\chapter{Solidi}
\label{chap:solidi}
\section{Deformazioni e sforzi}
Consideriamo le propriet\`a elastiche di un solido visto come un mezzo continuo omogeneo. quest'approssimazone \`e in genere valida per onde elastiche di lunghezza d'onda inferiore a $10^{-8}\,m$. Le idee fisiche alla base di questa trattazione sono essenzialmente la II legge di Newton e la legge di Hooke. La legge di Hooke dice che la deformazione \`e direttamente proporzionale allo sforzo; questa legge si applica al caso di piccole deformazioni.\par


\subsection{Deformazioni}
\label{sec:deformazioni}
Consideriamo tre assi ortogonali unitari {\bf $\hat x$, $\hat y$ $\hat z$} solidali al solido indeformato (Fig.(\ref{fig:def_axis})); dopo una deformazione gli assi coordinati saranno cambiati in orientazione e lunghezza. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Deformazioni.eps}
\caption{Assi coordinati per la descrizione delle deformazioni elastiche nel caso indeformato (a) e dopo la deformazione (b)}
\label{fig:def_axis}
\end{center}
\end{figure}
I nuovi assi {\bf $\hat x'$, $\hat y'$ $\hat z'$} possono essere descritti in funzione dei vecchi, al primo ordine:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
 x'=(1+\epsilon_{xx})\hat x+\epsilon_{xy} \hat y + \epsilon_{xz} z\\
 y'=\epsilon_{yx}\hat x+(1+\epsilon_{yy}) \hat y + \epsilon_{yz} z\\
 z'=\epsilon_{zx}\hat x+\epsilon_{zy} \hat y + (1+\epsilon_{zz}) z
\end{array}
\right.
\label{eq:strain}
\end{equation}
I termini $\epsilon_{\alpha\beta}$ definiscono le {\em deformazioni} del solido e sono adimensionali. Se anche gli assi originali avevano dimensioni unitarie, non altrettanto si pu\`o dire degli assi deformati. Per provarlo possiamo calcolare il modulo quadro dell'asse deformato:
$$  {\mathbf x'} \cdot {\mathbf  x'}= 1+2\epsilon_{xx} + \epsilon_{xx}^2 + \epsilon_{xy}^2 + \epsilon_{xz}^2$$
dunque, al primo ordine è $ x' = 1+\epsilon_{xx} \hat x$.\par
L'effetto di una deformazione su un punto originariamente posto ad ${\mathbf r} = \hat {\mathbf x}x + \hat {\mathbf y}y + \hat {\mathbf z}z$ sar\`a di spostare il punto in $\mathbf r'$. Lo spostamento indotto dalla deformazione \`e 
\begin{equation}
{\mathbf R} = {\mathbf r'} - {\mathbf r} = x (\hat{\mathbf x'} - {\mathbf x}) + y (\hat{\mathbf y'} - {\mathbf y}) + z(\hat{\mathbf z'} - {\mathbf z})
\end{equation}
sostituendo le (\ref{eq:strain}) e raccogliendo i termini, otteniamo:
\begin{equation}
{\mathbf R} = (x \epsilon_{xx}+ y \epsilon_{yx} +  z \epsilon_{zx})\hat{\mathbf  x}+
(x \epsilon_{xy}+ y\epsilon_{yy} +  z\epsilon_{zy}) \hat{\mathbf y} +
(x \epsilon_{xz}+ y\epsilon_{yz} +  z\epsilon_{zz})\hat{\mathbf  z}
\label{eq:spostamento}
\end{equation}
che pu\`o essere espressa tramite tre parametri di deformazione locale $u ({\mathbf r})$, $v ({\mathbf r})$ e $w ({\mathbf r})$:
\begin{equation}
{\mathbf R} = u ({\mathbf r})\hat{\mathbf  x} + v ({\mathbf r})\hat{\mathbf  y} + w ({\mathbf r}) \hat{\mathbf z}
\label{eq:spost1}
\end{equation}
Per ${\mathbf r}$ piccoli, confrontando le (\ref{eq:spostamento}) e (\ref{eq:spost1}) otteniamo (con ${\mathbf R}(0)=0$):
\begin{equation}
x \epsilon_{xx}\simeq x\frac{\partial u}{\partial x};\,y \epsilon_{yx}\simeq y \frac{\partial u}{\partial y}; \,...
\label{eq:epsilon}
\end{equation}
Normalmente si lavora con dei parametri $e_{\alpha\beta}$ definiti a partire dai parametri $\epsilon_{\alpha\beta}$: 
\begin{eqnarray}
\nonumber
e_{xx}=\epsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}; & 
e_{xy}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf y'}= \epsilon_{yx}+\epsilon_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}; & 
e_{xz}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{zx}+\epsilon_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ 
\nonumber
e_{yx}=e_{xy}; & 
e_{yy}=\epsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y};& 
e_{yz}={\mathbf y'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{yz}+\epsilon_{zy}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\\
 e_{zx}=e_{yz}; & e_{zy} = e_{yz}; & e_{zz}=\epsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}
\end{eqnarray}
\subsection{Dilatazione}
L'aumento relativo di volume dovuto ad una deformazione \`e la {\em dilatazione}. Il cubo di lati $\hat {\mathbf x}$, $\hat{\mathbf y}$ $\hat {\mathbf z}$, dopo la deformazione avr\`a un volume:
\begin{equation}
{\mathbf x}'\times {\mathbf y}'\cdot {\mathbf z}'= 
\begin{vmatrix}
1+\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\
\epsilon_{xy} & 1+\epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\
\epsilon_{xz} & \epsilon_{yz} & 1+\epsilon_{zz}
\end{vmatrix}
\simeq 1+\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}+O(\epsilon^2)
\end{equation}
dunque la dilatazione \`e:
\begin{equation}
\delta=\frac{\Delta V}{V}=\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}
\end{equation}

\subsection{Sforzi}
Per i solidi una forza applicata ad una superficie unitaria \`e uno {\em sforzo}. Esistono 9 componenti dello sforzo, ciascuna indicata da una lettera maiuscola con un pedice. La lettera indica la direzione dello sforzo e il pedice indica la direzione della normale alla superficie a cui \`e applicata, per cui,per es. $X_y$ \`e la forza applicata in direzione dell'asse x alla faccia la cui normale giacie lungo l'asse y (vedi Fig. \ref{fig:stress}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Stress.eps}
\caption{Definizione delle componenti dello sforzo: $X_x$ \`e la forza applicata nella direzione di x ad una faccia con normale nella direzione x; $X_y$ \`e applicata in direzione x alla faccia la cui normale è nella direzione y}
\label{fig:stress}
\end{center}
\end{figure}
Il numero di componenti pu\`o essere ridotto se si applica la condizione che, per un cubo elementare, l'accelerazione angolare sia nulla e dunque la torsione sia nulla. Da questo segue che (Fig. \ref{fig:Stress2}) $X_y=Y_x$, $Y_z=Z_y$ e $Z_y=Y_z$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Sforzo2.eps}
\caption{Dimostrazione che per un corpo in equilibrio $X_y=Y_x$. Le forze in ciascuna delle due direzioni si annullano. Anche il momento rispetto all'origine si annulla se $X_y=Y_x$}
\label{fig:Stress2}
\end{center}
\end{figure}
In totale rimangono 6 componenti indipendenti: $X_x,Y_y,Z_z,X_y, Y_z, Z_y$. Per convenzione il segno positivo \`e quello della trazione, la pressione ha quello negativo.\par
Una notazione alternativa per le componenti dello sforzo, che permette espressioni pi\`u compatte, \`e quella di una lettera (per es S o $\sigma$) con due indici, il primo indice indica l'asse cui \`e  ortogonale il piano, la seconda la direzione. Per es. $\sigma_{12}$ \`e la trazione nella direzione di $x_2$ del piano ortogonale a $x_1$. In questo modo la componente i-esima di una trazione, che \`e data dalla somma delle componenti i-esime sulle faccie ortogonali all'asse j si scrive:
$$t_i=\sum_j \sigma_{ij}n^j$$
in cui, spesso, il simbolo si sommatoria viene omesso con la convenzione che indici uguali, in alto ed in basso indicano la somma rispetto a quell'indice (si saturano, in gergo).\par
Da questa notazione \`e  evidente che lo sforzo forma un tensore di rango 2 (una matrice) con tre righe e tre colonne (9 elementi), che, con le considerazioni fatte precedentemente \`e simmetrico:$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$, il che porta le componenti indipendenti a 6:
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
 & & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix}
\end{equation}
Le componenti normali dello sforzo sono quelle sulla diagonale, le componenti {\em di taglio} sono quelle off-diagonal. Il tensore degli sforzi pu\`o essere diagonalizzato in modo che non compaiano sforzi di taglio sulle faccie ortogonali agli assi principali.

\section{Onde S e P} 
\subsection{Equazioni del moto}
Se con la notazione sopra esposta vogliamo scrivere la legge di Newton F=ma, applicata ad un solido, otteniamo:
\begin{equation}
\sum_i F_i=\int_V f_i dV+\int_S t_i dS= \int_V f_i dV + \int_S \sigma_{ij} n^j dS=ma_i
\end{equation}
Per il teorema della divergenza, possiamo scrivere:
$$\int_S \sigma_{ij}n^j dS = \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} dV$$
da cui si deduce l'equazione di Navier:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i
\label{eq:Navier}
\end{equation}
Ignorare le forze di volume $f_i$, semplifica le cose ma pu\`o essere pericoloso quando si trattano oscillazioni a bassa frequenza (per es. quando si considerano le oscillazioni di tutta la terra, le forze di gravit\`a sono importanti).\par
La relazione che lega le deformazioni agli sforzi se \`e lineare \`e la legge di Hooke:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon^{kl}
\label{eq:Hooke_gen}
\end{equation}
in cui abbiamo definito il tensore di rigidit\`a (stiffness) del quarto ordine $C_{ijkl}$ le cui componenti sono note come costanti di rigidit\`a elastica o moduli di elasticit\`a.\par
La legge (\ref{eq:Hooke_gen}), sostituita nella (\ref{eq:Navier}) e con le definizioni (\ref{eq:epsilon}) ci fornisce la legge di propagazione di una deformazione in un solido:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x_j}C_{ijkl}\frac{\partial u^k}{\partial x_l}=C_{ijkl}\frac{\partial^2 u^k}{\partial x^j \partial x^l}
\label{eq:prop_solid}
\end{equation}
Le 81 componenti del tensore di rigidit\`a, possono essere ridotte grazie a numerose considerazioni: in primo luogo, la simmetria delle $\sigma_{ij}$ e delle $\epsilon_{kl}$ riduce il numero delle componenti indipendenti a 36 (prodotto delle 6 $\sigma$ indipendenti per le 6 $\epsilon$ indipendenti); altre considerazioni meno banali portano le componenti indipendenti a 21. Per ottenere qualche risultato, per\`o dobbiamo ridurre la complessit\`a del mezzo. Il caso pi\`u semplice \`e quello di un mezzo isotropo e omogeneo. In questo caso si dimostra che:
\begin{equation}
C_{ijkl}=\lambda \delta_{ij}\delta_{kl}+ \mu (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\label{eq:isotromo}
\end{equation}
dove le costanti $\lambda$ e $\mu$ sono le costanti di Lam\'e. Sostituendo la (\ref{eq:isotromo}) nella (\ref{eq:Hooke_gen}) si ottiene:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}\epsilon^{kl}+2\mu\epsilon_{ij}
\end{equation}
ma $\delta_{kl}\epsilon^{kl} =  \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}=\partial u_k/\partial x_k$ che \`e l'aumento frazionario di volume $\Delta$, Dunque:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\Delta+2\mu\epsilon_{ij}
\label{eq:sigma_isotr}
\end{equation}
La costante di Lam\'e $\mu$ \`e nota come modulo di deformazione o rigidit\`a, la $\lambda$, di per s\'e non ha significato fisico ma in combinazione con l'altra definisce la costante $\kappa=\lambda+2/3\mu$ nota come incomprimiblit\`a o modulo di volume. La rigidit\`a \`e piccola per materiali con bassa viscosit\`a. Il modulo di volume esprime la resistenza ai cambi di volume $\kappa=-\partial P/\partial\Delta$ in cui P \`e la pressione. Concludendo, sostituendo la (\ref{eq:sigma_isotr}) nella (\ref{eq:prop_solid}) otteniamo:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_k} + \mu \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}
\label{eq:prop_isotromo}
\end{equation}
\subsection{Onde}
Possiamo scrivere la (\ref{eq:prop_isotromo}) in notazione vettoriale come:
\begin{equation}
\rho \ddot{\mathbf u}= (\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+\mu \nabla^2 u
\label{eq:prop_vect} 
\end{equation}
Facendo uso della identit\`a vettoriale ${\mathbf A}\times{\mathbf B}\times{\mathbf C}={\mathbf A}({\mathbf B}\cdot{\mathbf C})-({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}){\mathbf C}$ applicata al vettore $\nabla$ si ottiene che:
$$\nabla\times\nabla\times {\mathbf u} = \nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-(\nabla\cdot\nabla){\mathbf u}$$
e di conseguenza:
$$\nabla^2 {\mathbf u}=\nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}$$
Sostituendo nella (\ref{eq:prop_vect}) si ottiene:
\begin{equation}
\rho  \ddot{\mathbf u}= (\lambda+2\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+ \mu\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}
\label{eq:dilatorota}
\end{equation}
che \`e formata da un primo termine dilazionale ed un secondo termine rotazionale.
L'equazione (\ref{eq:dilatorota}) \`e di difficile risoluzione in generale,  e si preferisce separarla in equazioni che considerino solo la parte rotazionale o solo  quella rotazionale. Per eliminare la parte rotazionale si fa uso della proriet\`a $\nabla\cdot(\nabla\times{\mathbf A})=0$ che \`e evidente se si pensa che il prodotto vettoriale di due vettori \`e ortogonale a entrambi i vettori. Prendendo la divergenza della (\ref{eq:dilatorota}), allora si ottiene:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 (\nabla \cdot {\mathbf u})}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2(\nabla\cdot{\mathbf u})
\end{equation}
e, detta $\Theta = \nabla\cdot {\mathbf u}$:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 \Theta}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2\Theta
\label{eq:OndeP}
\end{equation}
che \`e l'equazione (scalare) della propagazione di un onda di volume attraverso il mezzo con una velocit\`a di propagazione:
\begin{equation}
v_s=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{\kappa+4/3\mu}{\rho}}
\label{eq:speed_vp}
\end{equation}
Analogamente, prendendo il rotore, otteniamo:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 (\nabla \times {\mathbf u})}{\partial t^2}=\beta\nabla^2(\nabla \times {\mathbf u})
\label{eq:OndeS}
\end{equation}
che \`e l'equazione vettoriale della propagazione di un disturbo rotazionale con velocit\`a $\beta=\sqrt{\mu/\rho}$. Le onde dilazionali e rotazionali sono note rispettivamente come {\em onde P} e {\em onde S}.\par
Un modo pi\`u elegante per ottenre i risultati appena mostrati \`e utilizzare l teorema di Helmoltz che dice che qualsiasi campo vettoriale pu\`o essere decomposto nella somma di un gradiente di un potenziale scalare e del rotore di un campo vettoriale:
\begin{eqnarray}
{\mathbf u}=\nabla\Phi+\nabla \times{\mathbf \Psi}\\
\nabla\cdot{\mathbf \Psi}=0
\end{eqnarray}

