\chapter{Elettrostatica e conduzione}
\section{Richiami di elettrostatica nel vuoto}
\subsection{Il Campo Elettrico}
Definiamo il campo elettrico $\mathbf{E}$ a partire dalla forza che subisce una carica elettrica nello spazio, in presenza di un'altra carica. Per una carica di prova unitaria, possiamo scrivere:
\begin{equation}
\mathbf{F}=q\mathbf{E}
\label{eq:F_E}
\end{equation}
Analogamente, possiamo scrivere la legge (di Coulumb) per due cariche $q_1$ e $q_2$. La forza esercitata dalla carica 1 sulla 2 sarà:'
\begin{equation}
\mathbf{F_{12}} = k q_1 q_1 \frac{\mathbf{x_1} -\mathbf{x_2}}{|\mathbf{x_1} -\mathbf{x_2}|^3}
\label{eq:coulumb}
\end{equation}
Dal confronto fra le (\ref{eq:F_E}) e (\ref{eq:coulumb}) si ricava che il campo elettrico generato dalla carica $q_1$ nel punto x è:
\begin{equation}
\mathbf{E}(x) = kq_1 \frac{\mathbf{x} -\mathbf{x_1}}{|\mathbf{x} -\mathbf{x_1}|^3}
\label{eq:def_E_q1}
\end{equation}
in cui la costante di proporzionalità k vale:
$$ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}= 10^{-7}c^2 \; (SI)$$
avendo introdotto la {\em permittività} o {\em costante dielettrica} del vuoto che vale $\epsilon_0= 8.854\times 10^{-12} F m^{-1} = 8.854 \times 10^{-12} C^2 N^{-1}m^{-2}$. 
Le dimensioni del campo elettrico saranno:$[E] = V m^{-1}$.\par
Per avere un'idea della forza del campo elettrico rispetto a quello gravitazionale, consideriamo il rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale esercitata da un elettrone su un'altro elettrone:
\begin{align*}
F_E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\\
F_g = G \frac{m_e^2}{r^2}
\end{align*}
ove $G=6.67 \times 10^{-11}\,N m^2 kg^{-2}$, $e=1.602\times 10^{-19} C$, $e/m_e = 1.759\times 10^{11}\, C kg^{-1}$. Dunque:
\begin{equation}
\frac{F_E}{F_g} = \frac{1}{4\pi G \epsilon_0}\frac{e^2}{m_e^2} = 4.17\times 10^{42}
\end{equation}
\subsection{Teorema di Gauss}
Consideriamo una superficie chiusa $S$ ed una carica ad una distanza $r$ da un punto della superficie. Il flusso del campo attraverso la superficie è:
\begin{align}
\nonumber
\int_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}dS =&\int_S \frac{1}{4\pi\epsilon_0 }q\frac{r\,\cos(\theta)}{r^3}dS\\
&= \frac{1}{4\pi\epsilon_0 }q\int r \frac{1}{r^3}r^2d\Omega = \frac{q}{\epsilon_0}
\label{eq:TeoGauss}
\end{align}
dunque, per una densità di carica $\rho(x)$:
\begin{equation}
\int_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\,dS = \frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho(\mathbf{x})\,d^3x= \int_V\nabla\cdot\mathbf{E}d^3x
\end{equation}
da cui si ricava la formula differenziale del {\em Teorema di Gauss}:
\begin{equation}
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\label{eq:diffGauss}
\end{equation}
\subsection{Potenziale scalare}
La legge di Coulumb (\ref{eq:def_E_q1}),per una densità di carica $\rho(\mathbf{x})$, la possiamo scrivere:
\begin{equation}
\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \rho(\mathbf{x'})\frac{\mathbf{x} -\mathbf{x'}}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|^3}\, d^3x'
\label{eq:Coul}
\end{equation}
La funzione integranda può essere scritta come il gradiente rispetto a $x$ di $-1/|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|$. Infatti:
\begin{align*}
\frac{d}{d\mathbf{x}}&\left( \frac{1}{\sqrt{\mathbf{x}^2+\mathbf{x'}^2 -2\mathbf{x}\cdot \mathbf{x'}}}\right) = \\
&= -\frac{(2\mathbf{x'} -2\mathbf{x})}{2\left(\mathbf{x}^2+\mathbf{x'}^2 -2\mathbf{x}\cdot \mathbf{x'}\right)^{3/2}}\\
&= -\frac{\mathbf{x'} -\mathbf{x}}{|\mathbf{x'} -\mathbf{x}|^3}
\end{align*}
Dunque la (\ref{eq:Coul}) diventa:
\begin{equation}
\mathbf{E}(\mathbf{x}) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \nabla \int \frac{\rho(\mathbf{x'})}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}d^3x' = -\nabla V
\label{eq:pot_ele}
\end{equation}
ove si è definito il potenziale elettrico:
\begin{equation}
V(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{x'})}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}d^3x' 
\label{eq:def_V}
\end{equation}
Se il campo è il gradiente di un potenziale scalare $V$, allora il rotore del campo è nullo:
\begin{equation}
\nabla\times\mathbf{E} = 0
\end{equation}
e di conseguenza è nulla la circuitazione del campo lungo una linea chiusa:
\begin{equation}
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = 0
\label{eq:circuit_ele}
\end{equation}
\subsection{Distribuzione superficiale di carica e doppio strato}
Il teorema di Gauss applicato ad una superficie carica con una densità superficiale $\sigma$ si può scrivere come:
\begin{equation}
\int_S \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\,dS  = \frac{1}{\epsilon_0}\int_S \sigma \,dS
\end{equation}
Se consideriamo i campi dai due lati della superficie $E_1$ ed $E_2$, risulta $(\mathbf{E_1}-\mathbf{E_2})\cdot \mathbf{n} = \sigma/\epsilon_0$, che ci dice solo che c'è una discontinuità nelle componenti normali del campo dai due lati della superficie. D'altra parte, la (\ref{eq:circuit_ele}) applicata ad un circuito che attraversi la superficie e abbia due lati uguali e paralleli alla superficie $\ell_1$ ed $\ell_2$, e gli altri due ortogonali, implica che:
\begin{equation}
\oint \mathbf{E}\cdot d\ell = \mathbf{E_1} \cdot \ell_1 - \mathbf{E_2}\cdot\ell_2 = 0
\end{equation}
essendo i due lati paralleli percorsi in senso opposto.\par
In definitiva, mentre le componente normale alla superficie subisce un salto $\sigma/\epsilon_0$, la componente tangenziale si conserva nel passaggio attraverso la superficie.\par
Consideriamo ora due superfici cariche con carica opposta, poste a distanza $d(x)$ fra loro (Fig.\ref{Fig:doppiostrato} - strato di dipolo). Il potenziale elettrico in un punto $O(\mathbf{x})$ è dato dalla somma dei potenziali elettrici dei due strati calcolati in quel punto.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{doppiostrato.eps}
\caption{\label{Fig:doppiostrato} Definizione delle variabili per il calcolo del potenziale elettrico dello strato di dipolo}
\end{center}
\end{figure}

\begin{equation}
V(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\int_S \frac{\sigma(\mathbf{x'})}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}dS +\int_{S'} \frac{-\sigma(x')}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}+ d\,\mathbf{n}|}dS'\right]
\label{eq:pot_dstrat}
\end{equation}
Siccome $d \ll |\mathbf{x'}|$, possiamo sviluppare il secondo termine in serie di Taylor:
$$\frac{1}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}+ d\mathbf{n}|}\simeq \frac{1}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}+ d\mathbf{n}\cdot\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}\right)$$
Dunque, sostituendo in (\ref{eq:pot_dstrat}), otteniamo:
\begin{equation}
V(\mathbf{x}) \simeq \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_S \sigma(\mathbf{x'}) d\,\mathbf{n}\cdot\nabla '\left(\frac{1}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|}\right) dS'
\end{equation}
avendo tenuto conto che $\nabla=  -\nabla ' $. Definendo il {\em dipolo elettrico} come
\begin{equation}
\mathbf{p}(\mathbf{x}) = \sigma(x) d\,\mathbf{n} dS 
\end{equation}
risulta che il potenziale di doppio strato, o di dipolo, è:
\begin{equation}
V(x) =  \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x} -\mathbf{x'})}{|\mathbf{x} -\mathbf{x'}|^3}
\label{eq:pot_dipolo}
\end{equation}