Capitolo 1

Elettrostatica e conduzione

1.1 Richiami di elettrostatica nel vuoto

1.1.1 Il Campo Elettrico

Definiamo il campo elettrico E a partire dalla forza che subisce una carica elettrica nello spazio, in presenza di un’altra carica. Per una carica di prova unitaria, possiamo scrivere:

F = qE  (1.1)

Analogamente, possiamo scrivere la legge (di Coulumb) per due cariche q_{1} e q_{2}. La forza esercitata dalla carica 1 sulla 2 sarà:’

F_{12} = kq_{1}q_{1} \frac{x_{1} − x_{2}}{|x_{1} − x_{2}|^{3}}  (1.2)

Dal confronto fra le (1.1) e (1.2) si ricava che il campo elettrico generato dalla carica q_{1} nel punto x è:

E(x) = kq_{1} \frac{x − x_{1}}{|x − x_{1}|^{3}}  (1.3)

in cui la costante di proporzionalità k vale:

k = \frac{1}{4πϵ_{0}} = 10^{−7}c^{2} (SI)

avendo introdotto la permittività o costante dielettrica del vuoto che vale ϵ_{0} = 8.854 × 10^{−12}F m^{−1} = 8.854 × 10^{−12}C^{2}N^{−1}m^{−2}. Le dimensioni del campo elettrico saranno:[E] = V m^{−1}.

Per avere un’idea della forza del campo elettrico rispetto a quello gravitazionale, consideriamo il rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale esercitata da un elettrone su un’altro elettrone:

F_{E} = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}

F_{g} = G\frac{m_{e}^{2}}{r^{2}}

ove G = 6.67×10^{−11} Nm^{2}kg^{−2}, e = 1.602×10^{−19}C, e/m_{e} = 1.759×10^{11} Ckg^{−1}. Dunque:

\frac{F_{E}}{F_{g}} = \frac{1}{4πGϵ_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e}^{2}} = 4.17 × 10^{42}  (1.4)

1.1.2 Teorema di Gauss

Consideriamo una superficie chiusa S ed una carica ad una distanza r da un punto della superficie. Il flusso del campo attraverso la superficie è:

∫_{S} E · ndS = ∫_{S} \frac{1}{4πϵ_{0}} q \frac{r cos(θ)}{r^{3}}dS
= \frac{1}{4πϵ_{0}} q ∫ r \frac{1}{r^{3}} r^{2}dΩ = \frac{q}{ϵ_{0}}  (1.5)

dunque, per una densità di carica ρ(x):

∫_{S} E · n dS = \frac{1}{ϵ_{0}} ∫_{V} ρ(x) d^{3}x = ∫_{V} ∇ · Ed^{3}x  (1.6)

da cui si ricava la formula differenziale del Teorema di Gauss:

∇ · E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}  (1.7)

1.1.3 Potenziale scalare

La legge di Coulumb (1.3),per una densità di carica ρ(x), la possiamo scrivere:

E(x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫ ρ(x′)\frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} d^{3}x′  (1.8)

La funzione integranda può essere scritta come il gradiente rispetto a x di −1/|x − x′|. Infatti:

\frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x′^{2} − 2x · x′}} ) =

= −\frac{(2x′ − 2x)}{2 (x^{2} + x′^{2} − 2x · x′)^{3/2}}

= −\frac{x′ − x}{|x′ − x|^{3}}

Dunque la (1.8) diventa:

E(x) = −\frac{1}{4πϵ_{0}} ∇ ∫ \frac{ρ(x′)}{|x − x′|}d^{3}x′ = −∇V  (1.9)

ove si è definito il potenziale elettrico:

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫ \frac{ρ(x′)}{|x − x′|}d^{3}x′  (1.10)

Se il campo è il gradiente di un potenziale scalare V, allora il rotore del campo è nullo:

∇ × E = 0  (1.11)

e di conseguenza è nulla la circuitazione del campo lungo una linea chiusa:

∮ E · dℓ = 0  (1.12)

1.1.4 Distribuzione superficiale di carica e doppio strato

Il teorema di Gauss applicato ad una superficie carica con una densità superficiale σ si può scrivere come:

∫_{S} E · n dS = \frac{1}{ϵ_{0}} ∫_{S} σ dS  (1.13)

Se consideriamo i campi dai due lati della superficie E_{1} ed E_{2}, risulta (E_{1} −E_{2})· n = σ/ϵ_{0}, che ci dice solo che c’è una discontinuità nelle componenti normali del campo dai due lati della superficie. D’altra parte, la (1.12) applicata ad un circuito che attraversi la superficie e abbia due lati uguali e paralleli alla superficie ℓ_{1} ed ℓ_{2}, e gli altri due ortogonali, implica che:

∮ E · dℓ = E_{1} · ℓ_{1} − E_{2} · ℓ_{2} = 0  (1.14)

essendo i due lati paralleli percorsi in senso opposto.

In definitiva, mentre le componente normale alla superficie subisce un salto σ/ϵ_{0}, la componente tangenziale si conserva nel passaggio attraverso la superficie.

Consideriamo ora due superfici cariche con carica opposta, poste a distanza d(x) fra loro (Fig.1.1 - strato di dipolo). Il potenziale elettrico in un punto O(x) è dato dalla somma dei potenziali elettrici dei due strati calcolati in quel punto.

Figura 1.1: Definizione delle variabili per il calcolo del potenziale elettrico dello strato di dipolo

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} [∫_{S} \frac{σ(x′)}{|x − x′|}dS + ∫_{S′} \frac{−σ(x′)}{|x − x′ + d n|}dS′]  (1.15)

Siccome d << |x′|, possiamo sviluppare il secondo termine in serie di Taylor:

\frac{1}{|x − x′ + dn|} ≃ \frac{1}{|x − x′|} + dn · ∇ (\frac{1}{|x − x′|})

4 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E CONDUZIONE Dunque, sostituendo in (1.15), otteniamo:

V (x) ≃ \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{S} σ(x′)d n · ∇′ (\frac{1}{|x − x′|}) dS′  (1.16)

avendo tenuto conto che ∇ = −∇′. Definendo il dipolo elettrico come

p(x) = σ(x)d ndS  (1.17)

risulta che il potenziale di doppio strato, o di dipolo, è:

V (x) = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{p · (x − x′)}{|x − x′|^{3}}  (1.18)