\chapter{Fluidi}

\section{Fluidi ideali}

\subsection{Equazione di Continuità}
[...]
\subsection{Punti di vista Lagrangiano ed Euleriano}
In un dato sistema di riferimento, l'insieme di tutte le posizioni occupate dagli elementi di un sistema continuo ad un determinato istante $t$, è la {\em configurazione} $C$ del sistema all'istante considerato. Assieme alla configurazione $C$, variabile nel tempo, possiamo considerare una configurazione {\em di riferimento} $C^*$. Ad ogni punto di $C^*$, corrisponde una particella del sistema, per cui è possibile esprimere le posizioni della particelle di $C$ in funzione della configurazione di riferimento. Se $OP$ è il raggio vettore di una qualsiasi particella $P$ nel sistema $C$, allora sarà:
\begin{equation}
\mathbf{OP}=\mathbf{OP}(t, P^*)
\label{eq:refer}
\end{equation} 
in cui $P^*$ è il punto corrispondente a $P$ nella configurazione $C^*$.\par
Se indichiamo con $x_i$ le coordinate nel sistema di riferimento solidale a $C^*$ e con $\xi_i$ quelle del sistema $C$
le (\ref{eq:refer}) equivalgono alle equazioni nelle coordinate:
\begin{equation}
x_i= x_i(t, \xi_1, \xi_2, \xi_3)
\label{eq:refer_coord}
\end{equation}
Se il moto è "regolare", allora per qualunque istante $t$, le funzioni al secondo membro della (\ref{eq:refer_coord}) dovranno soddisfare le seguenti condizioni:
\begin{enumerate}
\item Dovranno essere continue con le derivate prime e seconde continue;
\item Biunivoche nella corrispondenza tra $P$ e $P^*$
\item Dovrà essere positivo il determinante dello Jacobiano: 
$$D=det\left(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\right)$$
\end{enumerate}
La prima condizione ci dice che non ci sono lacerazioni o compressioni; la terza ci dice che si passa con continuità da $C^*$ a $C$. Infatti se i sistemi coincidono, lo Jacobiano sarà: $D=det\left(\frac{\partial x_i}{\partial x_j}\right) = det(\delta_{ij}) = 1$. Se è vera la seconda condizione, allora questo sarà sempre vero.\par
Le coordinate $\xi_i$ sono coordinate che, istante per istante, etichettano la singola particella di $C$ e sono dette {\em coordinate Lagrangiane} e la configurazione $C$ è detta la {\em configurazione istantanea} del sistema.\par
La terza condizione, assicura che le (\ref{eq:refer_coord}) siano invertibili, e dunque ci sarà una corrispondenza biunivoca fra le particelle in $C$ e in $C^*$. Questo non vuol dire che le traiettorie non si possano intersecare, ma solo che due particelle non possano occupare contemporaneamente la stessa posizione. Dunque, potremo scrivere anche:
\begin{equation}
xi_i= x_i(t, x_1, x_2, x_3)
\label{eq:refer_coord_inv}
\end{equation}
L'equazione (\ref{eq:refer_coord}) definisce, istante per istante, la posizione di ciascuna particella etichettata dalle coordinate $\xi_i$ e quindi descrive il moto dell'intero sistema particella per particella (punto di vista Lagrangiano). L'equazione (\ref{eq:refer_coord_inv}), invece, definiscono quale particella passa per il punto di coordinate $x_i$ nell'istante $t$ (punto di vista {\em Euleriano}). Si noti che, mentre le $\xi_i$ sono definite in un insieme $C^*$ fisso, le $x_i$ sono definite in un campo dello spazio variabile con il tempo.\par
\subsection{Derivata locale e sostanziale}
Le derivate temporali:
\begin{eqnarray}
\mathbf{v}=\frac{\partial OP}{\partial t}; & \mathbf{a}= \frac{\partial^2 OP}{\partial t^2}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}
\end{eqnarray}
rappresentano la velocità e l'accelerazione di una generica particella del continuo rispetto al sistema di riferimento dal punto di vista Lagrangiano e dunque saranno:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{v}=\mathbf{v}(\xi_i, t) & \mathbf{a}=\mathbf{a}(\xi_i, t)
\end{eqnarray*}
Le corrispondenti grandezze Euleriane si ottengono sostituendo le $\xi_i$ tramite le (\ref{eq:refer_coord_inv}) e eseguendo le differenziazioni. Dunque possiamo definire la velocità Euleriana:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\mathbf{e} \equiv [\mathbf{v}(\xi_i, t)]_{\xi_i=\xi_i(x_i,t)} \equiv \mathbf{e}(x_i, t)\\
e_i(x_i, t) \equiv \left[\frac{\partial x_i}{\partial t}\right]_{\xi_i=\xi_i(x_i,t)}
\end{eqnarray}
che definisce la distribuzione istantanea delle velocità in $C$ all'istante t.\par
Una qualsiasi quantità $Q$ scalare o vettoriale deve poter essere espressa in entrambe le forme a seconda che si mettano in evidenza la dipendenza dalle variabili Euleriane o Lagrangiane:
\begin{eqnarray}
\bar q(\xi, t)=[q(x, t)]_{x_i/x_i(\xi, t)}; & q(x, t)= [\bar q(\xi, t)]_{\xi_i=\xi_i(x_i,t)}
\end{eqnarray}
Della gtrandezza $Q$ si possono considerare due tipi di derivata temporale, e di ciascuno di essi le forme Lagrangiane ed Euleriane. A partire dalla derivata parziale:
\begin{equation}
q_t \equiv \frac{\partial q}{\partial t} \equiv \partial_t q
\label{eq:der_loc}
\end{equation}
possiamo considerare la derivata totale:
\begin{equation}
\dot q \equiv \frac{\partial q}{\partial t}+ \frac{\partial q}{\partial x_i}\left(\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)_{\xi_i=\xi_i(x_i,t)}= \partial_t q + \frac{\partial q}{\partial x_i} e_i
\label{eq:der_sost}
\end{equation}
Le (\ref{eq:der_loc}) e (\ref{eq:der_sost}) rappresentano, in forma Euleriana, la {\em derivata temporale locale} e la {\em derivata sostanziale} della grandezza $Q$. Le analoghe derivate, costruite a partire dalla espressione Lagrangiana $\bar q(\xi, t)$ sono:
\begin{equation}
\dot{\bar q} \equiv \frac{\partial \bar q}{\partial t}+ \frac{\partial \bar q}{\partial \xi_i}\left(\frac{\partial \xi_i}{\partial t}\right)_{x_i=x_i(\xi_i,t)}= \partial_t \bar q - \frac{\partial \bar q}{\partial \xi_i} v_i
\end{equation}
avendo definito:
\begin{equation}
v_i \equiv -\left(\frac{\partial \xi_i}{\partial t}\right)_{x_i=x_i(\xi_i,t)}
\end{equation}
Applicando la (\ref{eq:der_sost}) alla velocità Euleriana $\mathbf{e}(x, t)$, troviamo e l'accelerazione Euleriana $\mathbf{a}(x, t)$:
\begin{align}
\nonumber
a_k \equiv & \dot e_k  = \frac{\partial e_k}{\partial t}+\frac{\partial e_k}{\partial x_i} e_i\\
 & \Rightarrow \mathbf{\dot e} = \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} + (\mathbf{e} \cdot \nabla)\mathbf{e}
 \label{eq:accel_euler}
 \end{align}
\subsection{Equazione di Eulero}
Consideriamo un volume $V$ nel fluido soggetto alle forze di pressione. La forza che aglisce sulla superficie $S$ che circonda il volume considerato sarà:
\begin{equation}
\mathbf{F}= -\int_S P \mathbf{n} dS
\label{eq:pressforce}
\end{equation}
Possiamo trasformare l'integrale (\ref{eq:pressforce}) in un integrale di volume isando il teorema del gradiente e uguagliare la forza alla massa per l'accelerazione locale (Euleriana):
\begin{equation}
\rho \frac{d e}{d t} = -\nabla P
\label{eq:part_euler}
\end{equation}
Applicando la (\ref{eq:accel_euler}) otteniamo:
\begin{equation}
\frac{\partial e}{\partial t} + \left(\mathbf{e} \cdot \nabla \right)\mathbf{e} = -\frac{\nabla P}{\rho}
\label{eq:euler_nog}
\end{equation}
Se il fluido è in un campo di forze di volume, per es. il campo gravitazionale, alle forze di pressione si aggiungeranno le forze di volume $\rho g dV$, dunque l'equazione (\ref{eq:euler_nog}) di Eulero (1755), diventa:
\begin{equation}
\frac{\partial e}{\partial t} + \left(\mathbf{e} \cdot \nabla \right) \mathbf{e} = -\frac{\nabla P}{\rho}+ \mathbf{g}
\label{eq:euler}
\end{equation}
In queste espressioni non si è tenuto conto delle eventuali forze di attrito né della conducibilità termica del fluido. Una tale descrizione, in cui l'attrito e la dissipazione termica sono ininfluenti, definisce un {\em fluido ideale}.\par
\subsection{Moto adiabatico}
in un fluido ideale, la conduzione del calore e dunque gli scambi di energia termica  fra le parti di fluido sono ininfluenti. Il moto, pertanto, sarà adiabatico e le variazioni di entropia saranno nulle. Considerando le grandezze specifiche (per unità di massa):
\begin{equation}
\frac{d s}{dt}=0 =\frac{\partial s}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla s
\end{equation}
che è una equazione di continuità per l'entropia.
Usando la relazione che lega l'entropia all'entalpia: $dh=Tds+Vdp=Tds +dp/\rho$ e considerando che $ds=0$ otteniamo 
\begin{equation*}
\nabla h = \nabla P/\rho
\end{equation*}
che, sostituito nell'equazione di Eulero dà:
\begin{equation}
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v} \cdot \nabla \right) \mathbf{v} = -\nabla h 
\end{equation}
Applicando la formula vettoriale:
\begin{equation}
\frac{1}{2}\nabla(v^2) = \mathbf{v} \times (\nabla\times \mathbf{v})+(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}
\end{equation}
otteniamo:
\begin{equation}
-\nabla \left(h+\frac{1}{2}v^2\right) = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times \mathbf{v})
\label{eq:Euler_hv}
\end{equation}
che è una relazione che lega il gradiente dell'energia alla forza e alla vorticità. Se prendiamo il rotore di entrambi i membri, si ottiene un'espressione dell'equaziome di Eulero che dipende solo dalla velocità; sarà:
\begin{equation}
\frac{\partial \left( \nabla\times\mathbf{v}\right)}{\partial t} = \nabla\times \left(\mathbf{v}\times\nabla\times\mathbf{v}\right)
\label{eq:Euler_v}
\end{equation}
\subsection{L'equazione di Bernoulli}
Oltre al metodo tradizionale per ricavare l'equazione di Bernoulli a partire dalla conservazione dell'energia in un condotto, possiamo ricavarla dall'equazione di Eulero (\ref{eq:Euler_hv}). Infatti, se ricordiamo che:
\begin{displaymath}
\frac{\partial U}{\partial \ell} = \overrightarrow \nabla U(M) \cdot \overrightarrow \ell
\label{eq:grad_nabla}
\end{displaymath}
La proiezione lungo la direzione delle linee di flusso $\ell$ della (\ref{eq:Euler_hv}), siccome $\ell$ è parallelo a $v$, sarà, tenuto conto anche dell'accelerazione di gravità:
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial $ell}\left[ \frac{1}{2}v^2 + h + gz\right] = 0
\end{equation}
da cui:
\begin{equation}

\frac{\partial}{\partial $ell}\left[ \frac{1}{2}v^2 + h + gz = cost
\end{equation}
Tenuto conto che $dh = dp/\rho$, sarà:
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial $ell}\left[ \frac{1}{2}\rho v^2 +  p+ \rho gz = cost
\end{equation}
che è l'equazione di Bernoulli. \par
Vederemo, in seguito, che l'equazione di Bernoulli, è un caso particolare di una intera classe di equazioni più generali.
\section{Introduzione alla viscosità }
Consideriamo un fluido che scorra in un canale di altezza $h$ e trascuriamo l'effetto dalle pareti verticali. Consideriamo una "lastra" di questo fluido di suoerficie $\Delta S$, a distanza $x$ dal fondo del canale. La sua velocità crescerà con la distanza dal fondo, considerato che il liquido a contatto con il fondo è fermo e che in superficie c'è la massima velocità:
\begin{displaymath}
v=v_1 \frac{x}{h}
\end{displaymath}
in cui $v_1$ è la velocità che si raggiunge in superficie (cioè quando $x=h$). A regime, non ci saranno accelerazioni nei vari strati di fluido, e pertanto le forze che agiranno su ciascuno strato dovranno equilibrarsi. 
Si trova spermentalmente che per molti liquidi semplici (liquidi newtoniani) il modulo della forza di attrito interno si puo' esprimere come:
\begin{equation}
F = \mu \Delta S \frac{v}{h}
\label{eq:Newton_F}
\end{equation}
in cui $\mu$ è una costante caratteristica del fluido considerato che ha le dimensioni di 
$$ [\mu]=[F l l^{-2} v^{-1}] = [ml t^{-2} l l^{-2} l^{-1} t] = m l^{-1} t^{-1} $$
ed è la viscosità.\par
Passando al differenziale:
\begin{equation}
dF=\mu \frac{\partial v}{\partial x} dS
\end{equation}
da cui deriva che la pressione nel fluido varia con la legge:
\begin{equation}
P=\frac{\partial F}{\partial S} = \mu \frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
\subsection{Legge di Poiseuille}
Consideriamo un fluido che scorra in un condotto cilindrico di raggio $a$. Il flusso sia laminare e completamente governato dalla viscosità (cioé le differenti velocità all'interno del fluido siano dovute solo all'effetto della viscosità). il fluido scorrerà nel cilindro in corone cilindriche coassiali, di raggio generico $r$ e spessore $dr$. Su ciascuna corona agiranno 3 forze:
\begin{enumerate}
\item La risultante delle forze di pressione applicate agli estremi del cilindro;
\item la forza tangenziale derivante dalla viscosità sul mantello interno
\item la forza tangenziale derivante dalla viscosità sul mantello esterno
\end{enumerate}
la prima componente sarà:
\begin{equation}
dF_p= 2\pi r\;dr\Delta p
\label{eq:f_p}
\end{equation}
la seconda  sarà:
\begin{equation}
dF_{int} = \mu \frac{\partial v}{\partial r} (2 \pi r \Delta l)
\label{eq:f_int}
\end{equation}
la terza,si oppone alla precedente e sarà:
\begin{equation}
dF_{ext}= -\mu \Delta l [2\pi (r+dr)]\frac{partial}{\partial r}[v(r+dr)]
= -2\pi \mu \Delta l (r+dr)\frac{partial}{\partial r}\left[v(r)+\frac{partial v}{\partial r} dr\right]
\end{equation}
e dunque considerando solo i termini del primo ordine in $dr$
\begin{equation}
dF_{ext}= -2\pi\mu\Delta l \left[ r\frac{partial v}{\partial r} + 
r\frac{partial^2 v}{\partial r^2} dr + \frac{partial v}{\partial r} dr\right]
\label{eq:f_ext}
\end{equation}
la somma delle tre deve essere nulla allo stato stazionario, dunque:
\begin{equation}
2\pi r\;dr\Delta p = -2\pi\mu\Delta l \left(r\frac{partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{partial v}{\partial r}\right) dr
\end{equation}
e dunque:
\begin{equation}
-\Delta p =  \mu \frac{\Delta l}{r} \left(r\frac{partial^2 v}{\partial r^2} + \frac{partial v}{\partial r}\right) = \mu \frac{\Delta l}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial v}{\partial r}\right)
\end{equation}