\chapter{Solidi}
\label{chap:solidi}
\section{Deformazioni e sforzi}
Consideriamo le propriet\`a elastiche di un solido visto come un mezzo continuo omogeneo. quest'approssimazone \`e in genere valida per onde elastiche di lunghezza d'onda inferiore a $10^{-8}\,m$. Le idee fisiche alla base di questa trattazione sono essenzialmente la II legge di Newton e la legge di Hooke. La legge di Hooke dice che la deformazione \`e direttamente proporzionale allo sforzo; questa legge si applica al caso di piccole deformazioni.\par


\subsection{Deformazioni}
\label{sec:deformazioni}
Consideriamo tre assi ortogonali unitari {\bf $\hat x$, $\hat y$ $\hat z$} solidali al solido indeformato (Fig.(\ref{fig:def_axis})); dopo una deformazione gli assi coordinati saranno cambiati in orientazione e lunghezza. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Deformazioni.eps}
\caption{Assi coordinati per la descrizione delle deformazioni elastiche nel caso indeformato (a) e dopo la deformazione (b)}
\label{fig:def_axis}
\end{center}
\end{figure}
I nuovi assi {\bf $\hat x'$, $\hat y'$ $\hat z'$} possono essere descritti in funzione dei vecchi, al primo ordine:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
 x'=(1+\epsilon_{xx})\hat x+\epsilon_{xy} \hat y + \epsilon_{xz} z\\
 y'=\epsilon_{yx}\hat x+(1+\epsilon_{yy}) \hat y + \epsilon_{yz} z\\
 z'=\epsilon_{zx}\hat x+\epsilon_{zy} \hat y + (1+\epsilon_{zz}) z
\end{array}
\right.
\label{eq:strain}
\end{equation}
I termini $\epsilon_{\alpha\beta}$ definiscono le {\em deformazioni} del solido e sono adimensionali. Se anche gli assi originali avevano dimensioni unitarie, non altrettanto si pu\`o dire degli assi deformati. Per provarlo possiamo calcolare il modulo quadro dell'asse deformato:
$$  {\mathbf x'} \cdot {\mathbf  x'}= 1+2\epsilon_{xx} + \epsilon_{xx}^2 + \epsilon_{xy}^2 + \epsilon_{xz}^2$$
dunque, al primo ordine è $ x' = 1+\epsilon_{xx} \hat x$.\par
L'effetto di una deformazione su un punto originariamente posto ad ${\mathbf r} = \hat {\mathbf x}x + \hat {\mathbf y}y + \hat {\mathbf z}z$ sar\`a di spostare il punto in $\mathbf r'$. Lo spostamento indotto dalla deformazione \`e 
\begin{equation}
{\mathbf R} = {\mathbf r'} - {\mathbf r} = x (\hat{\mathbf x'} - {\mathbf x}) + y (\hat{\mathbf y'} - {\mathbf y}) + z(\hat{\mathbf z'} - {\mathbf z})
\end{equation}
sostituendo le (\ref{eq:strain}) e raccogliendo i termini, otteniamo:
\begin{equation}
{\mathbf R} = (x \epsilon_{xx}+ y \epsilon_{yx} +  z \epsilon_{zx})\hat{\mathbf  x}+
(x \epsilon_{xy}+ y\epsilon_{yy} +  z\epsilon_{zy}) \hat{\mathbf y} +
(x \epsilon_{xz}+ y\epsilon_{yz} +  z\epsilon_{zz})\hat{\mathbf  z}
\label{eq:spostamento}
\end{equation}
che pu\`o essere espressa tramite tre parametri di deformazione locale $u ({\mathbf r})$, $v ({\mathbf r})$ e $w ({\mathbf r})$:
\begin{equation}
{\mathbf R} = u ({\mathbf r})\hat{\mathbf  x} + v ({\mathbf r})\hat{\mathbf  y} + w ({\mathbf r}) \hat{\mathbf z}
\label{eq:spost1}
\end{equation}
Per ${\mathbf r}$ piccoli, confrontando le (\ref{eq:spostamento}) e (\ref{eq:spost1}) otteniamo (con ${\mathbf R}(0)=0$):
\begin{equation}
x \epsilon_{xx}\simeq x\frac{\partial u}{\partial x};\,y \epsilon_{yx}\simeq y \frac{\partial u}{\partial y}; \,...
\label{eq:epsilon}
\end{equation}
Normalmente si lavora con dei parametri $e_{\alpha\beta}$ definiti a partire dai parametri $\epsilon_{\alpha\beta}$: 
\begin{eqnarray}
\nonumber
e_{xx}=\epsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}; & 
e_{xy}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf y'}= \epsilon_{yx}+\epsilon_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}; & 
e_{xz}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{zx}+\epsilon_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ 
\nonumber
e_{yx}=e_{xy}; & 
e_{yy}=\epsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y};& 
e_{yz}={\mathbf y'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{yz}+\epsilon_{zy}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\\
 e_{zx}=e_{yz}; & e_{zy} = e_{yz}; & e_{zz}=\epsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}
\end{eqnarray}
\subsection{Dilatazione}
L'aumento relativo di volume dovuto ad una deformazione \`e la {\em dilatazione}. Il cubo di lati $\hat {\mathbf x}$, $\hat{\mathbf y}$ $\hat {\mathbf z}$, dopo la deformazione avr\`a un volume:
\begin{equation}
{\mathbf x}'\times {\mathbf y}'\cdot {\mathbf z}'= 
\begin{vmatrix}
1+\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\
\epsilon_{xy} & 1+\epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\
\epsilon_{xz} & \epsilon_{yz} & 1+\epsilon_{zz}
\end{vmatrix}
\simeq 1+\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}+O(\epsilon^2)
\end{equation}
dunque la dilatazione \`e:
\begin{equation}
\delta=\frac{\Delta V}{V}=\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}
\end{equation}

\subsection{Sforzi}
Per i solidi una forza applicata ad una superficie unitaria \`e uno {\em sforzo}. Esistono 9 componenti dello sforzo, ciascuna indicata da una lettera maiuscola con un pedice. La lettera indica la direzione dello sforzo e il pedice indica la direzione della normale alla superficie a cui \`e applicata, per cui,per es. $X_y$ \`e la forza applicata in direzione dell'asse x alla faccia la cui normale giacie lungo l'asse y (vedi Fig. \ref{fig:stress}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Stress.eps}
\caption{Definizione delle componenti dello sforzo: $X_x$ \`e la forza applicata nella direzione di x ad una faccia con normale nella direzione x; $X_y$ \`e applicata in direzione x alla faccia la cui normale è nella direzione y}
\label{fig:stress}
\end{center}
\end{figure}
Il numero di componenti pu\`o essere ridotto se si applica la condizione che, per un cubo elementare, l'accelerazione angolare sia nulla e dunque la torsione sia nulla. Da questo segue che (Fig. \ref{fig:Stress2}) $X_y=Y_x$, $Y_z=Z_y$ e $Z_y=Y_z$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Sforzo2.eps}
\caption{Dimostrazione che per un corpo in equilibrio $X_y=Y_x$. Le forze in ciascuna delle due direzioni si annullano. Anche il momento rispetto all'origine si annulla se $X_y=Y_x$}
\label{fig:Stress2}
\end{center}
\end{figure}
In totale rimangono 6 componenti indipendenti: $X_x,Y_y,Z_z,X_y, Y_z, Z_y$. Per convenzione il segno positivo \`e quello della trazione, la pressione ha quello negativo.\par
Una notazione alternativa per le componenti dello sforzo, che permette espressioni pi\`u compatte, \`e quella di una lettera (per es S o $\sigma$) con due indici, il primo indice indica l'asse cui \`e  ortogonale il piano, la seconda la direzione. Per es. $\sigma_{12}$ \`e la trazione nella direzione di $x_2$ del piano ortogonale a $x_1$. In questo modo la componente i-esima di una trazione, che \`e data dalla somma delle componenti i-esime sulle faccie ortogonali all'asse j si scrive:
$$t_i=\sum_j \sigma_{ij}n^j$$
in cui, spesso, il simbolo si sommatoria viene omesso con la convenzione che indici uguali, in alto ed in basso indicano la somma rispetto a quell'indice (si saturano, in gergo).\par
Da questa notazione \`e  evidente che lo sforzo forma un tensore di rango 2 (una matrice) con tre righe e tre colonne (9 elementi), che, con le considerazioni fatte precedentemente \`e simmetrico:$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$, il che porta le componenti indipendenti a 6:
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
 & & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix}
\end{equation}
Le componenti normali dello sforzo sono quelle sulla diagonale, le componenti {\em di taglio} sono quelle off-diagonal. Il tensore degli sforzi pu\`o essere diagonalizzato in modo che non compaiano sforzi di taglio sulle faccie ortogonali agli assi principali.

\section{Onde S e P} 
\subsection{Equazioni del moto}
Se con la notazione sopra esposta vogliamo scrivere la legge di Newton F=ma, applicata ad un solido, otteniamo:
\begin{equation}
\sum_i F_i=\int_V f_i dV+\int_S t_i dS= \int_V f_i dV + \int_S \sigma_{ij} n^j dS=ma_i
\end{equation}
Per il teorema della divergenza, possiamo scrivere:
$$\int_S \sigma_{ij}n^j dS = \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} dV$$
da cui si deduce l'equazione di Navier:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i
\label{eq:Navier}
\end{equation}
Ignorare le forze di volume $f_i$, semplifica le cose ma pu\`o essere pericoloso quando si trattano oscillazioni a bassa frequenza (per es. quando si considerano le oscillazioni di tutta la terra, le forze di gravit\`a sono importanti).\par
La relazione che lega le deformazioni agli sforzi se \`e lineare \`e la legge di Hooke:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon^{kl}
\label{eq:Hooke_gen}
\end{equation}
in cui abbiamo definito il tensore di rigidit\`a (stiffness) del quarto ordine $C_{ijkl}$ le cui componenti sono note come costanti di rigidit\`a elastica o moduli di elasticit\`a.\par
La legge (\ref{eq:Hooke_gen}), sostituita nella (\ref{eq:Navier}) e con le definizioni (\ref{eq:epsilon}) ci fornisce la legge di propagazione di una deformazione in un solido:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x_j}C_{ijkl}\frac{\partial u^k}{\partial x_l}=C_{ijkl}\frac{\partial^2 u^k}{\partial x^j \partial x^l}
\label{eq:prop_solid}
\end{equation}
Le 81 componenti del tensore di rigidit\`a, possono essere ridotte grazie a numerose considerazioni: in primo luogo, la simmetria delle $\sigma_{ij}$ e delle $\epsilon_{kl}$ riduce il numero delle componenti indipendenti a 36 (prodotto delle 6 $\sigma$ indipendenti per le 6 $\epsilon$ indipendenti); altre considerazioni meno banali portano le componenti indipendenti a 21. Per ottenere qualche risultato, per\`o dobbiamo ridurre la complessit\`a del mezzo. Il caso pi\`u semplice \`e quello di un mezzo isotropo e omogeneo. In questo caso si dimostra che:
\begin{equation}
C_{ijkl}=\lambda \delta_{ij}\delta_{kl}+ \mu (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\label{eq:isotromo}
\end{equation}
dove le costanti $\lambda$ e $\mu$ sono le costanti di Lam\'e. Sostituendo la (\ref{eq:isotromo}) nella (\ref{eq:Hooke_gen}) si ottiene:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}\epsilon^{kl}+2\mu\epsilon_{ij}
\end{equation}
ma $\delta_{kl}\epsilon^{kl} =  \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}=\partial u_k/\partial x_k$ che \`e l'aumento frazionario di volume $\Delta$, Dunque:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\Delta+2\mu\epsilon_{ij}
\label{eq:sigma_isotr}
\end{equation}
La costante di Lam\'e $\mu$ \`e nota come modulo di deformazione o rigidit\`a, la $\lambda$, di per s\'e non ha significato fisico ma in combinazione con l'altra definisce la costante $\kappa=\lambda+2/3\mu$ nota come incomprimiblit\`a o modulo di volume. La rigidit\`a \`e piccola per materiali con bassa viscosit\`a. Il modulo di volume esprime la resistenza ai cambi di volume $\kappa=-\partial P/\partial\Delta$ in cui P \`e la pressione. Concludendo, sostituendo la (\ref{eq:sigma_isotr}) nella (\ref{eq:prop_solid}) otteniamo:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_k} + \mu \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}
\label{eq:prop_isotromo}
\end{equation}
\subsection{Onde}
Possiamo scrivere la (\ref{eq:prop_isotromo}) in notazione vettoriale come:
\begin{equation}
\rho \ddot{\mathbf u}= (\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+\mu \nabla^2 u
\label{eq:prop_vect} 
\end{equation}
Facendo uso della identit\`a vettoriale ${\mathbf A}\times{\mathbf B}\times{\mathbf C}={\mathbf A}({\mathbf B}\cdot{\mathbf C})-({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}){\mathbf C}$ applicata al vettore $\nabla$ si ottiene che:
$$\nabla\times\nabla\times {\mathbf u} = \nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-(\nabla\cdot\nabla){\mathbf u}$$
e di conseguenza:
$$\nabla^2 {\mathbf u}=\nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}$$
Sostituendo nella (\ref{eq:prop_vect}) si ottiene:
\begin{equation}
\rho  \ddot{\mathbf u}= (\lambda+2\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+ \mu\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}
\label{eq:dilatorota}
\end{equation}
che \`e formata da un primo termine dilazionale ed un secondo termine rotazionale.
L'equazione (\ref{eq:dilatorota}) \`e di difficile risoluzione in generale,  e si preferisce separarla in equazioni che considerino solo la parte rotazionale o solo  quella rotazionale. Per eliminare la parte rotazionale si fa uso della proriet\`a $\nabla\cdot(\nabla\times{\mathbf A})=0$ che \`e evidente se si pensa che il prodotto vettoriale di due vettori \`e ortogonale a entrambi i vettori. Prendendo la divergenza della (\ref{eq:dilatorota}), allora si ottiene:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 (\nabla \cdot {\mathbf u})}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2(\nabla\cdot{\mathbf u})
\label{eq:mista}
\end{equation}
e, detta $\Theta = \nabla\cdot {\mathbf u}$:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 \Theta}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2\Theta
\label{eq:OndeP}
\end{equation}
che \`e l'equazione (scalare) della propagazione di un onda di volume attraverso il mezzo con una velocit\`a di propagazione:
\begin{equation}
v_s=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{\kappa+4/3\mu}{\rho}}
\label{eq:speed_vp}
\end{equation}
Analogamente, prendendo il rotore, otteniamo:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 (\nabla \times {\mathbf u})}{\partial t^2}=\beta\nabla^2(\nabla \times {\mathbf u})
\label{eq:OndeS}
\end{equation}
che \`e l'equazione vettoriale della propagazione di un disturbo rotazionale con velocit\`a $\beta=\sqrt{\mu/\rho}$. Le onde dilazionali e rotazionali sono note rispettivamente come {\em onde P} e {\em onde S}.\par
Un modo pi\`u elegante per ottenre i risultati appena mostrati \`e utilizzare l teorema di Helmoltz che dice che qualsiasi campo vettoriale pu\`o essere decomposto nella somma di un gradiente di un potenziale scalare e del rotore di un campo vettoriale:
\begin{eqnarray}
{\mathbf u}=\nabla\Phi+\nabla \times{\mathbf \Psi}\\
\nabla\cdot{\mathbf \Psi}=0
\end{eqnarray}
Possiamo riscrivere la (\ref{eq:mista}) in termini dei campi $\Phi$ e $\Psi$ 
\begin{align}
\nonumber
\rho\left(\nabla \ddot\Phi + \nabla \times \ddot\Psi\right) =&
(\lambda + 2\mu) \nabla\left[\nabla\cdot(\nabla\Phi+\nabla\times\Psi)\right]+\\
&- \mu \left[ \nabla\times\nabla\times(\nabla\Phi + \nabla\times\Psi)\right]
\end{align}
dalla quale, eseguendo i prodotti misti ed eliminando le divergenze nulle:
\begin{equation}
\nabla\left[(\lambda + 2\mu)\nabla^2\Phi-\rho\ddot\Phi\right]+
\nabla\times\left[\mu\nabla^2\Psi -\rho\ddot\Psi\right] = 0
\label{eq:dasep}
\end{equation}
che \`e verificata se sono separatamente nulli gli addendi nelle due variabili e definisce le velocità delle onde di pressione:
$$ \alpha = \sqrt{\frac{\lambda + 2 \mu}{\rho}}$$ e per le onde di taglio
$$ \beta = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$$ .\par
\subsection{Rifrazione e riflessione su una superfice di discontinuit\`a}
Consideriamo ora un onda $u(\mathbf{x}, t)$ che vibri solo nel piano $xz$, incidente su una superficie di separazione fra due mezzi, posta nel piano $xy$. Dunque sar\`a $\partial \Phi/\partial y = 0$ e analogamente per $\Psi$. Il gradiente di $\Phi$ è :
\begin{equation}
\nabla\Phi= 
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \Phi}{\partial x}\\
 0 \\
 \frac{\partial \Phi}{\partial z} 
\end{pmatrix}
\end{equation}
e il rotore di $\mathbf{\Psi}$:
\begin{equation}
\nabla\times\mathbf{\psi} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\Psi_x & \Psi_y & \Psi_z
\end{vmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{\partial\Psi_y}{\partial z} \\
 \frac{\partial\Psi_x}{\partial z} - \frac{\partial\Psi_z}{\partial x}\\
 \frac{\partial\Psi_y}{\partial x}
\end{pmatrix}
\end{equation}
che contiene una parte che vibra nel piano $xz$, che chiameremo $\Psi_V$ ed una parte che vibra lungo $y$, che chiameremo $\Psi_H$.
di conseguenza, per il vettore completo:
\begin{equation}
\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)=
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2\\
u_3\\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\frac{\partial\Phi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi_y}{\partial z} \\
 \frac{\partial\Psi_x}{\partial z} - \frac{\partial\Psi_z}{\partial x}\\
\frac{\partial\Phi}{\partial z}+ \frac{\partial\Psi_y}{\partial x}
\end{pmatrix}
\label{eq:vect_u}
\end{equation}
Se per questa cerchiamo soluzioni oscillanti del tipo:
\begin{equation}
\mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int \mathbf{u}(\mathbf{k}, \omega) e^{-i(\omega t - \mathbf{k\cdot x})}d\omega d^3 k
\end{equation}
dalla (\ref{eq:dasep}) ricaviamo le {\em relazioni di dispersione} per le onde di pressione e di taglio:
\begin{eqnarray}
\omega^2 \Phi - \alpha^2 |\mathbf{k}|^2 \Phi = 0 & \Rightarrow & \frac{\omega^2}{\alpha^2}=\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2 \right) \label{eq:disp_P}\\
\omega^2 \Psi - \beta^2  |\mathbf{k}|^2 \Psi = 0 & \Rightarrow & \frac{\omega^2}{\beta^2} =\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2 \right) \label{eq:disp_S}
\end{eqnarray}
Sulla superficie di separazione le tensioni $t_i = \sigma_{ij} n^j$ devono essere nulle. Se consideriamo il vettore normale alla superficie di separazione, questi sarà lungo l'asse z, dunque $\mathbf{t} = (\sigma_{13}, \sigma_{23}, \sigma_{33})$.\par
Consideriamo ora l'espressione del tensore degli sforzi (\ref{eq:sigma_isotr}) applicato al vettore (\ref{eq:vect_u}). Avremo, per le componenti che ci interessano:
\begin{align}
\nonumber
\sigma_{13}=&\mu\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) = 2\mu\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial z}\\
\nonumber
\sigma_{23} = & 0\\
\sigma_{33} = & \lambda \nabla^2\Phi + 2\mu\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}
\end{align}
Per quello che riguarda le onde $\Psi_V$ avremo:
\begin{align}
\nonumber
\sigma_{13} = & \mu\left[ \partial_3 (-\partial_3 \Psi_2) + \partial_1 \partial_1\Psi_2\right] =\mu\left(\frac{\partial^2 \Psi_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \Psi_y}{\partial x^2} \right)\\
\nonumber
\sigma_{23} = & 0\\
\sigma_{33} = & 2\mu\frac{\partial^2\Psi_y}{\partial x\partial z}
\end{align}
mentre per le onde $\Psi_H$ ci sarà solo 
$$ \sigma_{23} = \mu\left(\frac{\partial^2\Psi_x}{\partial z^2} - \frac{\partial^2\Psi_z}{\partial z \partial x}\right)$$
Siccome l'onda P incidente vibra solo nel piano $xz$, le eventuali onde riflesse e rifratte dovranno vibrare solo nello stesso piano, dunque saranno solo P e SV e non ci saranno onde SH.\par
Le condizioni al contorno sulla superficie di separazione: l'annullarsi degli sforzi e la continuità degli spostamenti, forniranno le relazioni fra le ampiezze delle onde incidenti, riflesse e rifratte.
Se consideriamo le (\ref{eq:disp_P}) e (\ref{eq:disp_S}) riferite al piano $xz$, detti $\theta_i$, $\theta_{i^\prime}$, $\phi$ rispettivamente gli angoli di incidenza, e di riflessione delle onde P e SV e $\theta_r$ e $\phi_r$ gli angoli di rifrazione delle onde P e SV, sarà:' 
\begin{eqnarray}
\mathbf{k_P^{inc}} =\left( sin(\theta_i) = \omega\frac{sin(\theta_i)}{\alpha}\right.,&0 &,  -cos(\theta_i) = -\left.\omega\frac{cos(\theta_i)}{\alpha} \right)\\
\mathbf{k_{P}^{rifl}} = \left( \omega\frac{sin(\theta_{i^\prime})}{\alpha}\right.,& 0 &, \left.\omega\frac{cos(\theta_{i^\prime})}{\alpha}\right)\\
\mathbf{k_{SV}^{rifl}} = \left( \omega\frac{sin(\phi)}{\beta}\right.,& 0 &, \left.\omega\frac{cos(\phi)}{\beta}\right)\\
\mathbf{k_{P}^{rifr}} = \left( sin(\theta_r) = \omega\frac{sin(\theta_r)}{\alpha^\prime}\right.,&0 &, \left. cos(\theta_r) = \omega\frac{cos(\theta_r)}{\alpha^\prime} \right)\\
\end{eqnarray}
Quindi per i potenziali, sarà:
\begin{eqnarray}
\Phi^{inc}=& A e^{-i\omega\left(t - \frac{sin(\theta_i)}{\alpha} x + \frac{cos(\theta_i)}{\alpha} z\right)}\\
\Phi^{rifl}=& B e^{-i\omega\left(t - \frac{sin(\theta_i^\prime)}{\alpha} x - \frac{cos(\theta_i)}{\alpha} z\right)}\\
\Psi^{rifl}=& C e^{-i\omega\left(t - \frac{sin(\phi)}{\beta} x - \frac{cos(\phi)}{\beta}z\right)}
\end{eqnarray}
per $z=0$ deve essere nulla la somma delle tre onde; dunque dovranno essere gli esponenti uguali fra loro e nulla la somma delle costanti. Da ciò si ricava che:
\begin{equation}
\frac{sin(\theta_i)}{\alpha} = \frac{sin(\theta_i^\prime)}{\alpha} = \frac{sin(\phi)}{\beta} = p
\end{equation}
che ci dice che gli angoli di incidenza e riflessione delle onde P sono uguali, e:
$$\frac{sin(\theta_i)}{sin(\phi)} = \frac{\alpha}{\beta}$$
Analogamente possiamo ricavare le relazioni fra l'angolo dell'onda P incidente e gli angoli delle onde rifratte:
\begin{eqnarray}
\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_r)} = \frac{\alpha}{\alpha^\prime}\\
\frac{sin(\theta_i)}{sin(\phi_r)} = \frac{\alpha}{\beta^\prime}
\end{eqnarray}
\section{Oscillazioni di un reticolo cristallino monodimensionale}
Fin'ora abbiamo considerato i solidi come dei continui omogenei. Nei materiali cristallini, possiamo considerare gli atomi che compongono i cristalli, in posizioni che formano un reticolo periodico: il {\em reticolo cristallino}. Gli atomi che compongono il reticolo cristallino si attraggono reciprocamente con una forza che dipende dal tipo di cristallo considerato (ionico, covalente, molecolare, etc...) e, se spostati dalla posizione di equilibrio, tendono a ritornarci, oscillando. In prima approssimazione possiamo considerare che l'attrazione fra gli atomi del cristallo sia solo fra i primi vicini, trascurando l'attrazione con gli atomi a distanze maggiori di un passo reticolare.\par
\subsection{Reticoli di Bravais}
Un concetto fondamentale nella descrizione dei cristalli è quello del reticolo di Bravais che specifica la matrice periodica in cui sono organizzate le unità ripetute del cristallo. Queste unità, possono essere composte da uno o più atomi o molecole, il reticolo di Bravais descrive solo la geometria della strutura periodica sottostante.\par
Un reticolo di Bravais tridimansionale può essere descritto da tutti i punti che abbiano un vettore di posizione:
\begin{equation}
\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a_1} +n_2 \mathbf{a_2} + n_3 \mathbf{a_3} 
\label{eq:bravais_1}
\end{equation}
dove $\mathbf{a_i}$ sono tre vettori non complanari detti i vettori {\em primitivi} del reticolo e $n_i$ tre numeri interi. È importante che, non solo l'arrangiamento ma anche l'orientazione di un reticolo di Bravais deve apparire lo stesso da qualunque punto del reticolo. Per esempio, un reticolo bidimensionale a nido d'ape (esagonale) non è un reticolo di Bravais, perché appare lo stesso se visto da punti adiacenti solo se si ruota di $180\^o$.\par
Un volume di spazio che, traslato lungo tutti i vettori primitivi in un reticolo di Bravais, riempie tutto lo spazio senza sovrapposizioni o buchi, è detto {\em cella primitiva} del reticolo. La scelta della cella primitiva non è univoca, ma questa deve contenere esattamente un punto reticolare. Pertanro se $n$ è la densità di punti, qualunque sia la scelta, il volume della cella sarà $1/n$.
Un cristallo fisico può essere descritto dando il suo reticolo di Bravais e la disposizione degli atomi (molecole, ioni...) nella cella primitiva. Questo insieme è noto come la {\em struttura cristallina} e consiste della medesima unità, detta {\em base}, ripetuta in tutti i punti del reticolo di Bravais. Per esempio, il reticolo bidimensionale esagonale, pur non essendo in sé un reticolo di Bravais monoatomico, può essere considerato un reticolo di Bravais con una base composta da due punti (vedi Fig\ref{fig:bravaisbase}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Bravaisbase.eps}
\caption{Il reticolo esagonale visto come reticolo con una base di due punti}
\label{fig:bravaisbase}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Oscillazioni in un reticolo monodimensionale monoatomico}
Consideriamo, ora un reticolo cristallino monodimensionale. Gli ioni, di massa M, sono in equilibrio in posizioni: $\mathbf{R} = n \mathbf{a}$. Se lo ione in posizione $n\mathbf{a}$ si sposta di $\mathbf{u}(n\mathbf{a})$, possiamo considerare che questo ione sia attratto dagli atomi in posizione $(n-1)\mathbf{a}$ e $(n+1)\mathbf{a}$ con una forza che è proporzionale alla distanza (se anche non è così, lo si consideri come uno sviluppo in serie al primo ordine). Se chiamiamo $K$, la costante elastica che lega gli atomi fra loro (la costante di proporzionalità fra la forza e la distanza reciproca, che, se gli atomi sono tutti uguali sarà la stessa per qualunque coppia), allora, possiamo scrivere l'equazione di Newton per l'atomo in posizione $n\mathbf{a}$:
\begin{align}
\nonumber
M\mathbf{\ddot u}(n\mathbf{a}) =& K\left\{\mathbf{u}((n+1)\mathbf{a})-\mathbf{u}(n\mathbf{a})-\left[\mathbf{u}(n\mathbf{a})-\mathbf{u}((n-1)\mathbf{a})\right] \right\} \\
&= K \left\{\mathbf{u}((n-1)\mathbf{a}) - 2\mathbf{u}(n\mathbf{a}) + \mathbf{u}((n+1)\mathbf{a})\right\}
\end{align}