\title{Oscillazioni e Onde}
\maketitle

\section{Il problema}
\label{prob}
Consideriamo una corda ideale, di dimensione trasversale trascurabile e densità $\rho$. La corda, in condizioni di riposo giace sull'asse delle ascisse del piano $Oxy$ ed è soggetta ad una tensione $T$. Se applichiamo una forza $F$ parallelamente all'asse $y$, la corda si deformer\`a in una curva nel piano $Oxy$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Fig_Corda.eps}
\caption{Schematizzazione delle forze agenti su una corda lasciata libera fuori dalla posizione di equilibrio}
\end{center}
\label{corda}
\end{figure}
 Lasciata libera, consideriamo le forze agenti sul segmento di corda $M^{\prime}N^{\prime}$ nella direzione dell'asse $y$. Se consideriamo trascurabile la differenza tra i moduli delle tensioni nei punti $M^{\prime}$ ed $N^{\prime}$, e chiamiamo $u(x,t)$ lo spostamento della corda nel punto $x$ all'istante $t$ potremo scrivere:
\begin{equation}
  M \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} = -T\,sin(\theta^{\prime})+T\,sin(\theta) \label{eq:bilancio}  
\end{equation}
essendo $\theta^{\prime}$ e $\theta$ gli angoli delle tangenti a $u(x,t)$ rispettivamente in $M^{\prime}$ ed $N^{\prime}$ ed $M=\rho\,dx$.\par
Al primo ordine, potremo dire che
 $$sin(\theta)\sim \theta\sim tg(\theta)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$$
 e dunque:
  $$sin(\theta^{\prime})- sin(\theta)= \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}dx$$
Sostituendo in \ref{eq:bilancio}, troviamo:
\begin{equation}
  \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}
\label{eq:onde_1}
\end{equation}
La (\ref{eq:onde_1}) \`e un caso semplice dell'{\em equazione delle onde}. \par
Se consideriamo le dimensioni del rapporto $\frac{T}{\rho}$, vediamo che:
\begin{equation} 
\left[ \frac{T}{\rho} \right] = \left[ \frac{m\, l\, t^{-2}}{m\,l^{-1}}\right] = \left[ l^2t^{-2}\right] 
\nonumber
\end{equation}
e dunque ha le dimensioni del quadrato di una velocit\`a, verr\`a indicata con $c^2$ e, vedremo, è la velocità di propagazione della perturbazione lungo la corda.
\section{La soluzione di D'Alambert}
Il primo a dimostrare l'esistenza ed unicit\`a ed a trovare una soluzione di questa equazione fu il matematico francese D'Alambert, e , l'operatore differenziale che applicato ad una funzione delle coordinate $u(x, y, z, t)$, restituisce l'equazione delle onde, da lui, prende il nome di {\em d'alambertiano} e si indica con il simbolo: 
$$\Box \equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]\equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2\nabla^2$$
La soluzione di D'Alambert parte dal cambiamento di variabili (suggerito dal fatto che $\partial^{2}_{t}-c^2\nabla^2=(\partial_t-c\nabla)(\partial_t+c\nabla)$):
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
\xi = x-ct\\
\eta = x+ct
\end{array}
\right.
\end{equation}
dunque:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\frac{\partial u}{\partial x}=\\
\nonumber
&\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \\
&\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial \eta} \\
\nonumber
\frac{\partial u}{\partial t}=\\
\nonumber
&\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} =\\
& c \left[\frac{\partial u}{\partial \xi}-\frac{\partial u}{\partial \eta}\right]
\end{eqnarray}
Derivando una seconda volta:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = &\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^{2} u}{\partial \eta^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = &c^{2} \cdot \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}} - 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^{2} u}{\partial \eta^{2}} \right)
\end{eqnarray}
 e dunque, sostituendo nella (\ref{eq:onde_1}) otteniamo che:
\begin{equation}
 \frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta} = 0
 \label{eq:sep}
\end{equation}

L'Eq.(\ref{eq:sep}) indica che la derivata rispetto a $\eta$ è una costante rispetto a $\xi$, dunque una funzione della sola $\eta$:
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \eta}=f_1(\eta)
\end{equation}

Integrando ancora rispetto a $\eta$:
\begin{equation}
u(\xi, \eta)=\int f_1(\eta)d\eta+C
\end{equation}
ove C è una costante rispetto ad $\eta$ e dunque può essere una funzione di $\xi$. In definitiva:
\begin{equation}
u(x, t)=g_1(x-ct)+g_2(x+ct)
\end{equation}
Le funzioni generiche $f_1(x-ct)$ e $f_2(x+ct)$ indicano due perturbazioni che si propagano lungo la corda nelle due direzioni opposte con velocità di modulo c. Queste funzioni possono essere determinate imponendo le condizioni iniziali:
\begin{eqnarray}
 u(x, t=0)=\phi(x) & \frac{\partial u}{\partial t}\mid_{t=0}=\phi_1(x)
 \label{eq:cond_t}
\end{eqnarray}
Si ricava:
\begin{equation}
u(x,t)=\frac{\phi(x-ct)+\phi(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\phi_1(z)dz
\end{equation}
nota come soluzione di D'Alambert e le rette $x\pm c t=cost$ nel piano $xt$ sono le {\em caratteristiche}.

\subsection {Corda finita}
Se la corda ha dimensione finita di lunghezza $l$, fissata agli estremi ($x=0$ $x=l$), oltre alle condizioni (\ref{eq:cond_t}) devono essere soddisfatte le condizioni ulteriori:
\begin{eqnarray}
 u(x=0,t)=0 & u(x=l, t)=0
 \label{eq:cond_x}
\end{eqnarray}
La soluzione di D'Alambert, continua ad essere valida, ma le funzioni $g_1(x-ct)$ e $g_2(x+ct)$ hanno un argomento che può essere all'estreno dell'intervallo di definizione del problema.
Per poter risolvere il problema occorrer\`a considerare solo la perturbazione iniziale della corda infinita tale che il movimento della sua porzione $(0,l)$ sia quello indicato dalle condizioni.
\begin{equation}
\nonumber
 \left\{
\begin{array}{rl}
g_1(-ct)+g_2(ct) & =0\\
g_1(l-ct)+g_2(l+ct) & =0\\
\end{array} \right.
\end{equation}
o, indicando la variabile indipendente semplicemente con $x$:
\begin{equation}
 \left\{
\begin{array}{rl}
g_1(-x) & =-g_2(x)\\
g_1(l-x) & =-g_2(l+x)\\
\end{array} \right.
\label{eq:cond_perio}
\end{equation}
Possiamo verificare che, sostituendo nella seconda delle (\ref{eq:cond_perio}) $x$ con $(l+x)$, e utilizzando la prima, si ottiene:
$$g_2(x+2l)=-g_1(-x)=g_2(x)$$
e dunque $g_2(x)$ è periodica di periodo $2l$, e analogamente per la $g_1(x)$.

\section{Oscillazioni di un gas compresso}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Compressione_sbarra.eps}
\caption{Schematizzazione delle forze agenti su un gas compresso in un cilindro}
\end{center}
\label{gas}
\end{figure}

Consideriamo un gas contenuto in un cilindro di volume $dV=Sdx$ e limitato da un lato da un pistone. Se il pistone (la parete si sinistra del cilindro) si muove di $d\xi$, la variazione di pressione fra le due facce,all'inizio, sar\`a, al primo ordine:
$$dP =\frac{\partial p}{\partial x}dx$$
e di conseguenza, la forza agente sul pistone
$$dF= SdP= -S\frac{\partial P}{\partial x}dx$$

Applicando la prima legge di Newton $F= ma$ ed essendo $m=\rho_0 V$ si ottiene:
\begin{equation}
\rho_0 S dx \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=-S\frac{\partial P}{\partial x}dx
\end{equation}
Dividendo tutto per $Sdx$ si ha:
\begin{equation}
\rho_0\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=-\frac{\partial P}{\partial x}
\label{eq:newtonP}
\end{equation}
La variazione di pressione pu\`o essere calcolata introducendo il coefficente di compressibilit\`a k tale che:
\begin{equation}
dP=-\frac{1}{k}\frac{dV}{V}
\label{eq:coeff_k}
\end{equation}

La variazione relativa di volume sar\`a
$$ \frac{S(dx+d\xi)-S(dx)}{Sdx}=\frac{\partial \xi}{\partial x}$$
e dunque:
\begin{equation}
dP=-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x}dx
\end{equation}
e quindi
$$ P_{x+\xi}=P_0-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x}dx$$
La pressione nel punto $x+\xi +dx+d\xi$ è data da:
\begin{equation}
P_{x+\xi+dx+d\xi}=P_{0}-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x}dx + \frac{\partial}{\partial x} \left(
P_{0}-\frac{1}{k}\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)dx=P_{x+\xi}-\frac{1}{k}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} dx
\end{equation}
Dunque, sostituendo nella (\ref{eq:newtonP}), otteniamo:
\begin{equation}
\rho_0\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}=\frac{1}{k}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} 
\label{eq:onde_spost}
\end{equation}
ovvero:
\begin{eqnarray}
\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} -c^2\nabla^2\right)\xi=0\\
c=\frac{1}{\sqrt{\rho k}}
\end{eqnarray}
In una trasformazione adiabatica, \`e: $PV^\gamma=Cost$, dunque $P\rho^{-\gamma}=k$ implica che:
\begin{equation}
\frac{\partial P}{\partial\rho}=k\gamma\rho^{\gamma-1}
\end{equation}
Dunque, utilizzando la $\rho^\gamma=P/k$ e la definizione di k (\ref{eq:coeff_k}):
$$ dP=\frac{\gamma P d\rho}{\rho}=-\frac{1}{k}\frac{d\rho}{\rho}$$
da cui si ricava, che per un gas adiabatico, il coefficiente di compressibilit\`a vale:
\begin{equation}
\frac{1}{k}=\gamma P
\end{equation}

L'equazione delle onde che abbiamo ricavato, riguarda lo spostamento. Per ricavare il comportamento della pressone, possiamo partire dalla (\ref{eq:coeff_k}), scritta come:
$$ P=P_0-\frac{1}{k}\frac{\partial{\xi}}{\partial x}$$
dunque, derivando due volte rispetto a $x$ otteniamo:
$$\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}$$
ma, per la (\ref{eq:onde_spost}):
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=-\rho_0 \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}
\label{eq:primo_pezzo}
\end{equation}
D'altra parte derivando rispetto a $t$ due volte:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}=-\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}
\label{eq:secondo_pezzo}
\end{equation}
e, confrontando le (\ref{eq:primo_pezzo}) e (\ref{eq:secondo_pezzo}), si ricava:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}=\frac{1}{\rho_0 k}\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}
\label{eq:onde_press}
\end{equation}
Dunque anche la pressione varia nel cilindro secondo l'equazione delle onde, e analogamente si pu\`o ragionare per la densit\`a.


\section{Il metodo di Fourier} 
Per una corda fissata agli estremi, un metodo alternativo, che porta ad interessanti conseguenze è quello di Fourier o di separazione delle variabili. Si tratta di cercare soulzioni particolari dell'equazione di D'Alambert, che siano il prodotto di una funzione solo del tempo e di una del solo spazio:
\begin{equation}
u(x,t)=X(x)T(t)
\label{eq:separation}
\end{equation}
Sostituendo questa soluzione nell'eq. (\ref{eq:onde_1}), otteniamo:
\begin{equation}
c^2X''(x)T(t)=X(x)\ddot T(t)
\end{equation}
avendo indicato con il punto la derivazione rispetto al tempo e con l'apice quella rispetto alla $x$.
Dividendo entrambi i membri per $X(x)T(t)$ otteniamo:
\begin{equation}
c^2\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{\ddot T(t)}{T(t)}
\label{eq:separata}
\end{equation}
Poiché il primo membro \`e solo funzione di $x$ e il secondo solo di $t$, l'uguaglianza vale solo se entrambi i rapporti sono uguali ad una medesima costante $\lambda$ (detta di separazione). Pertanto, l'Eq.(\ref{eq:separata}) \`e equivalente al sistema di equazioni:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X''(x)-\lambda X(x)=0\\
\ddot T(t)-\lambda T(x)=0
\label{syst:sep}
\end{eqnarray}
La soluzione delle (\ref{syst:sep}) \`e del tipo:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=A e^{\sqrt{\lambda} x}+B e^{-\sqrt{\lambda} x}\\
T(t)=C e^{\sqrt{\lambda} t}+D e^{-\sqrt{\lambda} t}
\label{syst:sol_sep}
\end{eqnarray}
Alla prima delle (\ref {syst:sol_sep}) possiamo aggiungere le condizioni al contorno: $X(0)=X(l)=0$. Sostituendo la prima condizione nella (\ref{syst:sol_sep}) otteniamo $A=-B$ e dunque, se $\lambda >0$ allora $X(x)=2Asinh(\sqrt{\lambda} x)$. Siccome il seno iperbolico si annulla solo nell'origine, allora non pu\`o essere verificata la seconda condizione al contorno. Pertanto $\lambda$ dovr\`a essere negativa: $\lambda=-k^2$ e quindi:
\begin{equation}
X(x)=2iA\,sin(kx)
\end{equation}
Sostituendo la seconda condizione si ha che $sin(kl)=0$ che \`e soddisfatta solo per $k_n=\frac{n\pi}{l}$.
Si avranno dunque infinite soluzioni, tutte equivalenti, anche la somma di queste è una soluzione. Pertanto la soluzione generale sar\`a:
\begin{equation}
X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\,sin(\frac{n\pi}{l})
\end{equation}
La costante $A$ pu\`o essere trovata imponendo che la soluzione sia "normalizzata", ovvero
\begin{equation}
\int_{0}^{l}X^2dx=1 \Leftrightarrow A^2\cdot\frac{l}{2}=1
\label{eq:normal}
\end{equation}
e dunque
\begin{equation}
A_n=\sqrt{\frac{2}{l}}\qquad\forall n
\end{equation}
Passando alla parte temporale, possiamo scrivere, ponendo anche qui $\lambda=-k^2$: 
$$\ddot T(t)+\omega^2T(t)=0$$
con $\omega_n = ck_n$ e la costante $k_n$ è quella trovata precedentemente. Sostituendo nella seconda delle (\ref{syst:sol_sep}) otteniamo:
$$T(t)=C e^{i\omega t}+D e^{-i\omega t}$$
Imponendo le condizioni (\ref{eq:cond_t}) e conglobando il fattore di normalizzazione nelle costanti:
\begin{eqnarray}
\label{eq:Four_1}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(C_n\cdot e^{i\omega_n t}+D_n\cdot e^{-i\omega_n t}\right)sin(\frac{n\pi x}{l})\right]\\
\nonumber
u(x,t=0)=\sum_{n=1}^{\infty}(C_n+D_n)sin(\frac{n\pi x}{l})=\phi(x)\\
\nonumber
\dot u(t=0)= i\sum_{n=1}^{\infty}\omega_n(C_n-D_n)sin(\frac{n\pi x}{l})=\phi_1(x)
\label{eq:cond_dotu}
\end{eqnarray}
Se chiamiamo: $C_n+D_n=\alpha_n$ e $i(C_n-D_n)=\beta_n$,moltiplichiamo entrambi i membri per $sin(\frac{n\pi x}{l})$ e integriamo, ricordando la (\ref{eq:normal}), otteniamo:
\begin{eqnarray}
\alpha_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}sin(\frac{n\pi x}{l})\phi(x)dx\\
\beta_n=\frac{2}{cn\pi}\int_{0}^{l}sin(\frac{n\pi x}{l})\phi_1(x)dx
\label{eq:coeff_Fourier}
\end{eqnarray}
Considerato che $C_n=\alpha_n-i\beta_n$ e $D_n=\alpha_n+i\beta_n$, si vede che sono uno il complesso coniugato dell'altro, e la u(x,t), pu\`o essere scritta come una somma bilaterale con un unico parametro complesso.
I coefficienti $\alpha_n$ e $\beta_n$ che abbiamo trovato sono i coefficienti (di Fourier) dello sviluppo di u(x,t) in una serie che possiamo ricavare manipolando la (\ref{eq:Four_1}) e che prende il nome di Serie di Fourier:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\alpha_n cos(\frac{cn\pi}{l}t)+\beta_n sin(\frac{cn\pi}{l}t)\right)sin(\frac{n\pi}{l}x)
\end{equation}
che in forma complessa pu\`o essere scritta come:
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} D_n e^{i(k_n x -\omega_n t)}
\end{equation}
in cui vale la relazione (di {\em dispersione}) $\omega_n=c\cdot k_n$, $D_{-n}=\bar D_n$ e 
$$D_0=\frac{1}{2l}\int_{0}^{l}\phi(x)dx$$

\section{Oscillazioni di una membrana}
\label{sect:membr}
Consideriamo le oscillazioni libere di una membrana rettangolare i cui contorni consistano nei punti del piano $(x,y)$:$x=0$ $x=l$ $y=0$ $y=m$. Cerchiamo soluzioni dell'equazione:
\begin{equation}
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=
a^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)
\label{eq:membr}
\end{equation}
che si annullino sul contorno e di cui siano note, all'istante iniziale, la forma funzionale $\phi_1(x,y)$ e la quella della sua derivata temporale $\phi_2(x,y)$.\par
Di nuovo, applichiamo il metodo di Fourier, cio\`e cerchiamo soluzioni del tipo:
\begin{equation}
\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)U(x,y)
\end{equation}
Queste inserite nella (\ref{eq:membr}) danno:
\begin{equation}
-\omega^2\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)U(x,y)=
a^2\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)\left(\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)\right)
\end{equation}
da cui, raccogliendo i termini e ponendo $\omega^2/a^2=k^2$, si ottiene:
\begin{equation}
\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)+ k^2 U=0
\label{eq:membr_autov}
\end{equation}
Come al solito, separando le variabili: $U(x,y)=X(x)Y(y)$, otteniamo due equazioni:
\begin{equation}
\left\{ 
\begin{array}{l}
X^{\prime\prime}+\lambda^2X=0\\
Y^{\prime\prime}+\mu^2Y=0
\end{array}
\right.
\label{eq:membr_system}
\end{equation}
ove: $\lambda^2+\mu^2=k^2$.\par
Il sistema (\ref{eq:membr_system}) d\`a la soluzione generica:
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=C_1 sin(\lambda x)+C_2 cos(\lambda x)\\ 
\nonumber
Y(y)=C_3 sin(\mu y)+C_4 cos(\mu y)
\end{eqnarray}
La condizione al contorno $X(0)=X(l)=0$ e $Y(0)=Y(m)=0$ ci permettono di dire che $C_2=C_4=0$, e dunque, a meno delle costanti non nulle: 
\begin{eqnarray}
\nonumber
X(x)=sin(\lambda x) \\
Y(y)=sin(\mu y)
\label{eq:membr_sol}
\end{eqnarray}
Dalla (\ref{eq:membr_sol}), segue che $\lambda$ e $\mu$ hanno un'infinit\`a di valori tali che:
\begin{eqnarray}
\nonumber
\lambda_i=\frac{i\pi}{l}\\
\mu_j=\frac{j \pi}{m}
\end{eqnarray}
Corrispondentemente, per le costanti $k^2$ e $\omega^2$ otteniamo: 
\begin{eqnarray}
k^2_{ij}=\pi^2\left(\frac{i^2}{l^2}+\frac{j^2}{m^2}\right)\\
\omega^2_{ij}=ak^2_{i,j}
\end{eqnarray}
La soluzione sar\`a del tipo
\begin{equation}
u(x,y,t)=\sum_{ij}\left(\alpha_{ij}cos(\omega_{ij}t)+\beta_{ij}sin(\omega_{ij}t)\right) sin\left(\frac{i\pi x}{l}\right)sin\left(\frac{j\pi y}{m}\right)
\label{eq:membr_gensol}
\end{equation}
Ove le costanti si calcolano imponendo le condizioni iniziali.
Vediamo dalla (\ref{eq:membr_gensol}) che, per per ciascuna frequenza propria, esistono pi\`u forme differenti della membrana, con differenti linee nodali, cio\`e linee in cui l'ampiezza della vibrazione si annulla.\par
Consideriamo il caso di una membrana quadrata: $l=m=r$.\par
La frequenza in quest caso è data da:
\begin{equation}
\omega_{ij}=\frac{a \pi}{r}\sqrt{i^2+j^2}
\end{equation}
Cominciamo a considerare il caso $i=1$, $j=1$: $\omega_{11}=\alpha\sqrt{2}$ frequenza fondamentale;
$$u_{11}=N_{11} sin(\omega_{11}t+\phi_{11})sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)$$
Non si annulla in nessun altro punto che non sia il bordo.\\
Passiamo al caso $i=1$, $j=2$. La frequenza sarà: $\omega_{12}=\omega_{21}=\alpha\sqrt{5}$ in corrispondenza della quale saranno possibili due forme della membrana:
\begin{eqnarray}
\nonumber
 u_{12}=N_{12}sin(\omega_{12}t+\phi_{12})sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{2\pi y}{r}\right)\\
\nonumber
 u_{21}=N_{21}sin(\omega_{12}t+\phi_{21})sin\left(\frac{2\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)
 \end{eqnarray}
che hanno linee nodali per:
$$x=\frac{r}{2};\, y=\frac{r}{2}$$
Oltre alle $u_{12}$ e $u_{21}$ ci sono anche altre infinite soluzioni equivalenti date dalle loro combinazioni lineari, per es. (ponendo per semplicit\`a $\phi_{12}=\phi_{21}=0$):
$$u(x,y,t)=sin(\omega_{21}t)\left[N_1 sin\left(\frac{\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{2\pi y}{r}\right)+
N_2 sin\left(\frac{2\pi x}{r}\right)sin\left(\frac{\pi y}{r}\right)\right]$$
Ponendo $N_1=N_2$ e $u(x,y,t)=0$, ricaviamo la linea nodale: $x+y=0$, mentre per $N_1=-N_2$, si ha $x-y=0$. I modi corrispondenti a questo caso sono mostrati in fig.\ref{fig:modi_12}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Modi12.eps}
\caption{Posizione delle linee nodali per il caso i=1, j=2}
\end{center}
\label{fig:modi_12}
\end{figure}



\section{Solidi}
Consideriamo le propriet\`a elastiche di un solido visto come un mezzo continuo omogeneo. quest'approssimazone \`e in genere valida per onde elastiche di lunghezza d'onda inferiore a $10^{-8}\,m$. Le idee fisiche alla base di questa trattazione sono essenzialmente la II legge di Newton e la legge di Hooke. La legge di Hooke dice che la deformazione \`e direttamente proporzionale allo sforzo; questa legge si applica al caso di piccole deformazioni.\par


\subsection{Deformazioni}
Consideriamo tre assi ortogonali unitari {\bf $\hat x$, $\hat y$ $\hat z$} solidali al solido indeformato (Fig.(\ref{fig:def_axis})); dopo una deformazione gli assi coordinati saranno cambiati in orientazione e lunghezza. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Deformazioni.eps}
\caption{Assi coordinati per la descrizione delle deformazioni elastiche nel caso indeformato (a) e dopo la deformazione (b)}
\end{center}
\label{fig:def_axis}
\end{figure}
I nuovi assi {\bf $\hat x'$, $\hat y'$ $\hat z'$} possono essere descritti in funzione dei vecchi, al primo ordine:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
 x'=(1+\epsilon_{xx})\hat x+\epsilon_{xy} \hat y + \epsilon_{xz} z\\
 y'=\epsilon_{yx}\hat x+(1+\epsilon_{yy}) \hat y + \epsilon_{yz} z\\
 z'=\epsilon_{zx}\hat x+\epsilon_{zy} \hat y + (1+\epsilon_{zz}) z
\end{array}
\right.
\label{eq:strain}
\end{equation}
I termini $\epsilon_{\alpha\beta}$ definiscono le {\em deformazioni} del solido e sono adimensionali. Se anche gli assi originali avevano dimensioni unitarie, non altrettanto si pu\`o dire degli assi deformati. Per provarlo possiamo calcolare il modulo quadro dell'asse deformato:
$$  {\mathbf x'} \cdot {\mathbf  x'}= 1+2\epsilon_{xx} + \epsilon_{xx}^2 + \epsilon_{xy}^2 + \epsilon_{xz}^2$$
dunque, al primo ordine è $ x' = 1+\epsilon_{xx} \hat x$.\par
L'effetto di una deformazione su un punto originariamente posto ad ${\mathbf r} = \hat {\mathbf x}x + \hat {\mathbf y}y + \hat {\mathbf z}z$ sar\`a di spostare il punto in $\mathbf r'$. Lo spostamento indotto dalla deformazione \`e 
\begin{equation}
{\mathbf R} = {\mathbf r'} - {\mathbf r} = x (\hat{\mathbf x'} - {\mathbf x}) + y (\hat{\mathbf y'} - {\mathbf y}) + z(\hat{\mathbf z'} - {\mathbf z})
\end{equation}
sostituendo le (\ref{eq:strain}) e raccogliendo i termini, otteniamo:
\begin{equation}
{\mathbf R} = (x \epsilon_{xx}+ y \epsilon_{yx} +  z \epsilon_{zx})\hat{\mathbf  x}+
(x \epsilon_{xy}+ y\epsilon_{yy} +  z\epsilon_{zy}) \hat{\mathbf y} +
(x \epsilon_{xz}+ y\epsilon_{yz} +  z\epsilon_{zz})\hat{\mathbf  z}
\label{eq:spostamento}
\end{equation}
che pu\`o essere espressa tramite tre parametri di deformazione locale $u ({\mathbf r})$, $v ({\mathbf r})$ e $w ({\mathbf r})$:
\begin{equation}
{\mathbf R} = u ({\mathbf r})\hat{\mathbf  x} + v ({\mathbf r})\hat{\mathbf  y} + w ({\mathbf r}) \hat{\mathbf z}
\label{eq:spost1}
\end{equation}
Per ${\mathbf r}$ piccoli, confrontando le (\ref{eq:spostamento}) e (\ref{eq:spost1}) otteniamo (con ${\mathbf R}(0)=0$):
\begin{equation}
x \epsilon_{xx}\simeq x\frac{\partial u}{\partial x};\,y \epsilon_{yx}\simeq y \frac{\partial u}{\partial y}; \,...
\label{eq:epsilon}
\end{equation}
Normalmente si lavora con dei parametri $e_{\alpha\beta}$ definiti a partire dai parametri $\epsilon_{\alpha\beta}$: 
\begin{eqnarray}
\nonumber
e_{xx}=\epsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}; & 
e_{xy}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf y'}= \epsilon_{yx}+\epsilon_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}; & 
e_{xz}={\mathbf x'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{zx}+\epsilon_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ 
\nonumber
e_{yx}=e_{xy}; & 
e_{yy}=\epsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y};& 
e_{yz}={\mathbf y'} \cdot {\mathbf z'}= \epsilon_{yz}+\epsilon_{zy}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\\
 e_{zx}=e_{yz}; & e_{zy} = e_{yz}; & e_{zz}=\epsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}
\end{eqnarray}
\subsection{Dilatazione}
L'aumento relativo di volume dovuto ad una deformazione \`e la {\em dilatazione}. Il cubo di lati $\hat {\mathbf x}$, $\hat{\mathbf y}$ $\hat {\mathbf z}$, dopo la deformazione avr\`a un volume:
\begin{equation}
{\mathbf x}'\times {\mathbf y}'\cdot {\mathbf z}'= 
\begin{vmatrix}
1+\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\
\epsilon_{xy} & 1+\epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\
\epsilon_{xz} & \epsilon_{yz} & 1+\epsilon_{zz}
\end{vmatrix}
\simeq 1+\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}+O(\epsilon^2)
\end{equation}
dunque la dilatazione \`e:
\begin{equation}
\delta=\frac{\Delta V}{V}=\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy}+\epsilon_{zz}
\end{equation}

\subsection{Sforzi}
Per i solidi una forza applicata ad una superficie unitaria \`e uno {\em sforzo}. Esistono 9 componenti dello sforzo, ciascuna indicata da una lettera maiuscola con un pedice. La lettera indica la direzione dello sforzo e il pedice indica la direzione della normale alla superficie a cui \`e applicata, per cui,per es. $X_y$ \`e la forza applicata in direzione dell'asse x alla faccia la cui normale giacie lungo l'asse y (vedi Fig. \ref{fig:stress}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Stress.eps}
\caption{Definizione delle componenti dello sforzo: $X_x$ \`e la forza applicata nella direzione di x ad una faccia con normale nella direzione x; $X_y$ \`e applicata in direzione x alla faccia la cui normale è nella direzione y}
\end{center}
\label{fig:stress}
\end{figure}
Il numero di componenti pu\`o essere ridotto se si applica la condizione che, per un cubo elementare, l'accelerazione angolare sia nulla e dunque la torsione sia nulla. Da questo segue che (Fig. \ref{fig:Stress2}) $X_y=Y_x$, $Y_z=Z_y$ e $Z_y=Y_z$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Sforzo2.eps}
\caption{Dimostrazione che per un corpo in equilibrio $X_y=Y_x$. Le forze in ciascuna delle due direzioni si annullano. Anche il momento rispetto all'origine si annulla se $X_y=Y_x$}
\end{center}
\label{fig:Stress2}
\end{figure}
In totale rimangono 6 componenti indipendenti: $X_x,Y_y,Z_z,X_y, Y_z, Z_y$. Per convenzione il segno positivo \`e quello della trazione, la pressione ha quello negativo.\par
Una notazione alternativa per le componenti dello sforzo, che permette espressioni pi\`u compatte, \`e quella di una lettera (per es S o $\sigma$) con due indici, il primo indice indica l'asse cui \`e  ortogonale il piano, la seconda la direzione. Per es. $\sigma_{12}$ \`e la trazione nella direzione di $x_2$ del piano ortogonale a $x_1$. In questo modo la componente i-esima di una trazione, che \`e data dalla somma delle componenti i-esime sulle faccie ortogonali all'asse j si scrive:
$$t_i=\sum_j \sigma_{ij}n^j$$
in cui, spesso, il simbolo si sommatoria viene omesso con la convenzione che indici uguali, in alto ed in basso indicano la somma rispetto a quell'indice (si saturano, in gergo).\par
Da questa notazione \`e  evidente che lo sforzo forma un tensore di rango 2 (una matrice) con tre righe e tre colonne (9 elementi), che, con le considerazioni fatte precedentemente \`e simmetrico:$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$, il che porta le componenti indipendenti a 6:
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
 & & \sigma_{33}\\
\end{bmatrix}
\end{equation}
Le componenti normali dello sforzo sono quelle sulla diagonale, le componenti {\em di taglio} sono quelle off-diagonal. Il tensore degli sforzi pu\`o essere diagonalizzato in modo che non compaiano sforzi di taglio sulle faccie ortogonali agli assi principali.

\subsection{Onde S e P} 
\subsubsection{Equazioni del moto}
Se con la notazione sopra esposta vogliamo scrivere la legge di Newton F=ma, applicata ad un solido, otteniamo:
\begin{equation}
\sum_i F_i=\int_V f_i dV+\int_S t_i dS= \int_V f_i dV + \int_S \sigma_{ij} n^j dS=ma_i
\end{equation}
Per il teorema della divergenza, possiamo scrivere:
$$\int_S \sigma_{ij}n^j dS = \int_V \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} dV$$
da cui si deduce l'equazione di Navier:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i
\label{eq:Navier}
\end{equation}
Ignorare le forze di volume $f_i$, semplifica le cose ma pu\`o essere pericoloso quando si trattano oscillazioni a bassa frequenza (per es. quando si considerano le oscillazioni di tutta la terra, le forze di gravit\`a sono importanti).\par
La relazione che lega le deformazioni agli sforzi se \`e lineare \`e la legge di Hooke:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=C_{ijkl}\epsilon^{kl}
\label{eq:Hooke_gen}
\end{equation}
in cui abbiamo definito il tensore di rigidit\`a (stiffness) del quarto ordine $C_{ijkl}$ le cui componenti sono note come costanti di rigidit\`a elastica o moduli di elasticit\`a.\par
La legge (\ref{eq:Hooke_gen}), sostituita nella (\ref{eq:Navier}) e con le definizioni (\ref{eq:epsilon}) ci fornisce la legge di propagazione di una deformazione in un solido:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x_j}C_{ijkl}\frac{\partial u^k}{\partial x_l}=C_{ijkl}\frac{\partial^2 u^k}{\partial x^j \partial x^l}
\label{eq:prop_solid}
\end{equation}
Le 81 componenti del tensore di rigidit\`a, possono essere ridotte grazie a numerose considerazioni: in primo luogo, la simmetria delle $\sigma_{ij}$ e delle $\epsilon_{kl}$ riduce il numero delle componenti indipendenti a 36 (prodotto delle 6 $\sigma$ indipendenti per le 6 $\epsilon$ indipendenti); altre considerazioni meno banali portano le componenti indipendenti a 21. Per ottenere qualche risultato, per\`o dobbiamo ridurre la complessit\`a del mezzo. Il caso pi\`u semplice \`e quello di un mezzo isotropo e omogeneo. In questo caso si dimostra che:
\begin{equation}
C_{ijkl}=\lambda \delta_{ij}\delta_{kl}+ \mu (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\label{eq:isotromo}
\end{equation}
dove le costanti $\lambda$ e $\mu$ sono le costanti di Lam\'e. Sostituendo la (\ref{eq:isotromo}) nella (\ref{eq:Hooke_gen}) si ottiene:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}\epsilon^{kl}+2\mu\epsilon_{ij}
\end{equation}
ma $\delta_{kl}\epsilon^{kl} =  \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}=\partial u_k/\partial x_k$ che \`e l'aumento frazionario di volume $\Delta$, Dunque:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda\delta_{ij}\Delta+2\mu\epsilon_{ij}
\label{eq:sigma_isotr}
\end{equation}
La costante di Lam\'e $\mu$ \`e nota come modulo di deformazione o rigidit\`a, la $\lambda$, di per s\'e non ha significato fisico ma in combinazione con l'altra definisce la costante $\kappa=\lambda+2/3\mu$ nota come incomprimiblit\`a o modulo di volume. La rigidit\`a \`e piccola per materiali con bassa viscosit\`a. Il modulo di volume esprime la resistenza ai cambi di volume $\kappa=-\partial P/\partial\Delta$ in cui P \`e la pressione. Concludendo, sostituendo la (\ref{eq:sigma_isotr}) nella (\ref{eq:prop_solid}) otteniamo:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_k} + \mu \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}
\label{eq:prop_isotromo}
\end{equation}
\subsubsection{Onde}
Possiamo scrivere la (\ref{eq:prop_isotromo}) in notazione vettoriale come:
\begin{equation}
\rho \ddot{\mathbf u}= (\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+\mu \nabla^2 u
\label{eq:prop_vect} 
\end{equation}
Facendo uso della identit\`a vettoriale ${\mathbf A}\times{\mathbf B}\times{\mathbf C}={\mathbf A}({\mathbf B}\cdot{\mathbf C})-({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}){\mathbf C}$ applicata al vettore $\nabla$ si ottiene che:
$$\nabla\times\nabla\times {\mathbf u} = \nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-(\nabla\cdot\nabla){\mathbf u}$$
e di conseguenza:
$$\nabla^2 {\mathbf u}=\nabla(\nabla\cdot{\mathbf u})-\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}$$
Sostituendo nella (\ref{eq:prop_vect}) si ottiene:
\begin{equation}
\rho  \ddot{\mathbf u}= (\lambda+2\mu)\nabla(\nabla \cdot {\mathbf u})+ \mu\nabla\times\nabla\times {\mathbf u}
\label{eq:dilatorota}
\end{equation}
che \`e formata da un primo termine dilazionale ed un secondo termine rotazionale.
L'equazione (\ref{eq:dilatorota}) \`e di difficile risoluzione in generale,  e si preferisce separarla in equazioni che considerino solo la parte rotazionale o solo  quella rotazionale. Per eliminare la parte rotazionale si fa uso della proriet\`a $\nabla\cdot(\nabla\times{\mathbf A})=0$ che \`e evidente se si pensa che il prodotto vettoriale di due vettori \`e ortogonale a entrambi i vettori. Prendendo la divergenza della (\ref{eq:dilatorota}), allora si ottiene:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 (\nabla \cdot {\mathbf u})}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2(\nabla\cdot{\mathbf u})
\end{equation}
e, detta $\Theta = \nabla\cdot {\mathbf u}$:
\begin{equation}
\rho \frac{\partial^2 \Theta}{\partial t^2}= (\lambda + 2\mu)\nabla^2\Theta
\label{eq:OndeP}
\end{equation}
che \`e l'equazione (scalare) della propagazione di un onda di volume attraverso il mezzo con una velocit\`a di propagazione:
\begin{equation}
v_s=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}} = \sqrt{\frac{\kappa+4/3\mu}{\rho}}
\label{eq:speed_vp}
\end{equation}
Analogamente, prendendo il rotore, otteniamo:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 (\nabla \times {\mathbf u})}{\partial t^2}=\beta\nabla^2(\nabla \times {\mathbf u})
\label{eq:OndeS}
\end{equation}
che \`e l'equazione vettoriale della propagazione di un disturbo rotazionale con velocit\`a $\beta=\sqrt{\mu/\rho}$. Le onde dilazionali e rotazionali sono note rispettivamente come {\em onde P} e {\em onde S}.\par
Un modo pi\`u elegante per ottenre i risultati appena mostrati \`e utilizzare l teorema di Helmoltz che dice che qualsiasi campo vettoriale pu\`o essere decomposto nella somma di un gradiente di un potenziale scalare e del rotore di un campo vettoriale:
\begin{eqnarray}
{\mathbf u}=\nabla\Phi+\nabla \times{\mathbf \Psi}\\
\nabla\cdot{\mathbf \Psi}=0
\end{eqnarray}

