\chapter{Serie e trasformate di Fourier}
\label{chap:Fourier}
\section{Definizioni}
\label{sec:Fourier_defin}
Abbiamo visto nel par. \ref{sec:CordaFourier}, che la risoluzione del problema della corda vibrante, conduce ad una soluzione che è la somma di seni e coseni moltiplicati per opportuni coefficienti:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\alpha_n cos\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)+\beta_n sin\left(\frac{cn\pi}{l}t\right)\right]sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\end{equation}
In generale, diremo che una funzione della variabile $x$, $f(x)$, definita nell'intervallo $-\pi<x<\pi$, è sviluppabile in serie di Fourier, se converge la somma:
\begin{equation}
f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos(n x)+b_n sin(n x)\right]
\label{eq:def_FourierSeries}
\end{equation}
Il termine $a_0/2$ \`e il valor medio della funzione, e si pu\`o ricavare integrando la (\ref{eq:def_FourierSeries}) ad ambo i membri fra $-\pi$ e $\pi$.
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx
\end{equation}
Avendo tenuto conto che gli integrali di seno e coseno, su un numero intero di periodi, sono nulli.
I parametri $a_n$ e $b_n$ si possono ricavare moltiplicando ambo i membri della (\ref{eq:def_FourierSeries}) rispattivamente per $cos(m x)$ e $sin(m x)$ ed integrando:
\begin{eqnarray}
a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx) dx\\
b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(mx) dx
\label{eq:coeffFourier}
\end{eqnarray}
avendo considerato che l'integrale del seno e coseno al quadrato, su un numero intero di periodi, è $1/2$ e l'integrale dei prodotti misti si annulla.\\
Se la $f(x)$ è definita in un intervallo $c-d<x<c+d$, allora sarà:
\begin{align}
f(x)=&\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right)+b_n sin\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right)\right]\\
a_n=&\frac{1}{d}\int_{c-d}^{c+d}f(x)cos\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right) dx\\
b_n=&\frac{1}{d}\int_{c-d}^{c+d}f(x)sin\left(n \pi\frac{(x+c)}{d}\right) dx
\end{align}
Considerato che la somma (\ref{eq:def_FourierSeries}) è composta da termini pari e termini dispari, è chiaro che se la funzione è pari($f(x)=f(-x)$), i coefficienti dei termini dispari saranno tutti nulli (come si può vedere anche direttamente dalle definizioni (\ref{eq:coeffFourier})), e viceversa, per le funzioni dispari ($f(x)=-f(-x)$), sarà una somma di soli seni.\\
Abbiamo già visto in \ref{sec:CordaFourier}, che la serie di Fourier può essere espressa come somma bilatera attraverso l'uso di una unica variabile complessa, usando la definizione di seno e coseno in termini di esponenziali complesse:
\begin{eqnarray}
cos(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\
sin(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2i}
\label{eq:sin_cos_exp}
\end{eqnarray}
\begin{align}
\nonumber
f(x)=&\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n cos(n x)+b_n sin(n x)\right]=\\
\nonumber
&=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right) +b_n \left(\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right)\right]=\\
\nonumber
&=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{inx}+\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-inx}\right]=\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
\end{align}

\begin{equation}
c_n=\begin{cases} 
\frac{1}{2}(a_n-ib_n) & n \ge 1\\
\frac{a_0}{2} & n=0\\
\frac{1}{2}(a_n+ib_n) & n < 0
\end{cases}
\end{equation}




