curva nel piano $Oxy$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Fig_Corda.eps}
\caption{Schematizzazione delle forze agenti su una corda lasciata libera fuori dalla posizione di equilibrio}
\label{fig:corda}
\end{center}
\end{figure}
 Lasciata libera, consideriamo le forze agenti sul segmento di corda $M^{\prime}N^{\prime}$ nella direzione dell'asse $y$. Se consideriamo trascurabile la differenza tra i moduli delle tensioni nei punti $M^{\prime}$ ed $N^{\prime}$, e chiamiamo $u(x,t)$ lo spostamento della corda nel punto $x$ all'istante $t$ potremo scrivere:
\begin{equation}
  M \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} = -T\,sin(\theta^{\prime})+T\,sin(\theta) \label{eq:bilancio} 
\end{equation}
essendo $\theta^{\prime}$ e $\theta$ gli angoli delle tangenti a $u(x,t)$ rispettivamente in $M^{\prime}$ ed $N^{\prime}$ ed $M=\rho\,dx$.\par
Al primo ordine, potremo dire che
 \[
 sin(\theta)\sim \theta\sim tg(\theta)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}
 \]
 e dunque:
  \[
  sin(\theta^{\prime})- sin(\theta)= \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}dx
  \]
Sostituendo in \ref{eq:bilancio}, troviamo:
\begin{equation}
  \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}
\label{eq:onde_1}
\end{equation}
La (\ref{eq:onde_1}) \`e un caso semplice dell'{\em equazione delle onde}. \par
Se consideriamo le dimensioni del rapporto $\frac{T}{\rho}$, vediamo che:
\begin{equation} 
\left[ \frac{T}{\rho} \right] = \left[ \frac{m\, l\, t^{-2}}{m\,l^{-1}}\right] = \left[ l^2t^{-2}\right] 
\nonumber
\end{equation}
e dunque ha le dimensioni del quadrato di una velocit\`a, verr\`a indicata con $c^2$ e, vedremo, è la velocità di propagazione della perturbazione lungo la corda.
\section{La soluzione di D'Alambert}
Il primo a dimostrare l'esistenza ed unicit\`a ed a trovare una soluzione di questa equazione fu il matematico francese D'Alambert, e , l'operatore differenziale che applicato ad una funzione delle coordinate $u(x, y, z, t)$, restituisce l'equazione delle onde, da lui, prende il nome di {\em d'alambertiano} e si indica con il simbolo: 
\[
\Box \equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]\equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2\nabla^2
\]
La soluzione di D'Alambert parte dal cambiamento di variabili (suggerito dal fatto che 
$\partial^{2}_{t}-c^2\nabla^2=(\partial_t-c\nabla)(\partial_t+c\nabla)$
):
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
\xi = x-ct\\
\eta = x+ct
\end{array}
\right.
\end{equation}
dunque:
\begin{align}
\nonumber
\frac{\partial u}{\partial x}=&\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \\
=&\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial \eta} \\
\nonumber
\frac{\partial u}{\partial t}=&\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} =\\
 =& -c \left[\frac{\partial u}{\partial \xi}-\frac{\partial u}{\partial \eta}\right]
\end{align}
Derivando una seconda volta:
\begin{align}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = &\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^{2} u}{\partial \eta^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = &c^{2} \cdot \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}} - 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^{2} u}{\partial \eta^{2}} \right)
\end{align}
 e dunque, sostituendo nella (\ref{eq:onde_1}) otteniamo che:
\begin{equation}
 \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} = 0
 \label{eq:sep}
\end{equation}

L'Eq.(\ref{eq:sep}) indica che la derivata rispetto a $\eta$ è una costante rispetto a $\xi$, dunque una funzione della sola $\eta$:
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \eta}=f_1(\eta)
\end{equation}
Integrando ancora rispetto a $\eta$ :
\begin{equation}
    u(\xi, \eta)=\int f_1(\eta)d\eta+C
\end{equation}

in cui $C$ è una costante rispetto a $\eta$ e può essere una funzione della sola $\xi$ 

\begin{equation} 
u(x, t)=g_1(x-ct)+g_2(x+ct)
\end{equation}
Le funzioni generiche $f_1(x-ct)$ e $f_2(x+ct)$ indicano due perturbazioni che si propagano lungo la corda nelle due direzioni opposte con velocità di modulo c. Queste funzioni possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali:
\begin{eqnarray}
 u(x, t=0)=\phi(x) & \frac{\partial u}{\partial t}\mid_{t=0}=\phi_1(x)
 \label{eq:cond_t}
\end{eqnarray}
Si ricava:
\begin{equation}
u(x,t)=\frac{\phi(x-ct)+\phi(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\phi_1(z)dz
\end{equation}
nota come soluzione di D'Alambert e le rette $x\pm c t=cost$ nel piano $xt$ sono le {\em caratteristiche}.

\subsection {Corda finita}
Se la corda ha dimensione finita di lunghezza $l$, fissata agli estremi ($x=0$ $x=l$), oltre alle condizioni (\ref{eq:cond_t}) devono essere soddisfatte le condizioni ulteriori:

\begin{eqnarray}
 u(x=0,t)=0 & u(x=l, t)=0
 \label{eq:cond_x}
\end{eqnarray}

La soluzione di D'Alambert, continua ad essere valida, ma le funzioni $g_1(x-ct)$ e $g_2(x+ct)$ hanno un argomento che può essere all'estreno dell'intervallo di definizione del problema.
Per poter risolvere il problema occorrer\`a considerare solo la perturbazione iniziale della corda infinita tale che il movimento della sua porzione $(0,l)$ sia quello indicato dalle condizioni.
\begin{equation}
\nonumber
 \left\{
\begin{array}{rl}
g_1(-ct)+g_2(ct) & =0\\
g_1(l-ct)+g_2(l+ct) & =0\\
\end{array} \right.
\end{equation}
o, indicando la variabile indipendente semplicemente con $x$:
\begin{equation}
 \left\{
\begin{array}{rl}
g_1(-x) & =-g_2(x)\\
g_1(l-x) & =-g_2(l+x)\\
\end{array} \right.
\label{eq:cond_perio}
\end{equation}
Possiamo verificare che, sostituendo nella seconda delle (\ref{eq:cond_perio}) $x$ con $(l+x)$, e utilizzando la prima, si ottiene:
\[
g_2(x+2l)=-g_1(-x)=g_2(x)
\]
e dunque $g_2(x)$ è periodica di periodo $2l$, e analogamente per la $g_1(x)$.

\section{Oscillazioni di un gas compresso}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Compressione_sbarra.eps}
\caption{Schematizzazione delle forze agenti su un gas compresso in un cilindro}
\end{center}
\label{fig:gas}
\end{figure}

Consideriamo un gas contenuto in un cilindro di volume $dV=Sdx$ e limitato da un lato da un pistone. Se il pistone (la parete si sinistra del cilindro) si muove di $d\xi$, la variazione di pressione fra le due facce,all'inizio, sar\`a, al primo ordine:
\[
dP =\frac{\partial p}{\partial x}dx
\]
e di conseguenza, la forza agente sul pistone
\[
dF= SdP= -S\frac{\partial P}{\partial x}dx
\]

Applicando la prima legge di Newton $F= ma$ ed essendo $m=\rho_0 V$ si ottiene:
\begin{equation}
\rho_0 S dx \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=-S\frac{\partial P}{\partial x}dx
\end{equation}
Dividendo tutto per $Sdx$ si ha:
\begin{equation}
\rho_0\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=-\frac{\partial P}{\partial x}
\label{eq:newtonP}
\end{equation}
La variazione di pressione pu\`o essere calcolata introducendo il coefficente di compressibilit\`a k tale che:
\begin{equation}
dP=-\frac{1}{k}\frac{dV}{V}
\label{eq:coeff_k}
\end{equation}

La variazione relativa di volume sar\`a
\[
\frac{S(dx+d\xi)-S(dx)}{Sdx}=\frac{\partial \xi}{\partial x}
\]
e dunque:
\begin{equation}
dP=-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x}
\label{eq:deppi}
\end{equation}
ovvero:
\[
P_{x+\xi}=P_0-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x}
\]
Dunque, sostituendo la (\ref{eq:deppi}) nella (\ref{eq:newtonP}), otteniamo:
\begin{equation}
\rho_0\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=\frac{1}{k}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} 
\label{eq:onde_spost}
\end{equation}
ovvero:
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2\nabla^2\right)\xi=0\\
c=\frac{1}{\sqrt{\rho k}}
\end{eqnarray}
In una trasformazione adiabatica, \`e: $PV^\gamma=Cost$, dunque $P\rho^{-\gamma}=k$ implica che:
\begin{equation}
\frac{\partial P}{\partial\rho}=k\gamma\rho^{\gamma-1}
\end{equation}
Dunque, utilizzando la $\rho^\gamma=P/k$ e la definizione di k (\ref{eq:coeff_k}):
\[
dP=\frac{\gamma P d\rho}{\rho}=-\frac{1}{k}\frac{d\rho}{\rho}
\]
da cui si ricava, che per un gas adiabatico, il coefficiente di compressibilit\`a vale:
\begin{equation}
\frac{1}{k}=\gamma P
\end{equation}

L'equazione delle onde che abbiamo ricavato, riguarda lo spostamento. Per ricavare il comportamento della pressone, possiamo partire dalla (\ref{eq:coeff_k}), scritta come:
\[
P=P_0-\frac{1}{k}\frac{\partial{\xi}}{\partial x}
\]

dunque, derivando due volte rispetto a $x$ otteniamo:
$$\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}$$
ma, per la (\ref{eq:onde_spost}):
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-\rho_0 \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}
\label{eq:primo_pezzo}
\end{equation}
D'altra parte derivando rispetto a $t$ due volte:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}=-\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}
\label{eq:secondo_pezzo}
\end{equation}
e, confrontando le (\ref{eq:primo_pezzo}) e (\ref{eq:secondo_pezzo}), si ricava:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}=\frac{1}{\rho_0 k}\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}
\label{eq:onde_press}
\end{equation}
Dunque anche la pressione varia nel cilindro secondo l'equazione delle onde, e analogamente si pu\`o ragionare per la densit\`a.


\section{Il metodo di Fourier}
\label{sec:CordaFourier} 
Per una corda fissata agli estremi, un metodo alternativo, che porta ad interessanti conseguenze è quello di Fourier o di separazione delle variabili. Si tratta di cercare soulzioni particolari dell'equazione di D'Alambert, che siano il prodotto di una funzione solo del tempo e di una del solo spazio:
\begin{equation}
u(x,t)=X(x)T(t)
\label{eq:separation}
\end{equation}
Sostituendo questa soluzione nell'eq. (\ref{eq:onde_1}), otteniamo:
\begin{equation}
c^2X''(x)T(t)=X(x)\ddot T(t)
\end{equation}
avendo indicato con il punto la derivazione rispetto al tempo e con l'apice quella rispetto alla $x$.
Dividendo entrambi i membri per $X(x)T(t)$ otteniamo:
\begin{equation}
c^2\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{\ddot T(t)}{T(t)}
\label{eq:separata}
\end{equation}
Poiché il primo membro \`e solo funzione di $x$ e il secondo solo di $t$, l'uguaglianza vale solo se entrambi i rapporti sono uguali ad una medesima costante $\lambda$ (detta di separazione). Pertanto, l'Eq.(\ref{eq:separata}) \`e equivalente al sistema di equazioni:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X''(x)-\lambda X(x)=0\\
\ddot T(t)-\lambda T(t)=0
\label{syst:sep}
\end{eqnarray}
La soluzione delle (\ref{syst:sep}) \`e del tipo:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=A e^{\sqrt{\lambda} x}+B e^{-\sqrt{\lambda} x}\\
T(t)=C e^{\sqrt{\lambda} t}+D e^{-\sqrt{\lambda} t}
\label{syst:sol_sep}
\end{eqnarray}
Alla prima delle (\ref {syst:sol_sep}) possiamo aggiungere le condizioni al contorno: $X(0)=X(l)=0$. Sostituendo la prima condizione nella (\ref{syst:sol_sep}) otteniamo $A=-B$ e dunque, se $\lambda >0$ allora $X(x)=2Asinh(\sqrt{\lambda} x)$. Siccome il seno iperbolico si annulla solo nell'origine, allora non pu\`o essere verificata la seconda condizione al contorno. Pertanto $\lambda$ dovr\`a essere negativa: $\lambda=-k^2$ e quindi:
\begin{equation}
X(x)=2iA\,sin(kx)
\end{equation}
Sostituendo la seconda condizione si ha che $sin(kl)=0$ che \`e soddisfatta solo per $k_n=\frac{n\pi}{l}$.
Si avranno dunque infinite soluzioni, tutte equivalenti, anche la somma di queste è una soluzione. Pertanto la soluzione generale sar\`a:
\begin{equation}
X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\,sin(\frac{n\pi}{l})
\end{equation}
La costante $A$ pu\`o essere trovata imponendo che la soluzione sia "normalizzata", ovvero
\begin{equation}
\int_{0}^{l}X^2dx=1 \Leftrightarrow A^2\cdot\frac{l}{2}=1
\label{eq:normal}
\end{equation}
e dunque
\begin{equation}
A_n=\sqrt{\frac{2}{l}}\qquad\forall n
\end{equation}
Passando alla parte temporale, possiamo scrivere, ponendo anche qui $\lambda=-k^2$: 
$$\ddot T(t)+\omega^2T(t)=0$$
con $\omega_n = ck_n$ e la costante $k_n$ è quella trovata precedentemente. Sostituendo nella seconda delle (\ref{syst:sol_sep}) otteniamo:
$$T(t)=C e^{i\omega t}+D e^{-i\omega t}$$
Imponendo le condizioni (\ref{eq:cond_t}) e conglobando il fattore di normalizzazione nelle costanti:
\begin{eqnarray}
\label{eq:Four_1}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(C_n\cdot e^{i\omega_n t}+D_n\cdot e^{-i\omega_n t}\right)sin(\frac{n\pi x}{l})\right]\\
\nonumber
u(x,t=0)=\sum_{n=1}^{\infty}(C_n+D_n)sin(\frac{n\pi x}{l})=\phi(x)\\
\nonumber
\dot u(t=0)= i\sum_{n=1}^{\infty}\omega_n(C_n-D_n)sin(\frac{n\pi x}{l})=\phi_1(x)
\label{eq:cond_dotu}
\end{eqnarray}
Se chiamiamo: $C_n+D_n=\alpha_n$ e $i(C_n-D_n)=\beta_n$,moltiplichiamo entrambi i membri per $sin(\frac{m\pi x}{l})$ e integriamo, ricordando la (\ref{eq:normal}), otteniamo:

\begin{eqnarray}
\nonumber
\int_{0}^{l}{\phi(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right) dx}=\\
\sum_{n=0}^\infty \alpha_n\int_0^l{\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx}
\end{eqnarray}
Prolungando analiticamente per disparità, visto che apppare solo il seno, l'integrale al secondo membro, vale:
\begin{equation}
    \sum_{n=0}^\infty \alpha_n\frac{l}{2n\pi} \int_{-n\pi}^{n\pi}{\sin{(ny)}\sin{(my)}dy }
\end{equation}
che è l'integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico, che fa 0, a meno che non sia $m=n$, in tal caso è 
\[
\int_{-n\pi}^{n\pi}{\sin^2{(ny)}dy}
\]
e il $sin^2(y)$ è pari, quindi 
\[
\int_{-n\pi}^{n\pi}{\sin^2{(ny)}dy} = 4/n \int_{0}^{\pi/2}{\sin^2{(z)}dz}
\]
Scrivendo $\sin^2{(z)}dz =\sin{(z)}d\cos{(z)}$ e integrando per parti, viene che $2\int{\sin^2{(z)}dz} = \sin{(z)}\cos{(z)} +z$, il primo addendo sparisce agli estremi di integrazione e il secondo fa $\pi/2$.
In definitiva si seleziona nella somma solo il termine m, e il coefficiente a $\alpha_m$ è $1/2 \cdot 2nl/\pi\cdot \pi/2\cdot 4/n=2/l$, sicché:
\begin{eqnarray}
\alpha_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\phi(x)dx\\
\beta_n=\frac{2}{cn\pi}\int_{0}^{l}sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\phi_1(x)dx
\label{eq:coeff_Fourier}
\end{eqnarray}
dove nella seconda si è tenuto conto delle relazioni $\omega_n=c k_n$ e $k_n = n\pi/l$.
Considerato che $C_n=\alpha_n-i\beta_n$ e $D_n=\alpha_n+i\beta_n$, si vede che sono uno il complesso coniugato dell'altro, e la u(x,t), pu\`o essere scritta come una somma bilaterale con un unico parametro complesso.
I coefficienti $\alpha_n$ e $\beta_n$ che abbiamo trovato sono i coefficienti (di Fourier) dello sviluppo di u(x,t) in una serie che possiamo ricavare manipolando la (\ref{eq:Four_1}) e che prende il nome di Serie di Fourier:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha_n cos\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)+\beta_n sin\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)\right)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\end{equation}
che in forma complessa pu\`o essere scritta come:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} D_n e^{i(k_n x -\omega_n t)}
\end{equation}
in cui vale la relazione (di {\em dispersione}) $\omega_n=c\cdot k_n$, $D_{-n}=\bar D_n$ e 
$$D_0=\frac{1}{2l}\int_{0}^{l}\phi(x)dx$$

\section{Oscillazioni di una membrana}
\label{sect:membr}
Consideriamo le oscillazioni libere di una membrana rettangolare i cui contorni consistano nei punti del piano $(x,y)$:$x=0$ $x=l$ $y=0$ $y=m$. Cerchiamo soluzioni dell'equazione:
\begin{equation}
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=
a^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)
\label{eq:membr}
\end{equation}
che si annullino sul contorno e di cui siano note, all'istante iniziale, la forma funzionale $\phi_1(x,y)$ e la quella della sua derivata temporale $\phi_2(x,y)$.\par
Di nuovo, applichiamo il metodo di Fourier, cio\`e cerchiamo soluzioni del tipo:
\begin{equation}
\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)U(x,y)
\end{equation}
Queste inserite nella (\ref{eq:membr}) danno:
\begin{equation}
-\omega^2\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)U(x,y)=
a^2\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)
\end{equation}
da cui, raccogliendo i termini e ponendo $\omega^2/a^2=k^2$, si ottiene:
\begin{equation}
\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)+ k^2 U=0
\label{eq:membr_autov}
\end{equation}
Come al solito, separando le variabili: $U(x,y)=X(x)Y(y)$, otteniamo due equazioni:
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
X^{\prime\prime}+\lambda^2X=0\\
Y^{\prime\prime}+\mu^2Y=0
\end{array}
\right.
\label{eq:membr_system}
\end{equation}
ove: $\lambda^2+\mu^2=k^2$.\par
Il sistema (\ref{eq:membr_system}) d\`a la soluzione generica:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=C_1 sin(\lambda x)+C_2 cos(\lambda x)\\ 
\nonumber
Y(y)=C_3 sin(\mu y)+C_4 cos(\mu y)
\end{eqnarray}
La condizione al contorno $X(0)=X(l)=0$ e $Y(0)=Y(m)=0$ ci permettono di dire che $C_2=C_4=0$, e dunque, a meno delle costanti non nulle: 
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=sin(\lambda x) \\
Y(y)=sin(\mu y)
\label{eq:membr_sol}
\end{eqnarray}
Dalla (\ref{eq:membr_sol}), segue che $\lambda$ e $\mu$ hanno un'infinit\`a di valori tali che:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\lambda_i=\frac{i\pi}{l}\\
\mu_j=\frac{j \pi}{m}
\end{eqnarray}
Corrispondentemente, per le costanti $k^2$ e $\omega^2$ otteniamo: 
\begin{eqnarray}
k^2_{ij}=\pi^2\left(\frac{i^2}{l^2}+\frac{j^2}{m^2}\right)\\
\omega^2_{ij}=ak^2_{i,j}
\end{eqnarray}
La soluzione sar\`a del tipo
\begin{equation}
u(x,y,t)=\sum_{ij}\left(\alpha_{ij}cos(\omega_{ij}t)+\beta_{ij}sin(\omega_{ij}t)\right) sin\left(\frac{i\pi x}{l}\right)sin\left(\frac{j\pi y}{m}\right)
\label{eq:membr_gensol}
\end{equation}
Ove le costanti si calcolano imponendo le condizioni iniziali.
Vediamo dalla (\ref{eq:membr_gensol}) che, per per ciascuna frequenza propria, esistono pi\`u forme differenti della membrana, con differenti linee nodali, cio\`e linee in cui l'ampiezza della vibrazione si annulla.\par
Consideriamo il caso di una membrana quadrata: $l=m=r$.\par
La frequenza in quest caso è data da:
\begin{equation}
\omega_{ij}=\frac{a \pi}{r}\sqrt{i^2+j^2}
\end{equation}
Cominciamo a considerare il caso $i=1$, $j=1$: $\omega_{11}=\alpha\sqrt{2}$ frequenza fondamentale;
$$u_{11}=N_{11} sin(\omega_{11}t+\phi_{11})sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)$$
Non si annulla in nessun altro punto che non sia il bordo.\\
Passiamo al caso $i=1$, $j=2$. La frequenza sarà: $\omega_{12}=\omega_{21}=\alpha\sqrt{5}$ in corrispondenza della quale saranno possibili due forme della membrana:
\begin{eqnarray}
\nonumber
 u_{12}=N_{12}sin(\omega_{12}t+\phi_{12})sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{2\pi y}{r}\right)\\
\nonumber
 u_{21}=N_{21}sin(\omega_{12}t+\phi_{21})sin\left(\frac{2\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)
 \end{eqnarray}
che hanno linee nodali per:
$$x=\frac{r}{2};\, y=\frac{r}{2}$$
Oltre alle $u_{12}$ e $u_{21}$ ci sono anche altre infinite soluzioni equivalenti date dalle loro combinazioni lineari, per es. (ponendo per semplicit\`a $\phi_{12}=\phi_{21}=0$):
$$u(x,y,t)=sin(\omega_{21}t)\left[N_1 sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{2\pi y}{r}\right)+
N_2 sin\left(\frac{2\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)\right]$$
Ponendo $N_1=N_2$ e $u(x,y,t)=0$, ricaviamo la linea nodale: $x+y=0$, mentre per $N_1=-N_2$, si ha $x-y=0$. I modi corrispondenti a questo caso sono mostrati in Fig.~\ref{fig:modi_12}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Modi12.eps}
\caption{Posizione delle linee nodali per il caso i=1, j=2}
\label{fig:modi_12}
\end{center}
\end{figure}


